WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 37 (2010). С. 16–27

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО

ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В БИОЛОГИИ

Ю. А. КОНЯЕВ, В. И. БЕЗЯЕВ, О. Н. ФИЛИППОВА

c 2010 г.

Анализ некоторых классов прикладных задач с быстрыми и медленными переменными, например

задачи о прохождении нервного импульса (см. [14, с. 212]), приводит к изучению так называемых сингулярно возмущенных квазилинейных задач вида x(0, ) = x0, x C n, x = A(t, )x + f (x, t), f (0, t) 0 (1) (в общем случае могут иметь место и регулярные возмущения), где матричный ряд Ak (t)k A(t, ) = (2) k= сходится абсолютно и равномерно по некоторой норме при || 1 и t 0.

Термин «сингулярность» связан с наличием малого параметра 0 перед производной в системе (1) и говорит о возможности появления так называемого пограничного слоя в окрестности t = при определенных ограничениях на спектр матрицы A(t, 0).

Развитие теории сингулярных возмущений (весьма существенно отличающейся от теории регулярных возмущений, (см., например, [3, 8, 11, 13]), в частности, нашло отражение в работах А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, С. А. Ломова и ряда других математиков, которые внесли большой вклад в изучение сингулярно возмущенных линейных (см. [9]) и нелинейных (см. [1]) начальных и краевых задач. При этом было показано, что структура пограничных слоев во многом определяется строением предельного ( = 0) оператора линеаризованной системы.

Вопросы поведения сингулярно возмущенных начальных задач на полуоси не нашли достаточного освещения в литературе.

В известных монографиях, в частности [1, 9], были рассмотрены сингулярно возмущенные задачи, при анализе которых определение спектра предельного оператора не вызывало затруднений.

Исследование на полуоси более общих задач вида (1) и анализ устойчивых решений связаны с нахождением собственных значений j (t, ) и собственных векторов sj (t, ) матрицы (2), что представляет далеко не тривиальную задачу теории регулярных возмущений, для решения которой до недавнего времени применялись весьма громоздкие методы (см. [3, 8, 11, 13]). Новые результаты в этом направлении были получены в работе [5], где был разработан и обоснован отличный от ранее известных (см. [3,8,11,13]) алгоритм для одновременного определения собственных значений j () и собственных векторов sj () регулярно возмущенной матрицы Ak k A() = k= при многомерном возмущении предельного оператора A0 простой структуры и одномерном возмущении предельного оператора A0 произвольной жордановой структуры (см. [3]). Естественным обобщением результатов работы [5] является следующее утверждение.





Теорема 1. Собственные значения {j ()}n и собственные векторы {sj ()}n регулярно возмущенной матрицы A() при наличии простого спектра {0j ()}n (jk 0j 0k = 0, j = k, j, k = 1, n) матрицы A0 могут быть вычислены одновременно и с любой точностью с помощью c 2010 РУДН

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

простого конструктивного итерационного алгоритма метода расщепления (см. [5]):

N N k N + skj k + O(N +1 ) ( 0).

j () = kj + O( ), sj () = (3) k=0 k= Доказательство. Запишем соотношения A()sj () = j ()sj () в матричной форме A()S() = S()(), где диагональная матрица () = diag{1 (),..., n ()} состоит из искомых собственных значений j (), а матрица S() состоит из собственных векторстолбцов sj () (j = 1, n). В условиях теоремы 1 всегда существует невырожденная матрица S такая, что S0 A0 S0 = 0 = diag{01,..., 0n }.

После замены S() = S0 H() получим матричное уравнение B()H() = H()() (B() = S0 A()S0, B(0) = 0 ). (4) Для произвольной квадратной матрицы A введем обозначения для ее диагональной A = diag{a11,..., ann } и «бездиагональной» A = A A частей. Асимптотическое решение спектральной задачи для матрицы A() будем искать с использованием аппарата диагональных и «бездиагональных» матриц в виде N N k N + H k k.

() = k + O( ), H(N ) () = E + (5) k=0 k= Приравнивая в (4) коэффициенты при одинаковых степенях, получим набор простых однотипных матричных уравнений:

H H = P (k = 1, N ), 0 k k k k k P1 = B1, Pk = Bk + (Bj H kj H kj j ) = {pij }k (k 2), при последовательном решении которых однозначно определяются все диагональные k и «бездиагональные» H k (k = 1, N ) матрицы:

Справедливость представлений (3) и (5) следует из сходимости матричного ряда A() = и указанного итерационного процесса, что и завершает доказательство теоремы 1, при этом усеченная матрица S(N ) () = S0 H(N ) () состоит из усеченных собственных векторов sj(N ) () матрицы A().

Замечания.

1. Если при наличии кратных точек спектра матрица A0 имеет полупростую структуру (см. [3]), что предполагает существование невырожденной матрицы S0 такой, что S0 A0 S0 = 0 = diag{01 E,..., 0p E} (1 n), тогда имеет место аналог теоремы 1, но в представлении (3) матрицы k будут иметь блочно-диагональную структуру, а матрицы Hk будут иметь нулевую блочную диагональ в соответствии со структурой матрицы 0 (см. [5]).

2. Если же матрица A0 имеет кратные точки спектра и жорданову структуру, тогда (после применения так называемого «срезающего» преобразования [5]) разложения (3) будут содержать дробные степени малого параметра 0.





Покажем сначала возможность исследования сингулярно возмущенной квазилинейной системы (1) с автономной матрицей A() и построим асимптотику решения соответствующей однородной системы.

Теорема 2. Если матрица A0 имеет только некратные точки спектра, тогда сингулярно возмущенная квазилинейная система с помощью невырожденной при достаточно малых 0 замены x = S(N ) ()z может быть приведена к системе с почти диагональной матрицей:

а в случае, если спектр матрицы A0 удовлетворяет неравенствам Re 0j 0 (j = 1, n), асимптотическое представление решения на отрезке [0, T0 ] соответствующей сингулярно возмущенной однородной (f 0) системы может быть записано в виде:

где структура экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t = 0 полностью Доказательство. Следуя идеям теоремы 1, построим матрицу S(N ) () из усеченных собственных вектор-столбцов матрицы A(), такую что невырожденная замена x = S(N ) ()y преобразует систему (6) к системе (7) с почти диагональной матрицей.

При этом однородная система (8) принимает вид:

что и позволяет с учетом замены построить асимптотику решения системы (8) в виде (9).

Для сингулярно возмущенных систем вида (6) и (7) теперь может быть проведен анализ устойчивости их тривиального решения.

Теорема 3. Если усеченный спектр {0j + 1j }n матрицы A() при достаточно малых 0 1 удовлетворяет неравенствам Re (0j + 1j ) 0 0 (j = 1, n) и для достаточно гладкой вектор-функции f (x, t) справедлива оценка то тривиальное решение сингулярно возмущенной квазилинейной задачи (6) асимптотически устойчиво.

Доказательство следует из дифференциального неравенства (см. [6]) для квадрата нормы решения эквивалентной задачи (7) (N = 1):

1, 0 1 0 1), что при |z 0 | 1 позволяет записать оценку |z(t)| C0 |z 0 |exp(1 t) (C0 0) и завершает доказательство теоремы 3 (в частности, из этой оценки следует продолжаемость решения на полуось [0, +), см. [2]).

Для асимптотического анализа более сложных сингулярно возмущенных неавтономных квазилинейных систем вида (1) на полуоси известные методы теории сингулярных (см. [1, 9]) и регулярных (см. [3, 8, 11, 13]) возмущений весьма громоздки и поэтому далее воспользуемся одним из последних вариантов метода расщепления (см. [4–7]).

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

Сформулируем основные результаты для сингулярно возмущенной системы вида (1) с достаточно гладкими T -периодическими матрицами Ak (t) (k 0).

Теорема 4. Если спектр {0j (t)}n T -периодической матрицы A0 (t) удовлетворяет неравенствам то сингулярно возмущенная система (1) с помощью невырожденной при достаточно малых 0 1 гладкой T -периодической замены x = S(N ) (t, )z может быть приведена к системе с почти диагональной матрицей:

где матрицы S(N ) (t, ) и k (t) определяются с помощью простого итерационного алгоритма.

Доказательство. В условиях теоремы существует достаточно гладкая невырожденная T -периодическая замена x = S0 (t)y, позволяющая сделать первый шаг и получить систему Последующее невырожденное при достаточно малых 0 гладкое T -периодическое преобразование приводит к нужному результату (10), если матрицы B(t, ), Q(t, ) и H(N ) (t, ) связаны соотношением Приравнивая в (11) коэффициенты при одинаковых степенях, получим набор простых однотипных матричных уравнений откуда с помощью итерационного алгоритма поочередно определяются все (при k = 1, N ) диагональные k (t) и «бездиагональные» Hk (t) T -периодические матрицы:

это завершает доказательство теоремы 4.

Теорема 5. Если в условиях теоремы 4 спектр j (t, ) диагональной матрицы 0 (t) + 1 (t) удовлетворяет неравенствам и для достаточно гладкой функции f (x, t) имеет место оценка то тривиальное решение сингулярно возмущенной задачи (10) и эквивалентной ей задачи (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство следует из дифференциального неравенства для квадрата нормы решения сингулярно возмущенной задачи (10):

Пример 1. В работе Зимана [16] рассмотрена модельная система сердцебиения где x — относительная длина мышечного волокна, y отражает наличие электрохимического управления.

Отметим, что при x0 = 0 система (12), эквивалентная квазилинейной системе (так как спектр Рис. 1: График, соответствующий затухающим колебаниям решения системы (12) при x (z(t) = x2 (t) + y 2 (t), = 0.1) В случае x0 0 система (12) имеет точку покоя P1 (x0, y0 ), где y0 = x0 x3.

После замены x1 = x x0, y1 = y y0, позволяющей перенести точку покоя в точку O(0, 0), получим систему и убедимся в асимптотической устойчивости ее тривиального решения при x0 0, 58 (в силу теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению), так как спектр

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

Рис. 2: Незатухающие «периодические» колебания модуля решения системы (12) при 0 x (z(t) = x2 (t) + y 2 (t), = 0.1) Рис. 3: Фазовый портрет динамической системы (12) при 0 x0. Видна структура предельного цикла ( = 0.1) матрицы B() при b = 1 3x2 0 и достаточно малых 0 лежит в левой полуплоскости.

Легко проверить, что при b = 1 3x2 0 в системе (12) возникает бифуркация Хопфа (см., например, [10]). Соответствующий предельный цикл системы (12) при 0 x0 изображен на рис. 3.

Для каждой из кривых (рис. 1 и 2), описывающих решения системы (12), характерен всплеск амплитуды в начальный момент времени, т. е. в окрестности точки t = 0 имеет место пограничный слой, что характерно для сингулярно возмущенных задач в [1, 4, 9].

Пример 2. Полученные результаты позволяют также изучить сингулярно возмущенную модельную квазилинейную задачу о прохождении нервного импульса (см. [14, с. 202]) где (матрица A0 имеет полупростую структуру). Задача (13) после невырожденной замены приводится к виду:

h(y) = (6y1 y2 y1 y3 y2 y3 (2 + 3)y1 3y2, 0, 0)T.

Последующее невырожденное при достаточно малых 0 1 преобразование приводит задачу к почти блочно-диагональному виду:

где матрица N1 = имеет блочно-диагональную структуру, причем матрица N10 = имеет простой спектр 1,2 = (1 ± i 3), что позволяет пользоваться аналогом теоремы 1 и после невырожденной замены перейти к сингулярно возмущенной системе с почти диагональной матрицей и с учетом теоремы 3 сделать вывод об асимптотической устойчивости решения сингулярно возмущенной квазилинейной задачи (14) и эквивалентной ей задачи (13) в окрестности точки P0, так как спектр усеченной матрицы лежит в левой полуплоскости и при достаточно малых 0 Процесс затухающих колебаний нервного импульса изображен на рис. 4, а фазовый портрет системы (13) представлен на рис. 5. Пограничный слой наблюдается при 0 t 1 (рис. 4).

Рис. 4: Затухание нервного импульса для динамической системы (13) (u(t) = x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t), = 0.1)

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

Рис. 5: Фазовый портрет динамической системы (13) ( = 0.1) В некоторых случаях анализ биологического процесса может свестись к изучению регулярно возмущенной квазилинейной системы с периодической матрицей A(t, ) где матричный ряд A(t, ) = A0 + сходится абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно малых || 1 и t 0.

Теорема 6. Пусть спектр матрицы A0 удовлетворяет неравенствам jk 0j 0k = i2q/T (j = k, j, k = 1, n, q = 0, ±1, ±2,... ). Тогда однородная система (15) (f 0) с помощью невырожденной при достаточно малых 0 1 гладкой T -периодической замены x = S(N ) (t, )z может быть преобразована к системе с почти диагональной и почти постоянной матрицей:

Здесь невырожденная матрица S(N ) (t, ) и постоянные диагональные матрицы k (k = 0, N ) определяются с помощью простого конструктивного алгоритма.

При этом тривиальное решение однородной (f 0) системы (15) асимптотически устойчиво при достаточно малых 0 1, если для спектра {j ()}n матрицы (N ) () справедливы неравенства и неустойчиво, если хотя бы для одного собственного значения k () имеет место оценка Доказательство. В условиях теоремы всегда существует невырожденная матрица S0 такая, что замена приводит систему (15) к виду и далее, после невырожденного при достаточно малых 0 1 гладкого T -периодического преобразования дает нужный результат (16), если матрицы H(N ) (t, ), B(t, ), Q(t, ) связаны соотношением Приравнивая в (18) коэффициенты при одинаковых степенях, получим простые дифференциальные матричные уравнения для последовательного и однозначного представления каждой из постоянных диагональных матриц k и гладких T -периодических матриц Hk (t) (k = 1, N ):

Каждое из матричных уравнений (19) распадается на два матричных уравнения при этом каждое уравнение (20) имеет в классе гладких T -периодических матричных функций единственное решение где k = T 1 Pk (t)dt. Матричное уравнение (21) распадается в свою очередь на скалярные дифференциальные уравнения вида каждое из которых имеет единственное T -периодическое решение, представимое в виде Для доказательства асимптотической устойчивости тривиального решения однородной (f 0) системы (15) следует оценить каждую из компонент zj (t, ):

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

неустойчивость имеет место при наличии обратного неравенства для соответствующей компоненты:

Замечание. Теорема 6 является (в отличие о ранее известного (см. [2])) асимптотическим и конструктивным аналогом теоремы Флоке—Ляпунова о приводимости однородной (f 0) системы (15), так как соответствующая замена (17) имеет явное представление.

Теорема 7. Если в условиях теоремы 6 спектр {j ()}n матрицы (N ) () удовлетворяет условиям и для достаточно гладкой функции f (x, t) справедлива оценка то тривиальное решение квазилинейной системы (15) асимптотически устойчиво при достаточно малых 0 1.

Доказательство следует из дифференциального неравенства для квадрата нормы решения задачи (16):

Замечание. Теорема 7 является обобщением известной теоремы Ляпунова (см. [2]) об асимптотической устойчивости по первому приближению для указанного рассмотренного класса квазилинейных систем (15) с периодической матрицей A(t, ).

Рассмотрим далее пример системы, описывающей работу нейронной сети.

Пример 3. В работе [15] рассмотрена модель сети из N нейронов, связанных между собой. В частном случае эта модель сводится к системе двух связанных осцилляторов (см. [12]):

Делая замену получаем линейную регулярно возмущенную систему 4-го порядка с периодической матрицей:

где 0 = diag{ia, ia, ib, ib}, По теореме 6 существует (при достаточно малых 0 1) 2-периодическая замена вида которая приводит систему (23) к системе с почти диагональной и почти постоянной матрицей где 1 = 0, 2 = diag{21, 22, 23, 24 }, При ab = 0 имеем равенства Re1,2 = 2 0, Re3,4 () = 2 0, где и в силу теоремы 6 тривиальное решение системы (22) неустойчиво.

Рис. 6: Неустойчивые колебания решений системы (22) двух связанных осцилляторов (z(t) = x2 (t) + y 2 (t), = 0.1)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотичсекие методы в теории сингулярных возмущений. — М.:

Высшая школа, 1990.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Изд-во МГУ, 1998.

3. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

4. Коняев Ю. А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем линейных ОДУ// Дифференц. уравн. — 1984. — 20, № 11. — С. 1999–2003.

5. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущения// Мат. сб. — 1993. — 18, № 12. — С. 133–144.

6. Коняев Ю. А. Об одном методе исследования устойчивости и оценки нормы решения// Мат. заметки. — 2007. — 81, № 4. — С. 540–546.

7. Коняев Ю. А., Федоров Ю. С. Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач на полуоси// Мат. заметки. — 1997. — 62, № 1. — С. 111–117.

8. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978.

9. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.

10. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.

11. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. — М.:

12. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971.

13. Фридрихс К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1969.

14. Arrowsmith D. K., Place C. M. Dynamical systems. Differential equations, maps and chaotic behavior. — London: Chapman&Hall, 1992.

15. Chen X., Zhai G. Modeling and analysis for oscillator networks// Proceeding of the 25th Lasted International Conference on Identification and Control, Lanzorote, Canary Islands, Spain, 2006. — C. 261–

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ

16. Zeeman E. C. Differential Equations for the Heartbeat and Nerve Impulse// Salvador Symposium on Dynamical Systems. Academic Press, 1973. — C. 683–741.

Ю. А. Коняев Кафедра высшей математики Российский университет дружбы народов Москва, 117198, ул. Миклухо-Маклая, д. E-mail: ykonyaev@mail.ru В. И. Безяев Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский университет дружбы народов Москва, 117198, ул. Миклухо-Маклая, д. E-mail: bezyaevamm@gutains.ru О. Н. Филиппова Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский университет дружбы народов Москва, 117198, ул. Миклухо-Маклая, д. E-mail: l_amitie@mail.ru

Похожие работы:

«ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 129 БИОЛОГИЯ 2006. №10 УДК 595.76 (591.9) (471.51) С.В. Дедюхин МАТЕРИАЛЫ ПО КРАСНОКНИЖНЫМ И РЕКОМЕНДУЕМЫМ К ОХРАНЕ ВИДАМ ЖЕСТКОКОРЫЛЫХ (INSECTA, COLEOPTERA) УДМУРТСКОЙ РЕСПУБЛИКИ Приведены подробные материалы по экологии и распространению в УР 15 видов жесткокрылых, включенных в Красную книгу УР (2001), и 19 видов, рекомендуемых к внесению в новый список особо охраняемых видов животных Удмуртии. Ключевые слова: жесткокрылые, Coleoptera, Красная книга,...»

«ЭКОЭРУДИТ №10 Информационный сборник № 10. исследовательских работ по экологии учащихся школ г. Таганрога Таганрог 2013 г. Сборник №10 исследовательских работ по экологии, представленных на XXIII экологических чтениях в 2013 году учащимися школ города Таганрога, 80 с. /Информационный сборник /. Таганрог, 2013. В информационном сборнике Экоэрудит №10 представлены в оригинальном виде исследовательские работы учащихся школ города Таганрога, отмеченные членами жюри на XXIII городских экологических...»

«МИНЗДРАВСОЦРАЗВИТИЯ РОССИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ГБОУ ВПО ИГМУ Минздравсоцразвития России) Медико-профилактический факультет Кафедра микробиологии УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе А.В. Щербатых _ 2011 года РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ МИКРОБИОЛОГИЯ, ВИРУСОЛОГИЯ, ИММУНОЛОГИЯ _ наименование дисциплины для специальности: 060101 – Лечебное дело, вечернее отделение...»

«Аннотация рабочей программы дисциплины Физическая культура 1. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы Дисциплина Физическая культура относится к федеральному компоненту цикла общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин ООП ВПО. К исходным требованиям, необходимым для изучения дисциплины, относятся знания, умения и виды деятельности, сформированные при получении среднего (полного) общего или среднего профессионального образования. 2. Цель изучения дисциплины...»

«Математическое моделирование и теория управления Обновлено 08.04.2009 10:21 (над страницами книги А.А.Самарского и А.П.Михайлова Математическое моделирование) В.Н.Новосельцев Институт проблем управления РАН, г.Москва Современная теория управления, как и многие другие науки, сегодня немыслима без широкого применения методологии математического моделирования. Тем не менее, математическое моделирование как научная дисциплина еще очень молода, и выход обобщающей монографии [1] представляется важным...»

«МЕЖВЕДОМСТВЕННЫЙ СТРАТИГРАФИЧЕСКИЙ РОССИИ КОМИТЕТ ПОСТАНОВЛЕНИЯ МЕЖВЕДОМСТВЕННОГО СТРАТИГРАФИЧЕСКОГО КОМИТЕТА НЕГОПОСТОЯННЫХКОМИССИЙ Hh/1/Y( К 42 Санкт-Петербург • 2013 МИНИСТЕРСТВО ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ И ЭКОЛОГИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАUИИ ФЕДЕРАlЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НЕДРОПОЛЬЗОВАНИЮ (РОСНЕДРА) ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ •ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А.П. КАРПИНСКОГО• (ВСЕГЕИ) РОССИЙСКАЯ АКАдЕМИЯ НАУК

«Утверждаю Директор ИВЭП СО РАН, д.г.н. Ю.И. Винокуров ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ВОДНЫХ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ И НАУЧНО-ОРГАНИЗАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЗА 2012 ГОД Утверждены Ученым советом Института на заседании 15 ноября 2012 г. БАРНАУЛ – ОТВЕТСТВЕННЫЕ РЕДАКТОРЫ: д.г.н., проф. Ю.И. Винокуров д.б.н., проф. А.В. Пузанов к.б.н., доц. Д.М. Безматерных к.б.н., доц. В.В. Кириллов СОСТАВИТЕЛЬ:...»

«АИР-У- плюс Аппарат искусственного разрежения урологический Паспорт, техническое описание и инструкция по эксплуатации Саратов СОДЕРЖАНИЕ Стр. Введение.. 3 Историческая справка.. 1. 3 Физические и биологические основы локальной и фотодекомпресии. 2. 3 Аппарат АИР-У-плюс назначение, технические характеристики 3. и порядок работы.. 3.1. Показания к применению.. 3.2. Противопоказания.. 3.3. Основные технические характеристики.. 3.4. Комплект поставки аппарата.. 3.5. Конструкция и работа аппарата.....»

«ВЕСТНИК СВНЦ ДВО РАН, 2012, № 4, с. 28–37 28 ГИДРОБИОЛОГИЯ, ИХТИОЛОГИЯ УДК 59(092) РАЗВИТИЕ ИДЕЙ БИОГЕОГРАФИИ, ТАКСОНОМИИ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ В РАБОТАХ ЯРОСЛАВА ИГОРЕВИЧА СТАРОБОГАТОВА (1932–2004) Л. А. Прозорова1, В. В. Богатов1, И. А. Черешнев2 1 Биолого-почвенный институт ДВО РАH, г. Владивосток E-mail: lprozorova@mail.ru, vibogatov@rambler.ru 2 Институт биологических проблем Севера ДВО РАН, г. Магадан E-mail: nesc@north-east.ru Составлен краткий обзор творческого наследия выдающегося...»

«Электронный учебник Водоснабжение и водоотведение Руководитель Гринько Е. А. ИжГТУ Ижевск 2009 Оглавление 1 Водоснабжение населенных пунктов 1.1 Рациональное использование водных ресурсов 1.2 Характеристика природных источников водоснабжения 1.3 Системы водоснабжения населенных пунктов 1.4 Зоны санитарной охраны поверхностных источников 1.5 Водозаборы из поверхностных источников 1.6 Водозаборы берегового и руслового типа 1.7 Насосная станция первого подъема. Насосная станция второго подъема....»

«БИОСФЕРА История термина • Биосфера (греч. bios жизнь, sphaira шар) сфера жизни. Ввёл это понятие немецкий учёный, профессор Лейпцигского университета Ф.Ратцель (1845-1904) в книге Органический мир и его происхождение (1869). В этой книге органическое население Земли в целом он рассматривал как живой покров планеты, а её поверхность называл пространством жизни - der Lebensraum. Это слово в современном немецком языке понимается как синоним биосферы • Сам же термин биосфера создал австрийский...»

«Охраняемые растения Приамурья (еврейская автономная область) 2 Особо охраняемые природные территории Заповедник Заказник Охранная зона заповедника Дендрологический парк Памятники природы Биологический Ботанический Геологический Зоологический Спелео-ботанический Пути сообщения Границы Государственная Автомобильные дороги 10 0 10 20 км Области Железные дороги ОхрАняемые рАСтения ПриАмурья • уважаемые читатели! Dear readers! увидела свет ещё одна книга о еврейской авто- One more book about the...»

«Томас Ханна Соматика Возрождение контроля ума над движением, гибкостью и здоровьем [ Адекватный перевод ] v. 0.77 Соматика* * 1. Искусство и наука о процессе взаимосвязи между осознаванием, биологической функцией и окружающей средой — все три фактора понимаются как синергическое целое — это и есть сфера соматики. 2. Изучение сомы, являющейся биологическим телом функций, и служащей связующим звеном между сознанием и окружающей средой. 3....»

«Практическое руководство Безопасные и выгодные туалеты Путь к здоровью и благополучию Знаете ли вы, что диарея, гепатит, холера и брюшной тиф являются инфекционными заболеваниями, причиной возникновения которых часто являются фекалии? Знаете ли вы о том, что урина и фекалии не только являются отходами, но вполне могут найти полезное применение в земледелии и садоводстве? Сухие туалеты с отделением урины WECF, Нидерланды Женщины Европы за всеобщее будущее Дата публикации WECF 2008г, Опубликовано...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ИНСТИТУТ ГЕНЕТИКИ И ЦИТОЛОГИИ НАН БЕЛАРУСИ УДК: 575:579.852 Лагодич Алексей Викторович ХАРАКТЕРИСТИКА ПЛАЗМИД ПРИРОДНЫХ ШТАММОВ BACILLUS SUBTILIS 03.00.26 – молекулярная генетика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Минск – 2005 Работа выполнена на кафедре генетики биологического факультета Белорусского государственного университета Научный руководитель – доктор биологических наук, доцент Титок Марина Алексеевна,...»

«Региональный экологический центр Центральной Азии Обзор лучших практик по образованию для устойчивого развития в Центральной Азии в свете реализации Декады ООН по ОУР и Стратегии ЕЭК ООН по ОУР г. Алматы, Казахстан 2009 год 1 СОДЕРЖАНИЕ: ВВЕДЕНИЕ.. 3 1 ОБЗОР ЛУЧШИХ ПРАКТИК ПО ОБРАЗОВАНИЮ ДЛЯ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ АЗИИ: 1.1. Республика Казахстан..8 1.2. Кыргызская Республика..21 1.3. Республика Таджикистан.. 39 1.4. Туркменистан.. 53 1.5. Республика Узбекистан.. 1.6. Выводы.. 2....»

«1 CACFish:I/2011/Ref.4 Декабрь 2011 РЕГИОНАЛЬНАЯ КОМИССИЯ ПО РЫБНОМУ ХОЗЯЙСТВУ И АКВАКУЛЬТУРЕ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ АЗИИ И НА КАВКАЗЕ УЧРЕДИТЕЛЬНОЕ СОВЕЩАНИЕ Стамбул, Турция, 19-21 декабря 2011 г. Практика и управление искусственным воспроизводством осетровых рыб и выпуском молоди в естественные водоемы Руководство Подготовка документа Настоящее руководство было подготовлено Михаилом Чебановым (Южный филиал Федерального селекционно-генетического центра рыбоводства, Российская Федерация) и Харальдом...»

«Самарская Лука. 2007. – Т. 16, № 4(22). – С. 639-659. © 2007 Л.С. Шарая* КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ ЭКОСИСТЕМЫ ЖИГУЛИ Показано, что ведущими предикторами, определяющими пространственную изменчивость изучавшихся характеристик экосистемы, чаще всего выступают совместно гидрологически важная площадь сбора, описывающая терморежим склонов освещенность и связанная с эрозионно-денудационным сносом крутизна склонов. На основе выявленных...»

«КОЧЕТОВ Александр Александрович СПОСОБЫ НОРМИРОВАНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОСАДКИ КАРПА ПРИ ТРАНСПОРТИРОВКЕ В ОТКРЫТЫХ АЭРИРУЕМЫХ ЁМКОСТЯХ 06. 02.10 – частная зоотехния, технология производства продуктов животноводства АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата сельскохозяйственных наук Краснодар, 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном научном учреждении Государственный научно-исследовательский институт озёрного и речного рыбного хозяйства (ФГНУ ГОСНИОРХ)...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учрежение высшего профессионального образования Новосибирский национальный исследовательский государственный университет Факультет естественных наук Утверждаю Федорук М.П. План одобрен Ученым советом факультета Ректор УЧЕБНЫЙ ПЛАН Протокол № _ 20_ г. подготовки аспирантов 15.02. Форма обучения: очная 03.01. 03.01.03 - Молекулярная биология Кафедра Молекулярной биологии Квалификация...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.