WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:   || 2 |

«ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА (для специальности Юриспруденция) Учебно-практическое пособие Рекомендовано экспертным советом по дистанционному образованию Института ...»

-- [ Страница 1 ] --

ИНСТИТУТ А.В. Костромин

ЭКОНОМИКИ,

УПРАВЛЕНИЯ

И ПРАВА

ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА

(для специальности «Юриспруденция»)

Учебно-практическое пособие

Рекомендовано экспертным советом

по дистанционному образованию

Института экономики, управления и права

в качестве учебно-практического пособия для системы высшего и дополнительного образования

КАЗАНЬ

2005 2 Содержание Числа 3 Элементы комбинаторики Понятие вероятности Функции и графики Математические структуры Информатизация общества Информационный потенциал общества Информационные технологии Организация ПК Языки и программирование Программные продукты и их основные характеристики Основы защиты информации и сведений, составляющих государственную тайну Классификация программных продуктов Глоссарий Примерные тесты Список литературы Числа Натуральные, целые и рациональные числа Известные нам числа 1,2,3,… называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества предметов: один юрист, два юриста и т.д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов.

Если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, им можно присвоить номер: первый милиционер, второй, … Поэтому различают количественные числа - 1, 2, 3, … - и порядковые – 1 – й, 2 – й, … Для записи натуральных чисел больше десяти используется так называемая десятичная позиционная система. «Позиционная» потому, что значение каждой цифры зависит от её места (позиции), например:

147 = 1100+410+71, 714 = 7100+110+41, 471 = 4100+710+11.

«Десятичная» потому, что в ней используются степени десяти.

Другая система, например, пятеричная, содержит всего пять цифр:

0,1,2,3,4. Например, числовая позиционная запись расшифровывается так:

(143)5 = 152 + 451 + 350 = (125+45+31)10 = (48) Двоичная система содержит 0 и 1, например:

(1011001)2 = 126 + 025 + 124 + 123 + 022 + 021 + 110 = (164 + 032 + + 18 + 04 + 02 + 11)10 = (89)10.

Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Это неравноценные операции. Например, сумма a+b или произведение ab двух натуральных чисел a и b снова будет натуральным числом, причем порядок слагаемых и сомножителей не играет роли, т.е. a+b=b+a, ab=ba.





При вычитании и делении ситуация иная. Например, разность 5 – 2 – натуральное число, а натурального числа 2 – 5 не существует. 2 – 5 = - 3 – отрицательное число, оно не является натуральным числом. Числа (a) и (–a) называются противоположными.

Между натуральными и отрицательными целыми числами находится число 0 (нуль). Его смысл – пустое количество, например, количество попугаев в Антарктиде. Свойства нуля:

1) a + 0 = a;

2) a + (-a) = 0;

3) на нуль делить нельзя.

Множество натуральных чисел, число нуль и целые отрицательные числа называются в совокупности целыми числами.

Обозначения: N – множество всех натуральных чисел; Z – все целые числа.

Отображение множества Z – числовая прямая (шкала термометра) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Результат вычитания двух целых чисел всегда целое число. Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Множество Z является расширением множества N.

При делении тоже требуется расширить N. Через a/b обозначают дробь (обыкновенную), где a и b – любые целые числа (b0); обыкновенные дроби также называются рациональными числами. Они обозначаются через Q.

Целое число a можно записать как дробь а/1, поэтому целые числа входят как часть во множество рациональных чисел. Натуральные числа являются подмножеством целых чисел:

NZQ.

Значок означает «содержится в», «является подмножеством», «является частью».

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, делятся на простые и составные. Составное число можно представить как произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например, 4 = 22, 39 = 313 и т.д. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым, например, 2, 3, 5, 7.

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, т.н. «решето Эратосфена». Представим ряд натуральных чисел:

Отметим кружком первое число 2, это простое число; затем вычеркнем все числа, кратные двум. Вычеркнутые числа не являются простыми, их можно делить на два и записать в виде 2k. Из оставшегося множества возьмем наименьшее число 3. Оно простое. Затем вычеркиваем все оставшиеся числа, кратные трём. Эти числа составные, их можно представить как 3k. Из оставшегося набора чисел берём минимальное, т.е. 5, оно простое, и вычеркиваем все числа, кратные 5. И т.д. В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Полностью осуществить эту процедуру практически невозможно, т.к.

множество натуральных чисел бесконечно. Однако можно найти все простые числа, например, в первой тысяче натуральных чисел.

Десятичные дроби и действительные числа Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десяти, называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:





Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной иногда приводит к бесконечной десятичной дроби. Например, разделив «уголком», получим:

В этом случае бесконечная последовательность цифр содержит период – один и тот же повторяющийся набор цифр. Такие дроби называются бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби.

Рассмотрим на примере, как найти последнюю. Превратим в обыкновенные дроби числа q = 0,777… и р = 0,999… Умножим на 10, получим:

1) 10q = 7,777(7), откуда 10q = 7 + q; т.е. 9q = 7, или q.

2) 10р = 9,999(9), откуда 10р = 9 + р, т.е. 9р = 9, или р = 1.

Замечание. Число 1 можно записать в виде 1,000…, т.е. с периодом 0; аналогично 0,24 = 0,24000… и т.д.

Имеют ли смысл бесконечные непериодические десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катетов которого равна 1. Обозначим длину гипотенузы х. По теореме Пифагора Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числаa ми. Предположим противное, что корнем (1) является дробь x числа). Если дробьможно сократить, сделаем это, и далее будем считать, что дробь уже является несократимой. Подставим в (1), получим 2 2, или Т.к. в правую часть (2) входит множитель 2, то а – число четное, следовательно, число а – также четное, его можно записать в виде а = 2с. Подставим это выражение в (2), получим (2с)2 = 2b2, или, сократив на 2, 2с2 = b2. Отсюда следует, что число b2 также четное, следовательно, b – тоже четно. Поскольку а и b четные, дробь является сократимой. Это противоречит предположению о несократимости дроби. Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сделано неверное предположение о рациональности корня уравнения (1). Значит, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1). Квадратный корень из 2 не является рациональным числом, т.е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Найдем приближенные значения числа x 2. Ясно, что 1x2. Далее, 1,4 x1,52, поскольку 1,42 = 1,962, 1,52 = 2,252. С точностью до 0,1 х1,4.

Аналогично 1,41x1,42, т.к. 1,4122, 1,4222. С точностью до 0,01 имеем х1,41. Аналогично 1,414x1,415, т.е. х1,414 и т.д. Эта процедура позволяет находить все более точные приближения числа 2. Ни одно из них не может быть равно 2, т.к. все приближенные значения являются рациональными числами, а 2 не является рациональным числом. Поэтому последовательность приближенных значений будет бесконечной:

2 =1,414213562373… Описанным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей это просто деление уголком. Поскольку не является рациональным, то представляющая его бесконечная дробь не будет периодической.

Всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа слагаемых:

Такие суммы называются рядами. Первый ряд – так называемая геометрическая прогрессия, второй ряд прогрессией не является.

Другой источник бесконечных непериодических десятичных дробей - корни квадратных, кубических и биквадратных уравнений. Например, уравнение х3=5 имеет корень x 3 5, уравнение 2х2=3 – корни x. Корень любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами является, вообще говоря, бесконечной непериодической десятичной дробью.

Рассмотрим два очень важных числа, которые являются бесконечными непериодическими дробями: число и число е. Число - отношение длины l произвольной окружности к её диаметру d:

Это число известно с глубокой древности. Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения :

Архимед рассматривал вписанные в окружность правильные 2n - угольники. Он нашёл, что.

Лейбниц доказал, что можно представить в виде ряда:

(дроби в правой части не являются десятичными). Этот ряд позволяет находить приближенные значения. Перепишем (4) так:

В скобках стоят положительные числа. Отбросив их, мы увеличиваем правую часть:

С другой стороны, из равенства (4) получаем:

В скобках стоят положительные слагаемые. Отбрасываем их, получаем (правая часть уменьшается):

Это довольно грубая оценка. Её можно улучшить, если взять больше слагаемых ряда (4).

=3,141592653589793… Неперово число е также может быть представлено в виде ряда:

где n! = 123…n, или «n факториал».

Чтобы найти приближенное значение е, нужно в сумме (5) оставить несколько слагаемых, а остальными пренебречь. Чем больше слагаемых оставим, тем точнее результат:

е = 2,718281828459045… С помощью ЭВМ можно подсчитать числа и е с любой точностью.

Числа и е относятся к так называемым трансцендентным числам. Так называются числа, которые не могут быть корнями никакого уравнения вида (3) с целыми коэффициентами.

Действительными или вещественными числами называются все бесконечные десятичные дроби. Множество таких чисел обозначается R. Оно включает в себя множество Q всех рациональных чисел, поэтому можно записать Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Множество R является упорядоченным, т.е. любые два действительных числа можно сравнить между собой, указать, какое из них больше. Для этого нужно последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях.

Например, 2,381615 2, На первых четырех позициях соответствующие цифры одинаковы, а 65.

Единственное исключение из этого правила – не рассматривать периодические дроби с периодом 9. всякую такую дробь можно заменить равной ей конечной десятичной дробью, например: 0,999…=1; 0,42999…=0,43;

2,65999…=2,66.

Свойства операций сложения и умножения действительных чисел:

1) a+b=b+a - переместительный закон (коммутативность);

2) (a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность (переместительность) сложения;

3) (ab)c=a(bc) – ассоциативность умножения;

4) a(b+c)=ab+ac – дистрибутивность.

Правило округления десятичных дробей, например, до сотых:

0,8110,81; 0,8120,81;…; 0,8150,82; 0,8160,82;…; 0,8190,82.

Действия со степенями:

по определению: а0 = 1, аn = aaa…a (n сомножителей); a n.

Отсюда следует, что для любых m,nN aman=am+n: (an)m=anm: anbn=(ab)n.

Число, которое при возведении в степень n даёт а, называется корнем степени n из а. Если число n нечетное, то существует только один действительный корень степени n из числа а; его обозначают n a, или a 1 / n. Если n четное, а число а – положительное, то действительных корней будет два. Например, 81 3. Положительный корень называется арифметическим, и именно он обозначается n a или a 1 / n.

Степень с дробным показателем определяется так:

Имеют смысл и выражения вида ах, где х – любое действительное число, например, 2. Действия с такими степенями производятся по тем же правилам, что и с натуральными степенями, например, 3 2 3 3.

Стандартная форма записи чисел реализуется в виде произведения двух множителей, первый из которых – между 1 и 10, а второй является степенью десяти, например 243507 = 2,43507105; 0,184 = 1,8410-1 и т.д.

Такая форма используется при вычислениях с калькулятором, особенно если не хватает разрядов для точных вычислений. Она также используется в компьютерах.

Первичная обработка результатов эксперимента Явления, происходящие в природе и обществе, сложны и разнообразны.

Ученые изучают разные стороны этих явлений, причем каждая наука вырабатывает свои методы исследования. Например, преступность изучают юристы, социологи, психологи, медики. Есть тут серьезная работа и для математиков.

Их задача – подвергнуть математической обработке огромный статистический материал – отчеты органов внутренних дел и прочее – содержащий различные числовые данные. Цель этой работы – выделить наиболее существенные сведения об интересующем явлении.

Результаты обработки представляются в виде таблиц, диаграмм, графиков и различных числовых характеристик, которые называются параметрами. Важнейшие из них – среднее арифметическое и дисперсия.

Среднее арифметическое Понятие среднего значения используется для описания разнообразных явлений природы и общественной жизни: средняя температура воздуха, средняя зарплата, средняя продолжительность жизни. Например, для изучения общественного мнения проводят опрос не всех избирателей, а лишь небольшой части населения. По результатам прогнозируют популярность кандидатов у различных групп населения в разных регионах. При грамотной математической обработке результатов опроса выводы будут достаточно точно отражать реальную ситуацию.

Средней величиной обычно называют среднее арифметическое.

Пусть х1, х2,..., хn - некоторые числа. Их средним арифметическим называется число Пример. Количество ДТП на улицах города в первую декаду декабря:

6 8 10 7 6 11 9 8 7 11. Среднее арифметическое этих чисел показывает среднее число ДТП в день.

В сводке за следующие 10 дней такие данные: 0 5 7 7 12 11 14 13 7 6.

Их среднее арифметическое Отсюда видно, что средние значения 8,3 и 8,2 отличаются друг от друга значительно меньше, чем число ДТП за каждый день. Поэтому среднее число ДТП можно прогнозировать, причем достаточно точно. Этот факт подтверждается и отчетами ГАИ за много лет. Из них также видно, что чем больше срок отчетности (декада, месяц, квартал, …), тем устойчивее средняя величина.

Такое свойство средних значений представляет собой одно из важнейших проявлений закона больших чисел, открытого знаменитым русским математиком П.Л.Чебышевым.

Если исходные данные содержат несколько десятков чисел, то составляют таблицу, в которой указывают для каждой величины, сколько раз она наблюдалась.

Пример. Число правонарушений в городе, совершенных подростками за первые 20 дней сентября: 8 6 13 4 13 13 12 9 7 6 12 14 13 12 17 6 7 12. По этим данным составим таблицу:

Среднее число правонарушений в день:

Отсюда формулу (1) можно переписать так:

Здесь ~1, ~2,..., ~k - различные среди заданных n чисел. При этом Таблицу 1 можно переписать так, чтобы во второй строке вместо числа дней стояла доля, которую это число составляет от числа всех дней, т.е. частота:

Используя понятие частоты, подсчитаем среднее значение x иным способом:

Таким образом, среднее арифметическое равно сумме произведений чисел, взятых из первой строки таблицы 2, на их частоты.

Преобразуем таким же способом формулу(2). Возьмем частоты:

Этой формулой можно пользоваться и в том случае, когда не известны величины m1, m2,..., mk, n, но известны значения частот.

Пример. В некотором городе каждому пассажиру междугородного автобуса вручают страховой полис на 50000 руб., взимая за это 50 руб. Какова средняя прибыль страховой компании от продажи одного полиса, если несчастные случаи происходят в среднем с одним пассажиром из 10000?

Решение. Прибыль может принимать 2 значения: 50 руб., если несчастного случая не произошло, и – 49950 руб. при гибели пассажира. Составим таблицу частот:

Отсюда среднее значение прибыли:

х 50 0,9999 (49950) 0,0001 49,995 4,995 45 (руб.) Дисперсия и среднее квадратическое отклонение Для описания многих ситуаций знания только среднего арифметического недостаточно. Представим ситуацию, в которой двух студентов послали на практику в города А и Б. Среднесуточная температура в этих городах в это время года равна нулю. В город А осторожный студент взял только теплые вещи, в город Б – оделся по – летнему. В городе А днем температура составляет +20 С, ночью – минус 20 С. В городе Б днем +150 С, ночью – минус 150 С. Результат такой: хотя средняя температура была нулевой, оба заболели: один перегревался, другой мёрз.

Отсюда видно, что, помимо средней величины, нужно знать еще и то, как заданные числа рассеяны около среднего значения. Для этого вводятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией величин х1, х2,..., хn называется число:

Пример. На обследование каждого из 10 автомобилей было затрачено следующее время:

Здесь xi – время, затраченное на обследование автомобиля с номером i.

Найти дисперсию xi.

Решение. Составим таблицу из трех столбцов:

В последней строке приведены суммы величин в столбцах. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что сумма отклонений (второй столбец) всегда должна равняться нулю! Если это не так, значит, допущена ошибка в вычислениях.

Если известны частоты ~1, ~2,..., ~k, то вместо (5) можно использовать форрр р мулу:

Средним квадратическим отклонением величин х1, х2,..., хn от их среднего значения х называется величина В примере среднее квадратическое отклонение равно:

S 107,6 10,373... 10,4 (мин.) Дисперсия является средним арифметическим квадратов разностей xi- х.

Отсюда S можно рассматривать как среднее отклонение величин х1, х 2,..., х n от их среднего значения х. Имеет место следующее свойство величины S: она не превышает наибольшей из величин | xi- х |.

Рассмотрим теперь понятие переменной (случайной) величины. В примере каждому автомобилю ставится в соответствие время его обследования. В этом случае говорят, что время обследования есть переменная величина Х, принимающая значения х1, х 2,..., х n.

Теперь допустим, что нужно обследовать все автомобили в городе. Число автомобилей очень велико, и описать все значения Х практически невозможно.

Однако можно, не проводя самого обследования, предсказать результаты приближенно. Составим таблицу на базе таблицы 3:

Обычно прогноз содержит следующую информацию о величине Х:

диапазон значений величины Х;

среднее квадратическое отклонение S;

интервал наиболее вероятных значений Х;

долю значений Х, попадающих в заданный промежуток;

По данным примера:

время обследования изменяется от 22 до 54 мин.;

среднее время обследования одного авто х =34 мин.;

среднее отклонение Х от среднего значения составляет 10,4 мин.

Обычно серединой интервала наиболее вероятных значений Х является точка х, а в сам интервал попадает более половины значений Х. Рассмотрим интервал х S, x S : х - S = 23,6; х + S = 44,4. Из таблицы 5 видно, что в этом интервале (23,6; 44,4) содержатся 5 значений Х: 25, 30, 36, 40, 41. Суммарная частота 0,6 (60%).

Совокупность всех рассматриваемых объектов называется генеральной совокупностью, а часть объектов, каким – либо способом выбранных для обследования, называется выборкой. В данном случае генеральная совокупность – все автомобили в городе, а выборка – те 10 авто, которые рассматривались.

Очень важно сделать выборку правильно. От этого зависит точность и достоверность выводов и результатов прогноза. В математической статистике изучаются способы отбора, позволяющие сделать выборку так, чтобы полученная информация была достаточно полной и адекватной интересующему признаку генеральной совокупности. Тогда величины х и D будут близки к значениям, которые могли бы быть получены при обработке всей генеральной совокупности.

Интервальный ряд и гистограмма При обработке большого числа экспериментальных данных их предварительно группируют и оформляют в виде так называемого интервального ряда.

Пример. Рассмотрим среднюю месячную зарплату 50 случайно отобранных работников предприятия:

317 304 230 285 290 320 262 274 205 180 234 270 257 290 258 296 301 150 160 210 235 308 180 244 365 130 170 250 370 267 288 231 253 256 279 285 226 367 247 252 320 160 Величина Х здесь – средняя месячная зарплата. Наименьшее её значение – 130, наибольшее – 370. Диапазон составляет 130270, его длина 370 – 230 = 240.

Разобьем диапазон на части (разряды) так, чтобы каждый разряд содержал несколько экспериментальных данных. Например, на 6 равных частей: 240 : 6 = 40 – длина одного разряда. Границы: 130, 170, 210, 250, 290, 330, 270.

Подсчитаем число значений в каждом разряде, например, разряд 130170:

130, 170, 150,160,160; поскольку значение 170 попадает на границу 1 – го и 2 – го разрядов, включим его и в 1 – й, и во 2 – й разряды, но с с кратностью.

Сложим кратности, получим абсолютную частоту 1 – го разряда:

Относительная частота ~1 попадания Х в 1 – й разряд равна:

И т.д. Результаты можем свести в таблицу:

Таблица 6 называется интервальным рядом. Для проверки правильности вычислений используется свойство:

а также свойство Графически интервальный ряд изображается в виде гистограммы, которая строится так. Сначала вычисляют плотности частот h1, h2,..., hk делением относительной частоты каждого разряда на его длину:

h6 0,0025.

Затем выбирают на плоскости систему координат и откладывают на оси Х границы разрядов: 130, 170, 210, … На каждом участке оси Х из отрезков длины 40, как на основании, строят прямоугольник высотой hi.

В каждом прямоугольнике площадь равна h1, h2,..., h6.

Отсюда правило: чтобы найти долю тех значений Х, которые попадают в некоторый интервал, надо найти площадь той части гистограммы, основанием которой является данный интервал.

Найдем долю значений средних месячных зарплат работников данного предприятия, которые попадают в интервал 210 – 300:

В случае интервального ряда отдельные значения Х не фиксируются, а подсчитываются только абсолютные частоты каждого разряда. Поэтому нельзя использовать формулы (1), (5) и (7) для вычисления х, D и S. Однако можно найти приближенные значения этих величин. Для этого находят середины разрядов ~1, ~2,..., ~k ; затем вычисляют величины х, D и S по следующим формулам:

Результаты расчетов могут быть сведены в таблицу:

D = 3113,75;

Интервальный ряд, гистограмма и числовые характеристики, найденные по формулам (8) – (10), составляют математическую модель средней заработной платы на данном предприятии. Она используется при проведении различных социологических исследований, например, при определении уровня жизни работников какой – либо отрасли.

Элементы комбинаторики Комбинаторные задачи и методы их решения Задачи комбинаторики следующие:

выбор из некоторой группы предметов тех, которые обладают некоторыми свойствами;

расположение этих предметов в определенном порядке;

расчет числа возможных комбинаций.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Имеется 10 милиционеров. Из них назначается ежедневный наряд из двух человек: старшего наряда и дежурного. Чтобы избежать длительных контактов с нарушителями, каждый день назначается новый наряд. Сколько дней наряды не будут повторяться?

Решение. Составим таблицу:

Клетки по диагонали таблицы (1,1), (2,2),…, (10,10) исключаются. Остаются по 9 клеток в каждой строке, всего 90 клеток, каждая из которых соответствует своему составу наряда.

Пример 2. В районе в среднем случается 2 ЧП в день. Опергруппа обычно состоит из трех человек: следователя, оперативника и эксперта. В УВД служат 3 следователя, 2 оперативника и 3 эксперта. Каждая группа, пока это возможно, отличается от предыдущих. Через какое время группы начнут повторяться?

Решение. Произведем перебор составов опергруппы. Обозначим следователей С1, С2 и С3, оперативников О1 и О2 и экспертов Э1, Э2 и Э3. Составим дерево различных комбинаций.

Число всех путей (каждый путь – состав опергруппы) равно 323 = 18. В день происходит 2 происшествия, т.е. через 18:2 = 9 дней группы начнут повторяться.

Пример 3. Случай с адвокатом. Компьютерный вирус на компьютере адвоката предлагает ему последовательно ответить на 12 вопросов «да» или «нет» и даёт срок 10 дней. Адвокат решил перебрать все возможные комбинации ответов. Каждый вариант требует ввода и занимает по времени 1 минуту. Успеет ли адвокат ответить правильно, если он тратит на это ежедневно по 6 часов?

Решение. Одна комбинация даёт два варианта ответа, две комбинации – уже 4 варианта и т.д. Здесь 4096 вариантов, т.е. 212. На все ответы требуется 4096 минут. Разделим на 60, получим 68 часов 16 минут, что при 6 – часовом рабочем дне составляет более 11 суток. Значит, адвокат не успеет!

Сформулируем правило умножения. Пусть требуется выполнить последовательно 2 действия. Если первое действие выполняется m различными способами, а второе – n различными способами, то оба действия можно выполнить mn различными способами.

Это правило обобщается на произвольное число последовательных действий.

Метод математической индукции Допустим, нужно доказать, что некоторое утверждение справедливо при любых значениях натурального числа n, содержащегося в формулировке этого утверждения. Для этого достаточно:

1) проверить данное утверждение при n = 1;

2) предположив, что оно верно при n = k, доказать, что оно верно при n = k + 1.

В этом и заключается метод математической индукции. Например, утверждается, что справедливо равенство:

Докажем, что формула (1) верна при n = k + 1, т.е.

Используя допущение, получим:

что и требовалось доказать.

Другой пример. Докажем, что при любом натуральном показателе степени n число 8 n 1 делится на 7.

Проверим при n = 1, получим: 81 – 1 = 7, т.е. делится на 7.

Допустим, что 8k – 1 делится на 7. Покажем, что в этом случае 8k+1 – 1 также делится на 7:

Это сумма двух чисел, каждое из которых делится на 7, следовательно, утверждение доказано.

Теорема 1. Пусть требуется последовательно выполнить n действий, причем первое действие может быть выполнено m1 способами, второе – m2 способами и т.д., наконец, n-е действие – mn способами. Тогда число Sn всех способов, которыми можно выполнить n действий, равно:

Доказательство. При n = 1 получаем одно действие, которое можно выполнить m1 способами. Значит, при n = 1 верно. Пусть формула (2) верна для n = k действий:

Докажем, что она верна для n = k + 1 действий.

Обозначим произвольный вариант выполнения k действий набором из k чисел. Например, набор (3,1,6,…,5) означает вариант, в котором первое действие выполняется третьим способом, второе – первым способом и т.д., k - е действие – пятым способом. В случае выполнения k + 1 действия каждый из вариантов описывается k + 1 числом. Всякий такой набор получается добавлением одного числа к какому – либо набору из k чисел, например:

(3,1,6,…,5,1), (3,1,6,…,5,2), (3,1,6,…,5,3),…, (3,1,6,…,5,mk+1), всего mk+1 вариантов. Число всех способов выполнения k + 1 действий будет что и требовалось доказать.

Перестановки, размещения,, сочетания В комбинаторных задачах комбинации предметов могут отличаться одна от другой числом предметов, их составом и порядком.

Пример. В отделении 5 новобранцев: Белкин, Пенкин, Фенькин, Свечкин и Овечкин. Их учат рассчитываться по порядку. Каждый раз их перестраивают по – новому и расчет повторяется. Сколько раз сержант может повторить это упражнение разными способами?

Можно обозначить солдат первыми буквами их фамилий. Например, ПСОФБ означает порядок, в котором солдаты расположились на построении.

Все комбинации отличаются порядком букв и называются перестановками.

Пусть дано множество из n элементов. Занумеруем их от 1 до n.

Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов.

Теорема 2. Число всех различных перестановок из n элементов равно n!

Доказательство. Всякую перестановку из n элементов можно получить с помощью n действий: первое действие – выбор первого элемента, второе действие – выбор второго элемента и т.д., n – е действие – выбор элемента с номером n.

Первый элемент можно выбрать n различными способами; второй выбирается из оставшихся n – 1 элементов, поэтому число всех способов выполнения второго действия будет n – 1. Далее останется n – 2 элемента, их можно разместить n – 2 способами. И т.д. Последнее действие можно выполнить одним способом. По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е.

число перестановок, равно п (п 1) (п 2) 1 п! (так обозначается функция факториал, т.е. произведение всех членов натурального ряда до n включительно).

Число перестановок обозначается Рn:

В случае с новобранцами (n = 5) Рn = 5! = 120.

Пример. Свидетель происшествия запомнил, что четырехзначный номер автомобиля, скрывшегося с места происшествия, начинается с цифры 1, а завершается на 4, причем все цифры разные. Сколько автомобилей должна проверить автоинспекция?

Решение. Вторую и третью цифры надо выбирать из восьми, а именно из 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9. Если выбрать вторую цифру восемью способами, то для третьей цифры останется 7 вариантов. Отсюда 87 = 56 способов.

Нужно перебрать из восьми цифр по две с учетом их порядка, поскольку 1674 и 1764 – разные номера. Такие комбинации называют размещениями.

Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким – либо способом из данных n элементов.

Число размещений обозначается Аnk.

Теорема 3. Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

(в этой формуле k сомножителей).

Доказательство. Аналогично теореме 2. Каждое размещение можно получить с помощью k действий. Первое действие можно выполнить n способами, второе – n- 1 способами и т.д., k действие – (n – k + 1) способами. По правилу умножения Аnk п (п 1) (п 2)... (п k 1), что и требовалось доказать.

Для рассмотренного выше примера А82 8 7 56.

Пример. Из 10 депутатов поселкового совета 7 проголосовали «за». Каково число всех возможных вариантов голосования?

Здесь порядок выбора не играет роли, поэтому комбинации отличаются только составом лиц. Такие комбинации называются сочетаниями.

Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким – либо способом из данных n элементов.

Теорема 4. Число всех сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

Доказательство. Возьмем какое – нибудь сочетание из n элементов по k:

(a, b, c, …, f) - здесь k букв.

Переставляя эти элементы всевозможными способами, получим k! всех размещений из n элементов по k одного и того же состава. Таким образом, из одного сочетания получается k! размещений. Следовательно, из С nk сочетаний получится С nk k! размещений, т.е. Аnk С nk k!. Отсюда Другая формула для числа сочетаний имеет вид:

Теорема 5.Свойство С nk :

Доказательство. Если из n элементов выбрать k элементов, то останется (n – k) элементов. Следовательно, каждому сочетанию из n элементов по k соответствует определенное сочетание из n элементов по (n – k ). Поэтому число тех и других сочетаний одинаково, что и требовалось доказать.

Формула (7) сокращает вычисления, например:

По определению 0! = 1, Аn0 1, С n0 1.

Числа С nk называются биномиальными коэффициентами, с их помощью записывается так называемая формула бинома Ньютона:

Эту формулу можно доказать методом математической индукции.

Понятие вероятности Случайные события Все наблюдаемые при определенных условиях события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Всякий раз, когда указанные условия выполняются, говорят, что происходит испытание.

Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.

Другой пример. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

Достоверным называется такое событие, которое происходит при каждом испытании.

Невозможным называется событие, которое не может произойти не при одном испытании.

Случайным называется событие, которое в данном испытании может произойти, а может и не произойти.

Событие «стрелок поразил одним выстрелом сразу 4 области» - невозможное.

Событие «стрелок поразил одну из 4-х областей» - достоверное.

Событие «стрелок поразил 1-ю область» - случайное.

Случайные события обозначаются буквами А,В,С,…, достоверное событие – (иногда U), невозможное – Суммой событий А и В называется такое событие А+В, которое состоится при появлении или события А, или события В, или обоих событий вместе.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое происходит при одновременном наступлении обоих событий.

Аналогично определяется сумма и произведение большего числа событий.

Событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет, называется разностью событий А и В и обозначается А - В.

Если при каждой реализации комплекса условий, когда происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В, и обозначают А В или В А.

Если имеет место одновременно и А В, и В А, то события А и В называются равносильными (эквивалентными). В этом случае пишут А=В.

События А и В называются несовместными, если их совместное наступление невозможно, т.е. А В = Например, при одном бросании монеты выпадает либо орел (событие А), либо решка (событие В). Событие А и В несовместны.

Два несовместных события А и В называются противоположными, если при всякой реализации комплекса условий одно из них обязательно происходит. Иначе говоря, А и В будут противоположными событиями, если для них одновременно выполняются два соотношения В=.

Имеют место важные соотношения (законы де Моргана):

Пример. Событие А – взятая наудачу деталь – 1-го сорта, событие В – 2-го сорта, событие С – 3-го сорта. Что представляют собой следующие события: А + В; A C ; А+С; АС; АВ+С?

Решение. А+В – событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из событий А и В; следовательно, А+В – деталь 1-го или 2-го сорта. Так как А+С – деталь 1-го или 3-го сорта, то противоположны этому событие A C – деталь 2-го сорта. АС – невозможное событие, поскольку деталь не может быть одновременно 1-го и 3-го сорта. АВ+С как сумма невозможного события и события с равно С, т.е. АВ+С – деталь 3-го сорта.

Пример. Упростить выражение: A B A B Решение. Используем обычные алгебраические правила раскрытия скобок с учетом действий над событиями: A B A B AA AB AB B B Событие АА=А, событие B B невозможное, поскольку не может одновременно произойти В и противоположное ему, т.е. B B ; событие AB AB AB B, т.е. в скобках имеет достоверное событие (произойдет или В, или не В), таким образом, AB AB AB B =А = А.

Теперь запишем окончательное выражение:

Пример. Пусть А,В,С – три произвольных события. Найти выражение для событий, которые состоят в следующем:

1) Произошло одно и только одно событие;

2) Произошло два и только два события;

3) Произошло не более двух событий.

Решение. 1)Данное событие состоит в том, что произошло какое – либо одно из событий А,В или С, и при этом два других события не произошли, т.е.

либо событие А B C, либо событие A B C, либо событие A B C. Эти события несовместны, и их можно объединить в сумму:

2). По аналогии с предыдущим:

А В С А В С А ВС

3). Данное событие противоположно событию, состоящему в том, что произошли все три события А, В и С, поскольку все остальные их комбинации подходят под заданное определение. Таким образом, имеем:

или по закону де Моргана:

т.е. хотя бы одно из событий А, В или С не произошло.

События А1, А2,..., Аn называются единственно возможными, если в результате испытания приходит какое – либо одно и только одно из этих событий. Говорят также, что эти события образуют полную группу.

Например, игральную кость бросают 1 раз. События А1, А2, …, А6 состоят, соответственно в выпадении чисел 1, 2,..., 6. Эти события являются единственно возможными.

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместными и единственно возможными. Эти события называются исходами испытания, или элементарными событиями. Совокупность всех исходов испытания называется также пространством элементарных событий.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Например, появление герба или решки при бросании монеты – события равновозможные.

Классическое определение вероятности Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступления некоторого случайного события.

Рассмотрим испытания, в результате которого может появиться событие А.

Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А Например, событие А – «четное число очков при одном бросании игральной кости». Из шести равно возможных исходов (от 1 до 6) три исхода (2, 4, 6) являются благоприятными событию А.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.

Обозначается вероятность события А через Р (А), т.е.

где m - число элементарных исходов, благоприятных А, n - число всех исходов.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1) Вероятность достоверного события равна единице: Р () = 1.

2) Вероятность невозможного события равна нулю: Р () = 3) Вероятность случайного события заключена между нулем и единицей, При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях используют комбинаторные формулы.

Пример. Преступник знает, что шифр сейфа состоит из цифр 1, 3, 7, 9, но не знает, в каком порядке их набирать. Определить вероятность того, что первые 2 цифры шифра будут набраны верно, а также вероятность того, что сейф будет открыт с первой попытки.

Решение. В первом случае исходом будет упорядоченная пара первых двух цифр шифра. Число таких пар равно числу размещений из 4 – х элементов по 2, А42 4 3 12. Только один исход является благоприятным, и его вероятность равна 1/12. Во втором случае исходом является перестановка из цифр 1, 3, 7, 9. Число всех исходов Р4 4! 24. Только один исход является благоприятным, поэтому вероятность открыть сейф с первой попытки равна 1/24.

Свойства вероятности Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле Доказательство. Пусть число всех исходов равно n. В число исходов, благоприятных событию А+В, входят все исходы, благоприятные событию А, и все исходы, благоприятные событию В. Так как А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому т( А В) m( А) т( В). Следовательно, Задача. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Обозначим события: А – «вынут синий шар», В – «вынут красный шар».

Теорема 2. Справедлива формула:

Доказательство. События А и А несовместны, поэтому по формуле (1) С другой стороны, событие А А является достоверным, поэтому Р А А 1. Следовательно, Р( А) Р( А ) 1, что и требовалось доказать.

Задача. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,001. Какова вероятность того, что владелец билета ничего не выиграет?

Решение. Обозначим события: А – «выигрыш», В – «не выигрыш». По формуле (2) Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий.

Методом математической индукции доказывается, что если события А1, А2, …, Аn попарно несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

Условные вероятности. Зависимые и независимые события Условной вероятностью Р(А/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.

Теорема 3.

Доказательство. Пусть испытание, в котором могут появиться события А и В, имеет n исходов. Обозначим m(B) – число исходов, благоприятных событию В, m(AB) – то же для события АВ. Найдем Р(А/В). По смыслу определения учитываем только те исходы, в которых произошло В, число всех возможных исходов равно m(B). Число исходов, благоприятных в этой ситуации событию А, будет m(AB). Поэтому Следствие формулы (4):

Задача. Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 туза?

Решение. Обозначим события: В – «первая карта – туз», А – «вторая карта – туз». Найдем вероятность произведения АВ. По формуле (5) Методом математической индукции формулу (5) можно распространить на любое число событий. Например, для трех событий:

а для четырех событий она имеет вид:

События А и В называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Другими словами, А и В независимы, если В этом случае формула (5) принимает вид:

Отсюда вытекает следующая теорема:

Теорема 4. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Функции и графики Линейная и постоянная функции Общепринятая форма записи произвольной линейной функции такова:

где k и b – некоторые постоянные, а х и у – переменные, причем у зависит от х, т.е. является функцией переменной х.

Символом х обозначен произвольный элемент некоторого числового множества, которое называется областью определения функции.

С помощью системы координат каждую функцию можно изобразить наглядно в виде графика.

Соотношение (1) называется уравнением построенной прямой, k - угловой коэффициент, k tg, - угол между осью х и прямой.

Если принять k = 0, то уравнение (1) примет вид:

Это постоянная функция; она принимает одно и то же значение при любом х, т.е. не зависит от переменной х.

Уравнение тоже задает постоянную функцию, но здесь х не зависит от у.

Если у не зависит от х, то и х не зависит от у. х всегда можно выразить через у. В уравнении (1) это будет выглядеть так:

Эта функция называется обратной.

Уравнения (1), (2), (3) можно записать в единообразной форме:

где А, В, С – постоянные, причем А и В не могут быть нулями одновременно. В левой части (5) находится многочлен первой степени относительно х и у. Уравнение (5) называется общим уравнением прямой.

Рассмотрим изображение функции y kx b и обратной к ней на одном чертеже. В обоих случаях независимую переменную необходимо обозначить одинаково, т.е. х. Тогда Здесь произведена замена х у. Точки обеих прямых симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. То есть графики функции (1) и обратной к ней функции (6) симметричны относительно прямой у =х.

Степенные функции Уравнение квадратичной функции имеет вид:

Её график называется параболой.

Точка О называется вершиной параболы.

Найдем обратную к ней функцию. Произведем замену х у : х у 2. Отсюда у х. Это две функции. Первая, у х, будет обратной для правой ветви параболы у х 2 при х 0. Вторая, у х, будет обратной для левой ветви параболы у х 2 при х 0.

Кубическая парабола имеет уравнение:

обратная к ней функция – уравнение Графики этих функций также имеют симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Показательная и логарифмическая функции Функция называется показательной, потому что независимая переменная х входит в показатель степени. При а = 1 имеем постоянную функцию; кроме того, при а = - и х = получаем у (3)1 / 2 3. Такого действительного числа не существует, поэтому считаем, что а 1, а 0. Обратную функцию получим по стандартх ной схеме: х у, х а. Величина у здесь – это показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить х, т.е.

Графики прямой и обратной функций при а1 имеют вид:

По определению log а 1 0, log а a 1, log а a k k. При а1 графики имеют другой вид. Обе функции являются убывающими. Для логарифмов по основаниям 10 и е вводятся специальные обозначения:

Показательная функция у е х называется экспонентой.

Пример. Распад радиоактивной массы отходов вычисляется по формуле t – время, m0 – масса отходов в начальный момент времени, m(t) – масса в момент t. Параметр k находят опытным путем.

Для одного из изотопов кобальта k = 0,13. Найдем массу через 5,2 года, если исходная масса m = 100г.

Фактически 5,2 года – период полураспада.

Элементарные функции Кроме рассмотренных функций, в школе изучают тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Главное свойство тригонометрических функций – периодичность, они все имеют период 2, т.е.

Степенная, показательная и логарифмическая функции периодическими не являются.

Самые разнообразные процессы в живой и неживой природе являются периодическими: колебательные и вращательные движения, волновые явления, движение планет, биоритмы и т.д.

Функции, как и числа, можно складывать, вычитать, умножать и делить.

При делении одной линейной функции на другую получим дробно – линейную функцию:

При сложении нескольких степенных функций получаются степенные многочлены:

Вейерштрасс доказал, что любую непрерывную функцию можно приближать многочленами с любой степенью точности. Например:

Чем больше n (число слагаемых), тем выше точность.

Рассмотрим пример с массой кобальта. Ограничимся тремя слагаемыми:

Подставим в формулу (х = 0,676):

Это довольно грубо. Возьмем четыре слагаемых:

Более точное значение:

Если один многочлен поделить на другой, получится дробно - рациональная функция; например:

Над функциями можно производить операцию, которая не имеет аналога у чисел. Это операция композиции. Например, рассмотрим функции у v 2 и v х 1. Их композицией будет функция Точно так же функция представляет собой композицию функций у е v и v x 2. Композиции двух или нескольких функций называются сложными функциями.

Элементарными функциями называются постоянные, линейные, степенные показательные, логарифмические и тригонометрические функции, а также функции, которые получаются из них с помощью конечного числа арифметических операций и операций композиции.

Корреляционная зависимость Рассмотрим пример. Между ростом и весом человека существует определенная зависимость. Однако много людей с одинаковым ростом имеют разный вес. Такая зависимость не является функциональной, поскольку для функций каждому х соответствует единственное значение у.

Можно предположить, что вес зависит не только от роста, но и от размера талии и прочих параметров, но она является очень сложной и пока никем не обнаружена. Можно считать, что вес человека зависит от ряда случайных величин, среди которых рост является одной из основных. Эту зависимость описывают с помощью понятия вероятности. Зависимости такого рода называются стохастическими, вероятностными или статистическими. Важнейшим видом здесь является корреляционная зависимость.

Рассмотрим в качестве примера вес и рост двадцати курсантов школы МВД:

Рост 178 170 181 173 169 178 177 165 Изобразим точки графически:

Точки лежат внутри некоторой области, или «облака». Заметно, что облако вытянуто вдоль какой – то наклонной прямой. Это означает, что Х и Y хорошо коррелированы, т.е. при увеличении роста вес, как правило, тоже увеличивается. Соединим точки отрезками, получим эмпирическую ломаную регрессии.

При большем числе измерений эта ломаная больше похожа на прямую.

Прямая, к которой стремится ломаная, называется регрессией. Она является наилучшим решением задачи построения прямой, относительно которой сумма квадратов вертикальных отклонений экспериментальных точек будет наименьшей. Это задача метода наименьших квадратов.

Уравнение искомой прямой имеет вид:

Здесь х, у, ху - средние значения роста, веса и их попарных произведений, Dx - дисперсия роста.

Подставим в формулы, получим:

Получим уравнение прямой:

Это эмпирическое уравнение регрессии.

Величина r, определяемая по формуле:

называется коэффициентом корреляции. Здесь S x D x, S у D у, S x 8,89, S у 9,28.

Свойства коэффициента корреляции:

2. Если величины Х и Y независимы, то коэффициент корреляции равен нулю.

3. Если Х и Y связаны линейной зависимостью, то r = 1 или r = - 1, и наоборот.

При совместном изучении двух случайных величин Х и Y прежде всего находят величину коэффициента корреляции, и если он оказывается близким к единице, то имеет смысл описывать корреляционную связь.

Идея предела Предел функции Начнем с рассмотрения понятия непрерывности функции. В качестве примера возьмем функцию y = f(x) =x2. Значение функции в точке 2, т.е. f(2) = =4. Рассмотрим на оси х бесконечную последовательность точек с координатами: х1 = 2 – 1 = 1; х2 = 2 – = 3/2; х3 = 2 – = 1 ; … Любое из этих чисел меньше двух. Эти точки скапливаются около точки х0 = 2.

Разности х0 – хk, k0 уменьшаются в 2 раза и могут стать меньше любого наперед заданного малого положительного числа. Поэтому говорят, что последовательность х1, х2, х3, … стремится к числу 2 или имеет своим пределом число2. при этом функция ведет себя так:

Это бесконечная последовательность. С увеличением k дроби стремятся к нулю, поэтому yk стремится к четырем:

lim – от латинского limes т.е. граница.

Можно взять другую последовательность: 2 – 1; 2 – 1/10; 2 – 1/100 и т.д.

Она также имеет своим пределом число 2. Таких последовательностей можно указать сколько угодно. Зависит ли предел функции от выбора последовательности, т.е. от того, каким образом переменная х стремится к двум? Нет, не зависит. Строгое определение предела функции включает в себя требование независимости от выбора последовательности.

Когда предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, говорят, что функция непрерывна в этой точке.

Рассмотрим предел:

Здесь и числитель, и знаменатель при х = 1 обращаются в нуль. Поэтому нельзя найти предел, просто подставив единицу. Выполним преобразование:

Получили новую функцию g(x) = x – 2, где х может принимать любые значения. Во всех точках, кроме х = 1, выполняется тождество f(x) g(x). График функции g(x) – это прямая. Функция f(x) в точке х = 1 не является непрерывной. График - тоже прямая, но без точки (1; - 1). Поэтому Правила вычисления пределов 1. Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций.

Например:

2. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций. Например:

Существуют два важных предела, которые называются замечательными пределами:

Производная Производная функции f(x) в точке х представляет собой следующий предел:

В числителе стоит приращение функции на отрезке [x, x+h].

Физический смысл производной: если рассмотреть функцию пути тела – s(t), то её производная представляет собой мгновенную скорость тела, т.е.

Производные от некоторых функций:

1. Производная от постоянной функции равна нулю, т.к., если функция не меняется, то её приращение равно нулю: f(x+h) – f(x) = 0/ 2. Производная степенной функции у х n, n N :

Вычтем хn, поделим почленно на h и запишем предел суммы как сумму пределов:

Все пределы, кроме первого, равны нулю, поэтому:

Правило применимо и для отрицательных степеней.

3. Производная синуса:

Аналогично доказывается, что (cos x) sin x.

4. Производная от показательной функции у=ах:

5. Производная от логарифмической функции у log a x :

При вычислении производных пользуются следующими правилами, которые выводятся с помощью правил вычисления пределов:

Производная от сложной функции f(u(x)) вычисляется по формуле:

Например:

Приложения производной очень широкие.

Производная от пути – это скорость. Производная скорости – ускорение, т.е. скорость изменения скорости. Задачи на нахождение наибольших и наименьших (экстремальных) значений заключаются в следующем: если непрерывная функция принимает в некоторой точке экстремальное значение и производная в этой точке существует, то производная в этой точке равна нулю.

Пример. В тюрьме строят железную камеру для содержания особо опасных преступников. Какое наименьшее количество железа нужно для этой цели, если по санитарным нормам высота камеры не менее 2,5 м, а площадь – не менее 6 м2?

Решение. Количество железа пропорционально площади поверхности камеры – параллелепипеда. Пол и потолок имеют площадь ab каждый, две боковые стены по 2,5а, две другие стены – по 2,5 b. Тогда площадь равна S = 2ab + 5a + 5b. При этом ab = 6 (b = 6/a). Следовательно, S = 26 + 5(а + b) = 12 + (а + 6/а). Величину а можно выбирать произвольно, она является переменной. Для минимизации функции S(a) следует приравнять нулю S’(a):

Отсюда 1 2 0, следовательно, а 6. При этом S будет наименьшей.

Она равна 12 10 6 36,5 (м2).

Интеграл Различают определенный и неопределенный интеграл. Процедура нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием, а обратная процедура, позволяющая находить по заданной производной исходную функцию, называется интегрированием. Результат интегрирования называется первообразной функцией. Поскольку производная от постоянной равна нулю, то где С – любое действительное число. Поэтому, если для заданной функции f(x) существует одна первообразная F(x), то их существует бесконечно много: F(x) + C. Совокупность всех первообразных заданной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается f ( x)dx. Например:

Присутствующая всюду постоянная С называется постоянной интегрирования.

Простейшее применение определенного интеграла – вычисление площади под кривой.

Чтобы найти S, разобьем отрезок [a,b] на маленькие отрезки длиной h.

Верхняя граница заштрихованной фигуры находится между отрезками MN и PQ.

S ABPQ S S ABMN,

Такие неравенства запишем для каждого из отрезков длины h, на которые разбит отрезок [a,b], а затем все такие неравенства сложим. Получим неравенства:

S1 и S2 являются функциями от h. Если h неограниченно уменьшать (h 0), то S1 будет увеличиваться, а S2 - уменьшаться. Обе суммы имеют своим общим пределом число S - площадь фигуры.

Площадь получается как предел lim S1 или lim S 2, который называется опреh 0 h деленным интегралом и обозначается f ( x)dx. Связь между определенным и неопределенным интегралами устаa навливается формулой Ньютона – Лейбница:

где через F(x) обозначена первообразная функции f(x).

Пример. Площадь под параболой y x 2, 0 x 1. Здесь а = 0, b = 1, поэтому Математические структуры В основе математики лежит понятие множества. Множеством называют всякую совокупность каких-либо предметов. Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами.

Если элемент а принадлежит множеству М, то пишут a M. Например, 5 N, 3 R. Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А, и записывают B A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается. По определению считается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Кольца и поля Числовые множества N, Z, Q, R имеют одинаковые алгебраические свойства:

По этим же правилам производятся операции с многочленами, со всеми элементарными функциями, с рядами. В свойствах (1) отражены некоторые общие свойства указанных множеств. Любое множество с такими свойствами называется кольцом.

Кольцо- это такое множество, на котором заданы две функции – сложение и умножение – которые должны подчиняться правилам (1), которые называются аксиомами кольца.

Операция деления в кольце, вообще говорят, отсутствует. Кольца, в которых можно делить на любой элемент, кроме нуля, называются полями.

Пример. Докажем, что относительность обычных операций сложения и умножения числа вида a b 2 с рациональными а и b образует поле.

Обозначим это множество чисел через Р. Покажем, что множество Р замкнуто относительно сложения и умножения. Пусть a, b, c, d Q, тогда Числа в скобках тоже являются рациональными числами. Проверим деление:

В скобках – рациональные числа, причем знаменатель в поле рациональных чисел в нуль не обращается (c 2 / d 2 2 c / d 2 ), следовательно, множество Р – поле.

Пример. Все целые числа разделим на 6 частей: P0, P1,..., P5, которые называются классами вычетов по модулю 6. P0 из чисел, кратных 6, P1 из чисел, дающих при делении на 6 единицу в остатке, P2 из чисел, дающих при делении на 6 двойку остатка, и т.д. Произвольное число класса Pi, i 0, Можно записать в виде 6k i, k Z.

Сложение классов определим формулой:

Умножение определим так: Pk Pl Pm, где m – остаток от деления kl на 6.

Классы вычетов по модулю 6 образуют кольцо относительно введенных операций сложения и умножения:

Здесь кольцо построено всего из шести элементов, обозначающих Z 6.

Можно построить аналогично кольцо Z m по любому модулю m, содержащему всего m элементов.

Являются ли кольца вычетов полями? Попробуем разделить P2 на P3 в кольце Z 6. Пусть P2 : P3 Px, тогда P2 P3 Px. Согласно определению При любом x имеем P3 Px P2 частного P2 : P3 не существует, следовательно, кольцо Z 6. не является полем.

Однако таким же способом можно показать, что кольца Z 3, Z 5, Z 7 будут полями. Общий результат формулируется так: кольцо Z m является полем тогда и только тогда, когда m простое число.

Векторы и векторные пространства Первоначально вектором называли направленный отрезок, прикрепленный к одной точке. Для иллюстрации физических величин, имеющих не только величину, но и направление.

Эти величины можно складывать по правилу параллелограмма, вычитать, умножать на числа. При этом, каковы бы ни были векторы a, b, c и числа k, l всегда выполняются равенства:

Позже вектор сделали свободным от точки прикрепления. Свободный вектор- совокупность всевозможных направленных отрезков, параллельных между собой, имеющих одну и ту же длину и одно и тоже направление. Такие отрезки называются эквивалентными. Свободные векторы задаются с помощью координат, т.е. проекций на координатные оси X и Y. В пространстве направленный отрезок имеет три координаты – проекции на координатные оси X,Y,Z.

Вектор можно заменить совокупностью координат. На плоскости это пары чисел (a1, a 2 ), в пространстве тройки чисел (a1, a 2, a3 ). Сложение векторов и умножение на число заменяется соответствующими действиями над координатами: Такая точка зрения на векторы оказалась очень плодотворной. Под определение вектора попало много физических и математических объектов. Например, всякое элементарное событие, происходящее в пространстве в точке с координатами (x, y, z) в момент времени t, можно рассматривать как четырехмерный вектор ( x, y, z, t).

Получается пространство событий.

Количество координат вектора называется размерностью.

Векторы одной размерности можно складывать и умножать на числа по тем же правилам, что двумерные и трехмерные. И при любой размерности будут выполняться свойства (2).

Векторным пространством называется всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения на числа таким образом, что выполняются свойства (2).

Группы Три свойства операции сложения:

- существование противоположных элементов: а + ( - а) = 0.

справедливы для любого кольца и любого векторного пространства.

Пример: Запишем по порядку числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Перепутаем их какимлибо образом: 2, 3, 5, 1, 6, 4.

Запишем в виде таблицы:

Эта таблица задает некоторую функцию, если считать, что верхний рядзначения х, а нижний – значения у. Такая функция называется подстановкой 1 2,2 3,3 5,4 1,5 6,6 4. Всего подстановок 6! = 720.

Результат последовательного действия двух перестановок тоже будет перестановкой:

т.е. S1 S 2 S Это композиция, или сложная функция S, называется произведением S1 и S 2.

Любые три перестановки S1, S 2, S 3 можно перемножить так: либо S1 ( S 2 S 3 ), либо ( S1 S 2 ) S 3. Результат один и тот же, поэтому можно записать:

Умножение тождественной перестановки на любую другую перестановку дает следующее:

Для каждой перестановки S можно найти обратную ей S 1 ; которая действует так: если S переводит k в l, то S 1 переводит l в k. Например:

отсюда Если в равенствах (4) - (6) заменить символ на + и вместо S написать S, то эти равенства совпадут с равенствами (3).

Все сказанное относится и к подстановкам из любого числа элементов.

Группой называется множество, на котором задана операция, свойства которой описываются аксиомами ( 3).

Множество всех подстановок из n элементов образует группу относительно операции композиции (умножения). В этой группе n! элементов, она называется симметричной группой и обозначается S n.

Множество Z ( Q, R) является группой относительно сложения.

Комплексные числа Множество R действительных чисел ограничено тем, что квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел. Это создает большие неудобства при решении, например, алгебраических уравнений. Поэтому поле действительных чисел было расширено добавлением нового элемента i 1, который называется мнимой единицей. Мнимая единица не является действительным числом, но на нее распространили все алгебраические свойства действительных чисел. В результате появились новые элементы, которые записывают в виде a bi и называют комплексными числами. Если b 0, то комплексное число является действительным. Поэтому действительные числа составляют часть комплексных чисел. По определению i 2 1. Комплексные числа можно складывать и умножать:

Для каждого комплексного числа можно найти обратное:

Операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются аксиомам (1), поэтому комплексное число образует поле. Открытие комплексных чисел позволило решить проблему алгебраических уравнений. Главный результат сформулирован в основной теореме алгебры:

Всякое алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. (Гаусс).

Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер открыли формулу из которой при следует e i 1, что связывает мнимую единицу i с числами e, и 1.

Каждое комплексное число геометрически представлено на плоскости точкой с координатами (a, b) a bi.

Информатизация общества Представление об информационном обществе В истории развития цивилизации произошло несколько информационных революций - преобразований общественных отношений из-за кардинальных изменений в обработке информации.

Первая - изобретение письменности; появилась возможность передачи знаний от поколения к поколению.

Вторая (XVI в.) - изобретение книгопечатания.

Третья (XIX в.) - благодаря изобретению электричества появились телеграф, телефон, радио, что позволило оперативно передавать и накапливать информацию в любом объеме.

Четвертая (70-е гг. XX в.) - изобретение микропроцессорной технологии и появление ПК; создание сетей, систем передачи данных.

Последняя революция выдвинула на первый план новую отрасль - информационную индустрию, связанную с производством технических средств, методов, технологий для производства новых знаний. В эту индустрию входят все виды информационных технологий (ИТ).

Информационная технология - процесс, использующий совокупность средств и методов сбора, обработки и передачи данных ( первичной информации ) для получения информации нового качества о состоянии объекта, процесса или явления.

Информационное общество - это общество, построенное на использовании различной информации. Это общество, в котором большинство работающих занято производством, хранением, переработкой и реализацией информации, особенно высшей её формы - знаний.

Характерные черты информационного общества:

приоритет информации по сравнению с другими ресурсами;

главной формой развития экономики станет информационная экономика;

глобальный характер информационной технологии;

информационное единство всей человеческой цивилизации;

свободный доступ каждого человека к информационным ресурсам всей цивилизации;

реализация гуманистических принципов управления обществом и воздействия на окружающую среду.

Опасные тенденции в этом процессе:

все большее влияние на общество СМИ;

ИТ могут разрушать частную жизнь людей и организаций;

проблема отбора качественной и достоверной информации;

опасность разрыва между "информационной элитой" (разработчиками ИТ) и потребителями Прогнозируется, что движущей силой общества должно стать производство не материального, а информационного продукта. Материальный же продукт станет более информационно ёмким: в его стоимости увеличится доля инноваций, дизайна и маркетинга. Изменится весь уклад жизни, система ценностей, возрастет значимость культурного досуга по отношению к материальным ценностям. Возрастет доля умственного труда.

Роль информатизации в развитии общества С середины XX в. наблюдается лавинообразный рост объемов информации. Деятельность людей все больше зависит от информированности и эффективного использования имеющейся информации. Большие потоки информации обусловлены:

быстрым ростом числа документов (отчетов, докладов, диссертаций и т.п.) с результатами исследований и работ;

увеличивающимся числом периодических изданий;

появлением разнообразных данных, записываемых на магнитные ленты и не попадающих в коммуникации.

В результате наступает информационный кризис (взрыв) со следующими последствиями:

противоречия между ограниченными возможностями человека воспринять и переработать информацию и большими потоками информации;

большое количество избыточной информации, затрудняющей восприятие полезной информации;

возникновение различных экономических, политических, социальных барьеров, препятствующих распространению информации.

Информатизация общества - процесс создания оптимальных условий для удовлетворения информационных потребностей граждан и организаций на основе формирования и использования информационных ресурсов.

Информатизацию часто отождествляют с компьютеризацией, однако эти понятия не эквивалентны. Отличия информатизации и компьютеризации: при компьютеризации основное внимание уделяется развитию и внедрению технической базы, а при информатизации - мерам по обеспечению полного использования достоверного, исчерпывающего и своевременного знания во всех видах деятельности. Таким образом, информатизация является более широким понятием.

Понятие об информационной культуре Информационная культура - умение целенаправленно работать с информацией и использовать для её получения и обработки современные информационные технологии и технические средства. Это одна из составляющих общей культуры.

Информационная культура имеет следующие аспекты:

умение использовать технические средства;

способность использовать программные продукты;

умение извлекать информацию, представлять её в понятном виде и эффективно её использовать;

владение основами аналитической переработки информации;

умение работать с различной информацией;

знание особенностей информационных потоков в своей области деятельности.

Информационный потенциал общества Информационные ресурсы Информационные ресурсы - отдельные документы и отдельные массивы документов, документы и массивы документов в информационных системах (библиотеках, архивах и т.д.). Это знания, подготовленные людьми для социального использования в обществе и зафиксированные на материальном носителе.

В настоящее время не разработана методология количественной и качественной оценки информационных ресурсов, а также прогнозирования потребностей общества в них. Это снижает эффективность накопленной информации, увеличивает продолжительность перехода от индустриального к информационному обществу.

Информационные продукты и услуги Информационные ресурсы являются базой для создания информационных продуктов.

Информационный продукт - это совокупность данных, сформированная производителем для распространения в вещественной или невещественной форме.

Информационный продукт можно распространять с помощью услуг.

Услуга (информационная) - получение и представление в распоряжение пользователя информационных продуктов. Информационные услуги возникают только при наличии баз данных, компьютерных или прочих. База данных (БД) - совокупность связанных данных. БД бывают библиографические и небиблиографические.

Библиографические БД содержат вторичную информацию о документах, включая рефераты и аннотации.

Небиблиографические БД бывают следующих видов:

справочные;

полного текста (с первичной информацией: статьи, журналы и т.д.);

числовые: количественные характеристики и параметры объектов;

финансовые;

юридические и пр.

БД являются источником и полуфабрикатом при подготовке информационных услуг.

Рынок информационных продуктов и услуг Рынок информационных продуктов и услуг - это система экономических, правовых и организационных отношений по торговле продуктами интеллектуального труда на коммерческой основе.

Здесь в качестве предмета продажи выступают информационные системы, технологии, лицензии, патенты, информация и прочие виды информационных ресурсов.

В настоящее время в России формируется информационный рынок. Его компонентами являются:

1. Техническая и технологическая составляющая: оборудование и компьютеры, технологии переработки информации.

2. Нормативно - правовая составляющая: законы, указы, постановления, которые обеспечивают цивилизованные отношения на информационном рынке.

3. Информационная составляющая: справочно-навигационные средства и структуры, помогающие находить нужную информацию.

4. Организационная составляющая: элементы государственного регулирования взаимодействия субъектов рынка.

Выделяют пять секторов рынка информационных продуктов и услуг:

1. Деловая информация:

биржевая и финансовая: котировки ценных бумаг, курсы валют и т.д.;

статистическая информация: оценки, прогнозы и т.д.;

коммерческая: фирмы, сделки, деловые новости.

2. Информация для специалистов:

профессиональная: специальные данные для юристов, инженеров, геологов и пр.;

научно-техническая: рефераты, справочники;

доступ к первоисточникам.

3. Потребительская информация:

новости и литература;

развлекательная и пр.

4. Услуги образования: учебники, методические разработки, развивающие и обучающие игры.

5. Обеспечивающие информационные системы и средства:

программные продукты;

технические средства;

разработка и сопровождение информационных систем и технологий;

консультирование;

подготовка источников информации.

Правовое регулирование на информационном рынке В РФ принят ряд указов, постановлений, законов:

"Об информации, информатизации и защите информации";

"Об авторском праве и смежных правах";

"О правовой охране программ для ЭВМ и баз данных";

"О правовой охране топологий интегральных схем" Закон "Об информации, информатизации и защите информации" является базовым юридическим документом, открывающим путь к принятию дополнительных нормативных законодательных актов для успешного развития информационного общества. С его помощью удалось частично решить проблемы защиты прав и свобод личности от угроз и ущерба, связанных с искажением, порчей, уничтожением "персональной" информации.

Закон состоит из 25 статей, сгруппированных по 5 главам:

общие положения;

информационные ресурсы;

пользование информационными ресурсами;

информатизация, информационные системы, технологии и средства их обеспечения;

защита информации и прав субъектов в области информационных процессов и информатизации.

В законе определяются цели и основные направления государственной политики в сфере информатизации. Закон создает условия для включения России в международный информационный обмен, предотвращает бесхозяйственное отношение к информационным ресурсам и информатизации, обеспечивает информационную безопасность и права юридических и физических лиц на информацию. В нем предлагается рассматривать информационные ресурсы в двух аспектах:

как материальный продукт, который можно покупать и продавать;

как интеллектуальный продукт, на который распространяется право интеллектуальной собственности, авторское право.

Закон закладывает юридические основы гарантий прав граждан на информацию. Обеспечена защита собственности в сфере информационных систем и технологий.

Информация и её свойства Основные понятия Первоначально под информацией понимали сведения, передаваемые людьми устно, письменно или другим способом; с середины ХХ века - общенаучное понятие, включающее обмен сведений между людьми, человеком и автоматом; обмен сигналами в животном и растительном мире; передача признаков от клетке к клетке, от организма к организму.

Дать исчерпывающее научное определение информации не удалось до сих пор никому. И прежде всего потому, что она носит фундаментальный и универсальный, всеобщий характер, являясь многозначным понятием. Это отражается в известной фразе Норберта Винера: «Информация есть информация, а не материя и не энергия».

Дадим одно из современных определений: информация - это сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состояниях, которые уменьшают имеющуюся в их отношении степень неопределенности, неполноты знаний.

Согласно традиционной философской точке зрения, информация существует независимо от человека и является свойством материи. Она рассматривается как отражение объектов материального мира.

Согласно нетрадиционной точке зрения, информация трактуется как первооснова микро – и макромира Вселенной, т.е. информация – первична, а материя – вторична. Она существует независимо от нас и проявляется в процессе фундаментального взаимодействия энергии, движения и массы в пространстве и во времени.

Очень важной характеристикой информации является её адекватность, т.е. определенный уровень соответствия создаваемого с помощью полученной информации образа реальному объекту. Адекватность информации может выражаться в трех формах:

1. Синтаксическая адекватность. Она отображает формально-структурные характеристики информации и не затрагивает её смыслового содержания.

2. Семантическая (смысловая) адекватность. Определяет степень соответствия образа объекта и самого объекта; учитывает смысловое содержание информации.

3. Прагматическая (потребительская) адекватность. Определяет ценность, полезность использования информации при выработке потребителем решения для достижения своей цели. Прагматические свойства информации проявляются только при наличии единства информации (объекта), пользователя и цели управления.

Меры информации Для теоретической информатики информация играет такую же роль, как вещество в физике. Веществу можно приписывать характеристики: массу, заряд, объем и т.д. Для информации также имеется набор характеристик, которые имеют единицы измерения.

Для измерения информации вводятся два параметра: количество информации I и объем данных VD. Эти параметры имеют различные выражения и интерпретацию в зависимости от формы адекватности.

Синтаксическая мера. Этот способ наиболее глубоко разработан в теории информации. Он оперирует с обезличенной информацией, не выражающей смыслового отношения к объекту. На сегодня здесь наиболее известны следующие способы измерения информации:

объемный;

энтропийный;

алгоритмический.

Объемный способ является самым простым и грубым для измерения информации. Объем данных VD в сообщении измеряется количеством символов (разрядов) в этом сообщении. В различных системах счисления один разряд имеет различный вес, и соответственно меняется единица измерения данных:

в двоичной системе счисления - бит (двоичный разряд);

в десятичной системе - дит (десятичный разряд);

Например, 10111011 имеет VD=8 бит, 275903 имеет VD=6 дит.

Энтропийный подход исходит из следующей модели. Получатель сообщения имеет некоторые представления о возможных наступлениях некоторых событий. Эти представления недостоверны и выражаются вероятностями, с которыми он ожидает то или иное событие. Общая мера неопределенности (энтропия) характеризуется некоторой математической зависимостью от этих вероятностей. Количество информации в сообщении определяется тем, насколько уменьшится эта мера после получения сообщения.

Пример. Колода из 32 карт перемешана. Достаем из нее одну карту, заранее считаем, что вероятности для выбора любой карты одинаковы. Априорную неопределенность можно представить числом 32, т.е. количеством равновероятных выборов. Если теперь определить количество информации как меру устраненной неопределенности, то полученную информацию можно приравнять к 32.

Однако в теории информации используется логарифмическая оценка:

Она характеризует число двоичных вопросов, на которые нужно отвечать «да» или «нет»:

Алгоритмический метод применяется согласно следующим рассуждениям:

слово 010101…01 сложнее слова 0000…0, а слово, где 0 и 1 выбираются из эксперимента (например, бросания монеты – 0 (герб) и 1 (решка)) сложнее обоих предыдущих.

Компьютерная программа, производящая слово из одних нулей, крайне проста: печатать один и тот же символ. Для получения 0101…01 нужна чуть более сложная программа, печатающая символ, противоположный только что напечатанному. Случайная, не обладающая никакими закономерностями последовательность не может быть произведена никакой «короткой» программой.

Длина программы, производящей хаотическую последовательность, должна быть близка к длине последней.

Таким образом, любому сообщению можно приписать количественную характеристику, отражающую сложность (размер) программы, которая позволяет ее воспроизвести.

Семантическая мера. Здесь наибольшее признание получила тезаурусная мера, которая связывает семантические свойства информации со способностью пользователя принимать поступившие сообщения.

Тезаурус - это совокупность сведений, которыми располагает пользователь или система. В частности, одно из определений информации постулирует, что информация – это разница в тезаурусах:

Тезаурус (текста) – тезаурус (читателя) = информация.

Здесь тезаурусом назван весь тот запас знаний, которым обладает отправитель информации (в данном случае понимаемый текст) и получатель (или читатель, пользователь).

На рис.1 представлена зависимость количества семантической информации от тезауруса пользователя. Здесь Ic- количество семантической информации, Sp - тезаурус пользователя. Зависимость имеет два предельных случая:

S p 0 ; в этом случае пользователь не воспринимает, не понимает поступающую информацию; S p ; пользователь все знает, и поступающая информация ему не нужна.

Максимальное количество информации Ic потребитель приобретает при согласовании её смыслового содержания S со своим тезаурусом Sp (Sp=Sp opt), когда поступающая информация понятна пользователю и несет ему ранее не известные (отсутствующие в тезаурусе) сведения.

Рис.1. Зависимость количества информации от тезауруса пользователя Количество семантической информации является величиной относительной. Одно и то же сообщение может иметь смысл для компетентного пользователя и быть бессмысленным для некомпетентного.

Коэффициент содержательности С C служит мерой количества семанVD тической информации.

Прагматическая мера. Определяет ценность (полезность) информации; её целесообразно измерять в тех же единицах, что и целевую функцию.

Классификация и кодирование информации Классификация - это система распределения объектов по классам в соответствии с определенным признаком.

Применительно к информации как к объекту классификации выделенные классы называются информационными объектами. Свойства информационного объекта определяются параметрами, которые называются реквизитами.

Реквизит - это логически неделимый элемент, описывающий определенное свойство объекта.

В любой стране применяются государственные, отраслевые или региональные классификаторы. Классификатор - это систематизированный свод наименований и кодов классификационных группировок.

Разработаны три метода классификации объектов: иерархический, фасетный и дескрипторный. Они различаются разной стратегией применения классификационных признаков, которые позволяют установить сходство или различие объектов.

Иерархическая система Сначала исходное множество элементов составляет нулевой уровень и делится в зависимости от выбранного признака на классы, которые образуют первый уровень;

затем каждый класс первого уровня делится на подклассы второго уровня в соответствии со своим, характерным для него признаком, и т.д. (рис.2).

Получается жёсткая структура, поэтому следует особое внимание уделить выбору классифика- Рис. 2. Иерархическая система классифиционных признаков. кации Достоинства иерархической системы:

простота построения;

возможность использования независимых признаков в различных ветвях иерархии.

Недостатки:

жёсткая структура приводит к сложности внесения изменений (приходится перераспределять все классификационные группировки);

невозможно группировать объекты по заранее не предусмотренным сочетаниям признаков.

Фасетная система Позволяет выбирать признаки классификации независимо друг от друга.

Признаки называются фасетами (facet-рамка). Каждый фасет Фi содержит совокупность однородных значений данного признака. Значения в фасете могут располагаться в произвольном порядке, хотя предпочтительнее их упорядочить.

Пример. Фасет цвет содержит значения: красный, белый, зеленый, черный, желтый. Фасет специальность содержит названия специальностей. Фасет образование содержит значения: среднее, среднее специальное, высшее.

Схема построения фасетной системы классификации обычно оформляется в виде таблицы:

Процедура классификации состоит в присвоении каждому объекту соответствующих значений из фасетов. Могут быть использованы не все фасеты.

Для каждого объекта задается конкретная группировка фасетов и порядок их следования:

структурная формула KS=(Ф1, Ф2, …, Фn) Фi - фасет, n-количество фасетов.

Необходимо, чтобы значения, используемые в различных фасетах, не повторялись.

Достоинства фасетной системы:

можно создать классификацию большой емкости;

простота модификации системы без изменения существующей структуры.

Недостаток-сложность построения при учете всего многообразия признаков.

Структурная формула любого класса:

К1=(Экономический, до 20, мужской, есть дети) К2=(Юридический, 20-30, женский, нет детей) и т.д.

Дескрипторная (описательная) система.

По этой системе отбирается совокупность ключевых слов, описывающих предметную область или совокупность объектов. Выбранные ключевые слова нормализуются, т.е. из совокупности синонимов выбираются наиболее употребительные. Наконец, создается словарь дескрипторов. Между дескрипторами устанавливают связи: синонимические, родо- видовые и ассоциативные.

Система кодирования Это совокупность правил условного обозначения объектов.

Классификационное кодирование применяется после классификации объектов.

Последовательное кодирование применяется для иерархической структуры. Сначала записывается код группировки первого уровня, затем второго уровня и т.д. получается кодовая комбинация, каждый разряд которой содержит информацию о специфике выделенной группы на каждом уровне иерархической структуры.

классификация) классификация) Параллельное кодирование применяется для фасетной системы. Все фасеты кодируются независимо друг от друга; для значений каждого фасета выделяется определенное число разрядов кода.

Регистрационное кодирование применяется для однозначной идентификации объектов и не требует предварительной классификации объектов.

Порядковое кодирование означает последовательную нумерацию объектов числами натурального ряда. Применяется, когда число объектов невелико.

Серийно-порядковая система кодирования состоит в предварительном выделении групп объектов, которые составляют серию, а затем в каждой серии производится порядковая нумерация объектов. Количество групп должно быть невелико.

Классификация информации по разным признакам Один и тот же объект может быть классифицирован по разным признакам или критериям. Он также может быть в зависимости от условий внешней среды отнесен к разным классификационным группировкам. Различные виды информации могут быть использованы в разных условиях и для разных целей.

- внешняя Информационные технологии Информационной системой (ИС) называют взаимосвязанную совокупность средств, методов и персонала, используемых для хранения, обработки и выдачи информации в интересах достижения поставленной цели.

Информационная технология (ИТ) - это процесс, использующий сбор, обработку и передачу данных для получения информации нового качества.

Цель информационной технологии – производство информации для её анализа человеком и принятия на его основе решения.

Виды информационных технологий:ИС Аппаратная и программная части Рис.3. Процессы в информационной системе Виды информационных технологий 1. Информационные технологии обработки данных.

2. Информационные технологии управления.

3. Автоматизация офиса.

4. Информационные технологии поддержки принятия решений.

5. Информационные технологии экспертных систем.

Рассмотрим их отдельно.

Информационная технология обработки данных Предназначена для решения хорошо структурированных задач, по которым имеются необходимые входные данные и известны алгоритмы их обработки. Применяется персоналом невысокой квалификации в целях автоматизации рутинных операций. Внедрение такой технологии повышает производительность труда персонала, освобождает его от рутинных операций, а нередко приводит к необходимости сокращения численности работников.

Основные компоненты информационной технологии обработки данных приведены на рис.4.

Формирование управленческих отчетов Рис. 4. Основные компоненты информационной технологии обработки данных Информационная технология управления Здесь целью является удовлетворение информационных потребностей всех сотрудников фирмы, имеющих дело с принятием решений. Используется при худшей структурированности решаемых задач по сравнением с задачами, решаемыми ИТ обработки данных. ИТ управления направлена на создание различных видов отчетов.

ИнформаБаза данных онной сиспо проведенным документы темы опеоперациям Рис. 5. Основные компоненты информационной технологии управления Регулярные отчеты создаются в соответствии с установленным графиком, определяющим время их создания.

Специальные отчеты создаются по запросам управленцев или в случае чего-либо незапланированного.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«1 Страдаете от Выпадения Волос? Узнайте, Как Вырастить Новые Волосы Всего за 120 Дней, НЕ Тратя Деньги На Дорогостоящую Операцию По Пересадке Волос Если Вы Хотите Навсегда Покончить С Процессом Облысения И Выпадения Волос; Уже Сегодня Начать Выращивать Новые Волосы; Через 3-4 Месяца Получить Первые Результаты; А Также Сэкономить Свои Деньги, Прочтите Эту Книгу От Первой До Последней Строчки “Я могу гарантировать любому человеку без каких бы то ни было оговорок, что если он находится в стадии...»

«Коваль Игорь Юрьевич ЛОГИСТИЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО РАЗВИТИЯ ОТРАСЛЕВОГО КОМПЛЕКСА МАКРОРЕГИОНА (на примере Южного федерального округа) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель д. э. н., профессор Украинцев В.Б. Ростов-на-Дону – 2014 1 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. ЛОГИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО РАЗВИТИЯ ОТРАСЛЕВОГО ХОЗЯЙСТВА 1.1 Теоретические...»

«Colditzstrae 34 – 36 12099 Berlin Fon +49 (0) 30 / 70 02 175 18 Fax +49 (0) 30 / 70 02 175 19 Mail info@detage.de Pressemitteilung Web www.detage.de 25. April 2008 Postbank Berlin Konto-Nr. 653 352 107 BLZ 100 Botschaft des Prasidenten Tadschikistans an Parlament 25. April Послание Президента Республики Таджикистан Эмомали Рахмона Маджлиси Оли Республики Таджикистан (Душанбе, 25 апреля 2008 года) Уважаемые члены Маджлиси милли и депутаты Маджлиси намояндагон! Дорогие соотечественники! Послание...»

«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ГОСУДАРСТВЕННОГО ПРАВА А.Г. СТОВПОВОЙ, Н.А. КРАЙНОВА ПРАКТИКУМ ПО УГОЛОВНОПРОЦЕССУАЛЬНОМУ ПРАВУ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 2-е издание, исправленное и дополненное 2 ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК 67. С Стовповой А.Г., Крайнова Н.А....»

«7 Приложение ПРОЕКТ КОНЦЕПЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАКОНА О ДОЛГОСРОЧНОМ ПРОГНОЗИРОВАНИИ, СТРАТЕГИЧЕСКОМ И ИНДИКАТИВНОМ ПЛАНИРОВАНИИ И НАЦИОНАЛЬНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 7 Пр и л о ж е н и е Проект Концепции Федерального закона О долгосрочном прогнозировании, стратегическом и индикативном планировании и национальном программировании Международный институт Питирима Сорокина — Николая Кондратьева Ю.В. Яковец, президент Международного института Питирима Сорокина — Николая Кондратьева, академик Российской...»

«ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕАТРОВ Справочное пособие к СНиП 2.08.02-89 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие разработано к СНиП 2.08.02-89 Общественные здания и сооружения, распространяется на проектирование однозальных и многозальных (с большим и малым или малыми залами) театральных зданий, составляющих основу государственной сети театров: драматических и музыкально-драматических, музыкальной комедии, оперы и балета. К особым типам зданий отнесены театры: для детской аудитории; кукольные; многожанровые; гастрольные;...»

«ФОРМА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский государственный национальный исследовательский университет ОТЧЕТ ПО ДОГОВОРУ № 12.741.36.0016 О ФИНАНСИРОВАНИИ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯ Рациональное природопользование: технологии прогнозирования и управления природными и социально-экономическими системами за 2011 г. Ректор университета _(Макарихин И.Ю.) (подпись, печать)...»

«1 ЭКОНОМИКА. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ 1. 1С : бухгалтерия [Электронный ресурс] : [самоучитель]. - Электрон. дан. и У05я7 прогр. - М. : Media 2000, [200?]. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM); 12 см: цв., зв. - (ОбуО-421 чение) Экземпляры: всего:1 - МИФУБ(1) 2. 1С : зарплата и кадры [Электронный ресурс] : [самоучитель]. - Электрон. дан. У9(2)я7 и прогр. - М. : Media 2000, [200?]. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM); 12 см: цв., зв. О-421 (Обучение) Экземпляры: всего:1 - МИФУБ(1) 3. 1С : предприниматель [Электронный...»

«Пояснительная записка Рабочая программа для 10 класса составлена на основе авторской программы Л.Н. Боголюбов, Н.И. Городецкая, Л.Ф. Иванова, А.И. Матвеев (базовый уровень) из сборника Программы общеобразовательных учреждений. Обществознание. 6 – 11 классы. – М.: Просвещение, 2010., и Примерной программы основного общего образования по обществознанию. Сборник нормативных документов. Обществознание / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2008., Содержание среднего (полного) общего...»

«ЛАЗЕРНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ИЗОТОПОВ В АТОМАРНЫХ ПАРАХ* Казарян М.А. Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН Национальная Академия Наук РА Рассмотрены и реализованы оригинальные подходы к методам лазерного разделения изотопов, позволившие существенно расширить его возможности. Для сужения линии поглощения и уменьшения паразитного поглощения на переходах в атомах изотопов, не принадлежащих к выделяемому продукту, использовался метод двухфотонного возбуждения атомов. Проведено разделение весовых...»

«Коррупция ГЛОССАРИЙ МЕЖДУНАРОДНЫХ СТАНДАРТОВ В ОБЛАСТИ УГОЛОВНОГО ПРАВА ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА И РАЗВИТИЯ 1 КОРРУПЦИЯ: ГЛОССАРИЙ МЕЖДУНАРОДНЫХ СТАНДАРТОВ В ОБЛАСТИ УГОЛОВНОГО ПРАВА - ISBN 9789264032491 - © OECD 2007 ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА И РАЗВИТИЯ В соответствии со Статьей 1 Конвенции, подписанной в Париже 14 декабря 1960 г. и вступившей в силу 30 сентября 1961 г., Организация экономического сотрудничества и развития (ОЭСР) способствует осуществлению...»

«`.д!еL c`idr0jhi a`mjh & l,г!=ц,%./L *=C,2=л Практическое пособие для банкиров jheb # 2013 УДК 339.727.2 ББК 65.268 Г14 Книга издана при поддержке Независимой ассоциации банков Украины Рекомендовано НАБУ для использования при разработке новых банковских продуктов и услуг Рекомендовано к печати Ученым советом Экономического факультета Киевского национального университета имени Тараса Шевченко Протокол № 5 от 19 декабря 2012 года Рецензенты: Питер ГНАТЮК Вице-президент системы денежных переводов...»

«Федеральное государственное автономное образовательное  учреждение высшего профессионального образования  Национальный исследовательский университет   Высшая школа экономики      Банковский институт        Аннотации учебных дисциплин      Программы Бакалавриата  Направление 080100.62Экономика  Профиль подготовки Банковское дело                      Москва  2012  Оглавление  Оглавление Финансовая математика. Информационные компьютерные системы в банковской деятельности Микроэкономика...»

«Эколого-экономический индекс регионов РФ Эколого-экономический индекс регионов РФ | 01 Эколого-экономический индекс регионов РФ WWF России, РИА Новости при поддержке Всероссийской общественной организации Русское географическое общество Авторы (в алфавитном порядке): С.Н. Бобылев В.С. Минаков С.В. Соловьева В.В. Третьяков Под редакцией: А.Я. Резниченко, Е.А. Шварц, А.И. Постнова Данная книга является результатом совместной работы WWF России и РИА Новости при поддержке Русского географического...»

«Закон Чувашской Республики от 4 июня 2007 г. N 8 О Стратегии социально-экономического развития Чувашской Республики до 2020 года Принят Государственным Советом Чувашской Республики 22 мая 2007 года Статья 1 Утвердить Стратегию социально-экономического развития Чувашской Республики до 2020 года (прилагается). Статья 2 Настоящий Закон вступает в силу со дня его официального опубликования. Президент Н.Федоров Чувашской Республики г.Чебоксары 4 июня 2007 года N8 Приложение к Закону Чувашской...»

«Каплан Леонид Абрамович ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИЗ ИНСТРУМЕНТАРИЯ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ БИЗНЕС СТРАТЕГИЙ ДЛЯ ИННОВАЦИОННЫХ КОМПАНИЙ Автореферат диссертационной работы для проведения сертификации по ТРИЗ на высший уровень (Мастер ТРИЗ) Научный консультант - Мастер ТРИЗ Н.Б. Фейгенсон Фармингтон, Мичиган, США – Хвасонг, Южная Корея 2010. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ Современный кризис - это переход из индустриальной в постиндустриальную, информационную эпоху развития мировой...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета, профессор, д.э.н. _В.И. Гайдук _ 2010 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Информационные технологии управления, для специальности 080507.65 Менеджмент организации, экономического факультета Ведущая кафедра: кафедра информационных систем Вид учебной Дневная форма...»

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БИБЛИОТЕКА БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ №3 (март 2011 г.) Уфа 2011 Составитель: зав. отделом компьютеризации библиотечноинформационных процессов Кабашова Л.Л. Настоящий бюллетень содержит перечень литературы, поступившей в библиотеку БашГАУ в марте 2011 года и отраженной в справочно-поисковом аппарате, в том числе в электронном каталоге. Группировка материала систематическая (по УДК), внутри каждого раздела – алфавитная. На каждый документ даны:...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО Белорусский государственный экономический университет Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Практикум Издание третье, переработанное и дополненное Минск 2011 СОДЕРЖАНИЕ ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 3 1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями. 3 2. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей 3. Геометрические вероятности. 23 4. Теоремы...»

«6/2007 Официальное издание Федеральной таможенной службы Таможенные ведомости бюллетень таможенной информации В НОМЕРЕ: О создании зон таможенного контроля О применении Федерального закона вдоль таможенной границы от 22 июля 2005 г. № 116-ФЗ Российской Федерации Об особых экономических зонах с Украиной и Республикой Казахстан в Российской Федерации Инструкция об особенностях О порядке заполнения графы 31 ГТД таможенного оформления товаров, в части описания товарных знаков вывозимых в...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.