WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Уральский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО УрГУПС)

Кафедра «Высшая и прикладная математика»

.

Основная образовательная программа «Электроэнергетика и электротехника»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики»

Шифр дисциплины М2.В.ОД. 3 (в соответствии с учебным планом) Направление подготовки 140400.68- «Электроэнергетика и электротехника»

Профиль – «Электроснабжение»

Квалификация – магистр Форма обучения – очная Екатеринбург Рабочая программа по дисциплине «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» составлена в соответствии с основной образовательной программой подготовки магистров по направлению 140400.68 – «Электроэнергетика и электротехника».

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры «Высшая и прикладная математика» 30 августа 2012 года, протокол № 1.

Рабочая программа одобрена учебно-методической комиссией ФУПП 03 сентября 2012 г. Дисциплина преподается на основе ранее изученной дисциплины – математика и является фундаментом для изучения дисциплины – поезда на магнитном подвесе.

Курс I cеместры II Зачетные единицы Лекции 0 ч.

Практические занятия 36ч.

Лабораторные занятия 0 ч.

Аудиторные занятия 36ч.

Самостоятельная работа 72ч.

Дифференцированный зачет.

Всего 108 ч.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………… ……………………………………………….……. Требования к результатам освоения дисциплины..……………………………… 1. Распределение учебных часов по темам, видам занятий и видам самостоятельной работы …………..………..…………………………………… 2. Содержание дисциплины …………….……………..…………………………… 3. Самостоятельная и индивидуальная работа магистрантов..…….…………. 4. Перечень практических занятий.………….………………………………….. 5. Перечень лабораторных занятий.………….………………………………… 6. Образовательные технологии…….…………………………………………….. 7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости………………..... 8. Вопросы к экзамену по дисциплине …………….…………………….…….... 9. Понятийно-терминологический словарь дисциплины.....………………..….. 9.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения ………………………….. 9.2. Численные методы исследования. Метод Рунге-Кутта.…………………. 9.3. Дифференциальные уравнения с частными производными.





Характеристики…………………………………………………………… 9.4. Уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов…………………………………………………. 9.5. Начальные и краевые задачи. Задача Коши. Задача Гурса……………… 9.6. Характеристическая задача Коши. Задачи со свободными границами…………………………………...………….……………………. 9.7. Аналитические методы исследования уравнений с частными производными. Метод разделения переменных для линейных уравнений параболического и гиперболического типов ……........……… 9.8. Построения решения задачи Коши в виде степенного ряда по выводящей переменной для нелинейных уравнений гиперболического типа..………………..……………………………….….. 9.9. Численные методы исследования уравнений с частными производными. Метод сеток. Явные и неявные схемы.………………….. 10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины …………….……………..………………….…………………... 10.1. Основная литература...………………….. ……………………………….. 10.2. Дополнительная литература..………………….. ……………………….. 10.3. Информационное обеспечение..………………..……………………….... 11. Материально-техническое обеспечение дисциплины ……………... ………….....……………………………………... Приложение 1. Методические указания по организации текущего контроля магистрантов…………………………….……………...………………………….. Приложение 2. Лист дополнений и изменений …...……………………….……

ВВЕДЕНИЕ

При исследовании уравнений математической физики используются различные направления математики, позволяющие строить решения уравнений как аналитическими, так и численными методами.

К аналитическим методам относят построение точных решений и использование бесконечных рядов. Точные решения строятся на основе подбора, догадок, с использованием справочников либо применением отдельных методов и приемов. Приближенные решения уравнений строятся с помощью тригонометрических или степенных рядов. Суть такого подхода состоит в численном или точном построении коэффициентов рядов при решении алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений.

Среди численных методов выделяют методы типа Галеркина-Бубнова и разностные методы. При таком подходе построение решений уравнений математической физики сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Цель дисциплины: изучение современного состояния разделов науки, относящихся к линейным и нелинейным уравнениям с частными производными.

Задачи дисциплины:

Знание последних достижений в области постановки задач и построение решений для линейных и нелинейных уравнений математической физики.

Знание современных методов исследования уравнений с частными производными.

Умение вести самостоятельные аналитические исследования начально-краевых задач для параболических и гиперболических систем.

Овладение численными методами построения решений начальнокраевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.





Изучение дисциплины направлено на формирование и развитие следующих профессиональных компетенций:

– готовностью применять методы анализа вариантов, разработки и поиска компромиссных решений( ПК-11);

– способностью применять методы создания и анализа моделей, позволяющих прогнозировать свойства и поведение объектов профессиональной деятельности( ПК-13);

– готовностью использовать современные достижения науки и передовой технологии в научно-исследовательских работах (ПК-36).

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Федеральный компонент Государственного образовательного стандарта отводит на изучение дисциплины «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» для специальности 140400.68– «Электроэнергетика и электротехника» 108 часов и включает следующие дидактические единицы (разделы):

Обыкновенные дифференциальные уравнения;

Численные методы исследования. Метод Рунге-Кутта;

Характеристики;

Уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов;

Начальные и краевые задачи. Задача Коши. Задача Гурса;

Характеристическая задача Коши. Задачи со свободными границами;

Аналитические методы исследования уравнений с частными производными;

Метод разделения переменных для линейных уравнений параболического и гиперболического типов;

Построения решения задачи Коши в виде степенного ряда по выводящей переменной для нелинейных уравнений гиперболического типа;

Численные методы исследования уравнений с частными производными.

Метод сеток. Явные и неявные схемы.

В результате изучения дисциплины магистрант должен:

Знать последние достижения в области постановки задач и построения решений для линейных и нелинейных уравнений математической физики, современных методов исследования уравнений с частными производными.

Уметь вести самостоятельные аналитические исследования начальнокраевых задач для параболических и гиперболических систем и уравнений.

Владеть численными методами построения решений начально-краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

В приложении приводятся методические указания по организации самостоятельной работы магистрантов и организации текущего контроля работы магистрантов по дисциплине «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» для магистрантов, обучающихся по направлению 140400.68 – «Электроэнергетика и электротехника».

Понятийно-терминологический словарь дисциплины (глоссарий) приведен в разделе 9.

1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНЫХ ЧАСОВ ПО ТЕМАМ,

ВИДАМ ЗАНЯТИЙ И ВИДАМ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

№ темы дифференциальные уравнения первого и второго порядков.

Решение дифференциальных уравнений с помощью ряда Разложение функций в ряд дифференциальных уравнений Численные методы решения дифференциальных использованием MathCad.

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка и их сведение дифференциальных физики (краткие сведения).

помощью степенных рядов Начально-краевая задача для волнового уравнения и ее Разностный метод построения

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Применение математического моделирования на основе уравнений с частными производными для решения важных и трудных Уравнения с частными производными как математическая модель решения технических задач: определение, обозначение, график. Типы уравнений с частными производными [2,6].

Контрольные вопросы:

1. Понятие дифференциального уравнения с частными производными.

2. Задачи механики, физики и технических наук, решаемые с 3. Типы уравнений с частными производными. График решения Тема 2. Построение точных и приближенных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью численных и аналитических методов, в том числе, отрезка ряда Тейлора Ряд Тейлора для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков и их систем. Построение коэффициентов ряда Тейлора в окрестности точки x 0. Точное решение. Приближенное решение. Численноаналитическое построение точного и приближенного решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода Рунге-Кутта и конечного отрезка ряда Тейлора [1-7].

Контрольные вопросы:

1. Формула ряда Тейлора для решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

приближенного решения уравнения с помощью конечного отрезка дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутта.

Тема 3. Основные определения и задачи для уравнений с частными производными первого порядка. Метод линеризации нелинейных уравнений. Классификация уравнений второго порядка с частными производными. Задачи механики и физики, решаемые Определения и задачи для уравнений с частными производными первого порядка. Линеризация нелинейных уравнений. Классификация уравнений второго порядка с частными производными. Задачи механики и физики, решаемые с помощью этих уравнений [1-4,6].

Контрольные вопросы:

1. Основные задачи для уравнений с частными производными.

2. Классификация уравнений второго порядка с частными Тема 4. Линейное уравнение гиперболического типа. Волновое и телеграфное уравнения. Физический смысл параметров, входящих в эти Уравнения математической физики: линейное уравнение, телеграфное уравнение. Параметры, входящие в уравнения и их физический смысл [1-3,6].

Контрольные вопросы:

1. Линейное и телеграфное уравнения. Вид уравнения. Физический смысл параметров, входящих в уравнение.

2. Волновое уравнение. Вид уравнения. Физический смысл параметров, входящих в уравнение.

Тема 5. Аналитические методы решения задачи Коши для волнового Аналитические методы решения задачи Коши для волнового уравнения:

построение точных решений, использование бесконечных рядов. Методы и приемы построения точных решений. Применение тригонометрических и степенных рядов к построению приближенных решений. Бегущая волна:

определение и примеры [1-3,6].

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи Коши для волнового уравнения.

2. Построение точного решения волнового уравнения численными 3. Построение приближенного решения волнового уравнения с помощью конечных отрезков рядов.

Тема 6. Ряд Тейлора функций многих переменных. Применение отрезка ряда Тейлора для приближенного решения задачи Коши для Ряд Тейлора для функций многих переменных. Построение приближенного решения задачи Коши для волнового уравнения с помощью конечного отрезка ряда Тейлора. Построение коэффициентов ряда Тейлора [1-3,6].

Контрольные вопросы:

1. Формула ряда Тейлора для функций многих переменных.

2. Волновое уравнение. Ряд Тейлора для волнового уравнения.

3. Отыскание коэффициентов ряда Тейлора и построение приближенного решения волнового уравнения с помощью конечного отрезка ряда Тейлора.

Тема 7. Ряд Фурье функции одной переменной и его применение для приближения кусочно-непрерывных функций Ряд Фурье функции одной переменной. Кусочно-непрерывные функции.

Условия Дирихле. Неполный ряд Фурье для четных и нечетных кусочнонепрерывных функций. Построение коэффициентов ряда Фурье для 2 -и 2l периодических функций. Применение тригонометрического ряда Фурье для приближения кусочно-непрерывных функций [1-3,6].

Контрольные вопросы:

1. Понятие кусочно-непрерывной функции. Условия Дирихле.

2. Полный и неполный ряд Фурье функции одной переменной.

Построение коэффициентов ряда Фурье.

3. Приближение кусочно-непрерывных функций с помощью ряда Тема 8. Начально-краевые задачи для волнового уравнения.

Аналитическое решение таких задач методом разделения переменных Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Построение решения начально-краевой задачи в случае с закрепленными краями струны и без присутствия внешних сил. Метод разделения переменных.

Собственные значения и собственные функции [1-3,6].

Контрольные вопросы:

1. Начально-краевая задача для волнового уравнения в случае с закрепленными концами струны и без присутствия внешних сил.

2. Применение метода разделения переменных для отыскания решения волнового уравнения.

Тема 9. Использование конечного отрезка ряда Фурье для приближенного аналитического решения начально-краевой задачи для волнового уравнения Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения. Метод разделения переменных. Численное построение решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с использованием конечного отрезка ряда Фурье [1-3].

Контрольные вопросы:

1. Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения.

2. Конечный отрезок ряда Фурье для отыскания решения волнового

3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ И ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА

МАГИСТРАНТОВ

Самостоятельная и индивидуальная работа магистрантов при изучении курса «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» осуществляется на лекциях, консультациях, при подготовке к практическим и лабораторным занятиям, при выполнении домашних практических заданий, а также в процессе участия в математических олимпиадах и научных конференциях.

Содержание учебной деятельности магистрантов Обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго проработка текущего материала по конспектам и Решение дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора проработка текущего материала по конспектам и Разложение функций в ряд Фурье и решение обыкновенных подготовка к практическим занятиям;

Расчетно-графическая работа №1 «Численное решение мероприятие систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с помощью стандартного математического обеспечения»

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных подготовка к практическим занятиям;

нахождение коэффициентов ряда Фурье для сложных и мероприятие Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка и сведение их к системе обыкновенных дифференциальных проработка текущего материала по конспектам и проработка текущего материала по конспектам и Решение задачи Коши для волнового уравнения с помощью степенных проработка текущего материала по конспектам и Начально-краевая задача для волнового уравнения и ее решение с построение решения начально-краевой задачи для мероприятие волнового уравнения с использованием конечного Разностный метод построения решения начально-краевой задачи для проработка текущего материала по конспектам и подготовка к практическим занятиям;

*Подготовка к промежуточной аттестации по дисциплине Экзамен и зачет могут быть приняты как в традиционной форме (по билетам, содержащим теоретические вопросы и практические задания), так и в виде тестирования. Подготовка к промежуточной аттестации включает в себя повторение и обобщение основных определений, формул, теорем и их доказательств по конспектам и учебникам, а также решение типовых задач по темам курса.

неоднородные дифференциальные гиперболического, параболического

4. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого 1. Вводное занятие. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде:

уравнения с разделяющимися переменными и с однородной правой частью.

Тема 2. Решение дифференциальных уравнений 3. Ряды Тейлора элементарных функций. Разложение в ряд Тейлора.

4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью отрезка ряда Тейлора.

Тема 3. Разложение функций в ряд Фурье и решение обыкновенных дифференциальных уравнений 5. Приближенное вычисление определенных интегралов и построение решения дифференциальных уравнений в виде ряда.

6. Ряд Фурье для функций одной переменной. Ряды Фурье для четных и нечетных функций, а также для произвольного отрезка.

Тема 4. Численные методы решения обыкновенных 7. Знакомство с программным комплексом MathCad.

8. Численное решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта Тема 5. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка и сведение их к системе обыкновенных 9. Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка. Некоторые виды уравнений.

10. Сведение уравнения с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 6. Уравнения математической физики 11. Классификация уравнений математической физики. Физический смысл параметров, входящих в уравнение.

12. Примеры уравнений различных типов. Свойства решений.

Тема 7. Решение задачи Коши для волнового уравнения 13. Приближенное построение решения задачи Коши для волнового уравнения с помощью отрезка ряда Тейлора.

14. Приближенное построение решения задачи Коши для волнового уравнения с помощью отрезка ряда Тейлора.

Тема 8. Начально-краевая задача для волнового уравнения и ее решение 15. Численное нахождение коэффициентов ряда Фурье для сложных и составных функций.

16. Численное построение приближенного решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с использованием конечного отрезка ряда Фурье.

Тема 9. Разностный метод построения решения начально-краевой задачи 17. Построение приближенного решения начально-краевой задачи для волнового уравнения в аналитическом виде методом разделения переменных с помощью конечного отрезка ряда Фурье.

18. Построение приближенного решения начально-краевой задачи для волнового уравнения разностным методом.

5. ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Лабораторные работы не предусмотрены основной образовательной программой.

6. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Виды учебной работы и образовательные технологии Практические занятия 1-2. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 3-4. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 5-6. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 7-8. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 9-10. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 11-12. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 13-14. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 15-16. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего Практические занятия 17-18. основе решения задач.

Самостоятельная работа. Технология саморазвивающего

7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА

ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,

ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ

Результаты освоения учебной дисциплины (модуля) оцениваются следующими средствами текущего контроля успеваемости:

1. Индивидуальный опрос.

2. Индивидуальные домашние задания (типовые расчеты).

3. Защита индивидуальных домашних заданий (типовых расчетов).

Индивидуальный опрос проводится на лекционных и практических занятиях; индивидуальные домашние задания (типовые расчеты) самостоятельно выполняются магистрантами; защиты типовых расчетов проводятся на консультационных занятиях по дисциплине.

В результате изучения дисциплины «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» магистрант должен:

– знать: последние достижения в области постановки задач и построения решений для линейных и нелинейных уравнений математической физики, современных методов исследования уравнений с частными – уметь: вести самостоятельные аналитические исследования начальнокраевых задач для параболических и гиперболических систем и – владеть: численными методами построения решений начально-краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины проводится в форме дифференцированного зачета по окончанию 2 семестра. Контрольные вопросы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным разделам дисциплины, приведены в разделе 8.

№ темы 1) типов дифференциальных дифференциальных уравнений;

Умение: решать задачу Коши для уравнений первого и второго Владение навыками:

построения общего и частного решений дифференциальных 1) формулы ряда Тейлора;

2) ряды Тейлора основных элементарных функций;

Умение: раскладывать в ряд Владение навыками:

построения приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью конечного отрезка 1) построения рядов Фурье для четных и нечетных функций.

2) построения решения дифференциальных уравнений в Умение: строить ряды Фурье для функции одной переменной.

Владение навыками:

приближенного вычисления определенных интегралов 1) программного комплекса 3) встроенных функций MathCad для решения дифференциальных уравнений и их систем;

Умение: численно строить решения дифференциальных уравнений приближенными методами MathCad.

Владение навыками:

численного построения решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Знание и понимание:

1) дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка;

2) способов сведения уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений;

3) видов уравнений с частными производными первого порядка;

Умение: сводить уравнение с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Владение навыками: поиска решения уравнений с частными производными первого порядка разных типов.

Знание и понимание:

1) типов и видов уравнений математической физики;

Умение: отличать уравнения по математическим свойствам и сути физического процесса.

Владение навыками:

построения решения уравнений математической физики разных Знание и понимание:

1) волнового уравнения и его свойств;

2) техники приближенного построения решения задачи Коши с помощью конечного отрезка ряда Тейлора;

Умение: строить приближенное решение задачи Коши для волнового уравнения.

Владение навыками: поиска коэффициентов ряда Тейлора для волнового уравнения.

Знание и понимание:

1)постановки начально-краевой задачи для волнового уравнения;

2) ряда Фурье для сложных и составных функций.

Умение: численно строить начально-краевой задачи с использованием конечного отрезка ряда Фурье.

Владение навыками численного нахождения коэффициентов ряда Фурье для составных функций.

Знание и понимание:

1) сути метода разделения переменных;

2) постановки начально-краевой задачи для волнового уравнения;

3) особенностей разностного метода построения решения волнового уравнения;

Умение: строить приближенное решение начально-краевой задачи волнового уравнения в аналитическом виде методом разделения переменных.

Владение навыками построения приближенного решения начально-краевой задачи для волнового уравнения разностным методом.

Знание и понимание:

1) важности и специфики задач курсового проектирования;

2) сложность вычислений и трудоемкость выполнения Умение: раскладывать функции в ряд Фурье; аналитически строить решение дифференциальных уравнений с частными производными.

Владение навыками вычисления коэффициентов ряда Знание и понимание:

MathCad;

2) средств программирования MathCad;

3) встроенных функций MathCad для решения дифференциальных уравнений и их систем;

Умение: численно строить решения дифференциальных уравнений приближенными методами MathCad.

Владение навыками:

численного построения решения дифференциального уравнения приближенными методами.

Знание и понимание:

1) линейных однородных и неоднородных уравнений с частными производными;

2) свойств решений таких уравнений;

однородных и неоднородных уравнений с частными производными.

Владение навыками нахождения решений таких уравнений.

Знание и понимание:

1) задач механики и физики, приводящих к линейным уравнениям математической 2) линейные уравнения гиперболического, параболического типов.

Умение: решать задачи с уравнениями различных типов.

Владение навыками исследования решений линейных уравнений математической Знание и понимание:

1)определения уравнения эллиптического типа и свойств его решения;

Умение: применять на практике методы нахождения решения уравнения эллиптического типа.

Владение навыками работы с уравнениями эллиптического типа, в том числе, в криволинейных координатах.

Знание и понимание:

1) постановки задачи Коши для уравнений эллиптического типа;

2) сути некорректности задачи эллиптического типа.

Владение навыками Знание и понимание:

постановки внешней и внутренней первой и второй краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Умение: доказывать свойства решений этих задач.

Владение навыками построения решений первой и второй внешней и внутренней краевых Знание и понимание:

1)постановки краевой задачи для уравнений с частными производными;

2)сути метода разделения переменных для решения краевых задач.

Умение: решать краевые задачи методом разделения переменных.

Владение навыками нахождения собственных значений и собственных функций.

Знание и понимание:

1)постановки краевых задач для уравнений эллиптического типа;

2)особенности разностных методов.

область поиска решения;

заменять производные искомой функции конечными разностями;

составлять формулы для получения разностной схемы.

Владение навыками программирования в среде MathCad.

8. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО КУРСУ

«АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

1. Понятие дифференциального уравнения с частными производными.

2. Задачи механики, физики и технических наук, решаемые с помощью таких уравнений.

3. Типы уравнений с частными производными. График решения уравнения.

4. Формула ряда Тейлора для решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

5. Построение коэффициентов ряда Тейлора. Отыскание приближенного решения уравнения с помощью конечного отрезка ряда Тейлора.

дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутта.

7. Основные задачи для уравнений с частными производными.

8. Классификация уравнений второго порядка с частными производными.

9. Линейное и телеграфное уравнения. Вид уравнения. Физический смысл параметров, входящих в уравнение.

10. Волновое уравнение. Вид уравнения. Физический смысл параметров, входящих в уравнение.

11. Постановка задачи Коши для волнового уравнения.

12. Построение точного решения волнового уравнения численными методами.

13. Построение приближенного решения волнового уравнения с помощью конечных отрезков рядов.

14. Формула ряда Тейлора для функций многих переменных.

15. Волновое уравнение. Ряд Тейлора для волнового уравнения.

16. Отыскание коэффициентов ряда Тейлора и построение приближенного решения волнового уравнения с помощью конечного отрезка ряда Тейлора.

17. Понятие кусочно-непрерывной функции. Условия Дирихле.

18. Полный и неполный ряд Фурье функции одной переменной. Построение коэффициентов ряда Фурье.

19. Приближение кусочно-непрерывных функций с помощью ряда Фурье.

20. Начально-краевая задача для волнового уравнения в случае с закрепленными концами струны и без присутствия внешних сил.

21. Применение метода разделения переменных для отыскания решения волнового уравнения.

22. Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения.

19. Конечный отрезок ряда Фурье для отыскания решения волнового уравнения.

Основные практические умения:

– нахождение общего и частного решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка;

– нахождение общего и частного решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами – решать задачу Коши для уравнений первого и второго порядков;

– раскладывать в ряд Тейлора непрерывно-дифференцируемые функции;

– владение навыками построения приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью конечного отрезка ряда Тейлора;

– строить ряды Фурье для функции одной переменной;

– владение навыками приближенного вычисления определенных интегралов;

– численно строить решения дифференциальных уравнений приближенными методами MathCad;

– владение навыками: численного построения решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта;

– сводить уравнение с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений;

– отличать уравнения по математическим свойствам и сути физического процесса;

– строить приближенное решение задачи Коши для волнового уравнения;

– владение навыками поиска коэффициентов ряда Тейлора для волнового уравнения;

– численно строить приближенное решение начально-краевой задачи с использованием конечного отрезка ряда Фурье;

– строить приближенное решение начально-краевой задачи волнового уравнения в аналитическом виде методом разделения переменных;

– владение техникой численного нахождения коэффициентов ряда Фурье для составных функций;

– владение техникой построения приближенного решения начальнокраевой задачи для волнового уравнения разностным методом;

– раскладывать функции в ряд Фурье;

– аналитически строить решение дифференциальных уравнений с частными производными;

9. ПОНЯТИЙНО-ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ ДИСЦИПЛИНЫ

9.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения При решении задач математики, механики, физики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомые функции и их производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями (ДУ).

Если искомые функции зависят от одной переменной, то ДУ называют обыкновенными ДУ (ОДУ), в противном случае – уравнениями с частными производными.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

ОДУ, как правило, имеют много решений. Процесс отыскания решения ОДУ называется его интегрированием, а график решения ОДУ – интегральной кривой.

ОДУ первого порядка в общем случае записывается в виде Если это уравнение можно разрешить относительно производной, то его записывают в виде и называют ОДУ первого порядка, разрешенным относительно производной или записанным в нормальной форме.

Для того чтобы выделить единственное решение ОДУ, его нужно подчинить некоторым дополнительным условиям. Например, условие: при x x0 функция y должна быть равна заданному числу y y0. В этом случае y0 называется начальным условием.

Общим решением ОДУ первого порядка называется функция удовлетворяющая условиям:

1. Функция y x, C есть решение ОДУ при каждом допустимом значении C.

2. Каково бы ни было начальное условие y x0 y0, можно найти такое значение постоянной C C0, что функция y x, C0 удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ОДУ первого порядка называется любое конкретное конкретном значении постоянной C C0.

Задача отыскания решения ОДУ первого порядка, разрешенным относительно производной и удовлетворяющим заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Наиболее простым ОДУ первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными, т. е. уравнение вида которое с учетом записи y приводится к виду Проинтегрируем почленно это уравнение, получается его общее решение записанное в квадратурах, т. е. записанное с помощью интегралов.

Естественно, что уравнение вида также является уравнением с разделяющимися переменными, что проверяется с помощью простых преобразований Замечание 1. При почленном делении ОДУ на Q1 y P2 x могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно рассмотреть случай:

Q1 y P2 x 0 и установить, задает ли это уравнение какие-либо решения исходного ОДУ.

Замечание 2. Часто при вычислении интегралов применяется формула интегрирования по частям дающая возможность свести вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться более простым, чем исходный интеграл.

Наиболее важным ДУ второго порядка является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, которое имеет следующий вид:

Если правая часть уравнения – функция f x – тождественно равна нулю, т. е.

то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка (ЛОДУ).

Общее решение ЛОДУ второго порядка имеет один из следующих видов:

где k1, k2 – корни характеристического уравнения Особо подчеркивается, что третий вид решения получается в случае, когда характеристическое уравнение имеет комплексные корни, т. е. его дискриминант отрицателен: a 2 4b 0.

Теорема о структуре общего решения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) второго порядка есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и некоторого частного решения, т. е.

Замечание. Общее решение ЛНДУ ищется, как правило, подбором по виду правой части уравнения.

9.2. Численные методы исследования. Метод Рунге-Кутта Задача численного решения дифференциального уравнения состоит в приближенном вычислении производной функции f x по заданным значениям функции f x в конечном числе точек рассматривается на примере задачи Коши Требуется построить решение заданного дифференциального уравнения, которое проходит через заданную точку x0, y0, т.е. найти y x, C0.

Задается конечный отрезок интегрирования x0, x, на котором строится приближенное решение.

Выбирается h – шаг интегрирования:

т. е. отрезок x0, x разбивается на n равных частей длиной h.

Точки деления отрезка обозначаются через x0, x1, x2,, xn 1, xn x :

Именно в точках xi и будет определяться значение y xi – решения поставленной задачи Коши: yi y xi ; i 0,1,2,, n.

Далее рассматриваются разные численные методы, применяемые причисленном решении ОДУ, но в основе всех их лежит замена точного значения производной в заданной точке на приближенное равенство Точное равенство заменяется на приближенное xi, yi, i 0,1,, n 1 имеет вид При замене в дифференциальном уравнении значения y xi на дробь получается соотношение которое простыми преобразованиями приводится к виду Последняя формула является рекуррентной. По ней, начав счет с i 0, поскольку x0, y0 известны, последовательно определяются y1, y2,, yn в точках x1, x2,, xn. С точки зрения программирования надо сделать цикл по i, внутри которого только один раз запрограммировать вычисление значения f x, y при заданных x, y. В этом состоит отличие нахождения y1 от x1, C0.

Проведенная замена y xi на дробь эквивалентна тому, что из точки xi, yi строится не искомая интегральная кривая, а касательная к ней. Через найденную точку x1, y1 проходит уже другая интегральная кривая, которую обозначим y x, C1. Построение значения y2 по формуле есть определение такой точки на касательной, проведенной к линии y x, C в точке x1, y1, которая получается при x x2. Следовательно, переход от одной точки к другой по рекуррентной формуле есть движение по отрезкам касательных, проведенных к разным интегральным кривым исходного дифференциального уравнения. Эта составная линия называется ломаной Эйлера. Она состоит из касательных к разным решениям дифференциального уравнения.

Формулы вида называются разностными схемами, а применение подобных схем – разностными методами.

Можно существенно улучшить точность приближенного решения, но не только за счет уменьшения h. Вычисленное по формуле значение yi 1 считается не окончательным, а промежуточным, и для него вводится специальное обозначение Затем осуществляется дополнительный пересчет:

т. е. за новый наклон касательной в точке xi берется полусумма наклонов в точках xi, xi 1.

Предложенный пересчет улучшает точность. На одном шаге, т. е. на отрезке x0, x1, точность точного решения от найденного удовлетворяет такому неравенству а на всем отрезке x0, xkon :

где константы M 2, M 3 определяются видом функции f x, y и значениями Для того чтобы очередное значение yi 1 получить с заранее заданной точностью, например, десять знаков после десятичной запятой, пересчет можно осуществлять многократно:

Расчеты по последней формуле ведутся до тех пор, пока не будет достигнута заранее заданная точность И тогда в качестве yi 1 берется значение y i 1.

Если после достаточно большого числа пересчетов k 10 20 нужная точность не будет достигнута, то необходимо уменьшить шаг интегрирования Имеется большое количество разностных схем с пересчетом, называемые методами Рунге-Кутта. Зная в точке x0 начальное значение y0, можно осуществить счет с помощью таких рекуррентных формул Погрешность этого метода Рунге-Кутта на одном шаге, т.е. на отрезке x0, x1, составляет а на всем отрезке x0, xkon :

Есть и другие методы, например, метод Адамса. Для метода Адамса требуется предварительный «разгон»: знание первых трех последовательных значений y0, y1, y2 в первых трех точках x0, x1, x2 соответственно. «Разгон»

обычно осуществляется либо по формулам метода ломаных Эйлера, либо по методу Рунге-Кутта.

Метод Адамса дает такую же точность, как и приведенный метод РунгеКутта.

9.3. Дифференциальные уравнения с частными производными.

Дифференциальные уравнения с частными производными являются активно используемыми математическими моделями для исследования и решения очень большого круга прикладных задач из механики, физики и технических наук. Перечислим только некоторые из них: 1) описание течений жидкости и газа, в том числе возникающих как при обтекании различных поверхностей (крыльев, корпусов и т.п.), так и при движении в различных объемах (трубопроводы, русла рек и т.п.), а также имеющих место в атмосфере;

2) электромагнитные явления; 3) распространение возмущений в строительных конструкциях, определение напряжений в различных конструкциях и исследование процессов распространения в них различных возмущений; 4) распространение различных тепловых неоднородностей; 5) исследование процессов фильтрации жидкости или газа в различных пористых средах, включая распространение примесей.

производными активно приходят химики, биологи и некоторые экономисты для описания нужных им процессов.

Дифференциальными уравнениями с частными производными называются уравнения, в которых искомая функция зависит от многих независимых переменных (от двух или более) и в уравнение входят частные производные от искомой функции по всем независимым переменным.

Например, пусть u есть функция от независимых переменных: t -времени и x - расстояния, т.е. u u t, x и для обозначения частных производных используются стандартные для уравнений с частными производными обозначения.

В этом случае областью изменения независимых переменных u u t, x является вся плоскость tOx или какая-либо ее часть. Графиком функции u u t, x является поверхность в трехмерном пространстве.

Дифференциальное уравнение называется линейным уравнением переноса, а дифференциальное уравнение – нелинейным уравнением переноса. В обоих этих уравнениях одна искомая функция, и в уравнения входят только производные только первого порядка.

Если искомых функций несколько, то обычно рассматривается система из такого же количества уравнений, что и число неизвестных функций.

Имеются дифференциальные уравнения, в которые входят частные производные и второго порядка, например, волновое уравнение 9.4. Уравнения эллиптического, параболического и гиперболического Уравнения математической физики – это линейные дифференциальные уравнения с частными производными, решения которых описывают различные процессы и явления в механике и физике.

Уравнения математической физики подразделяются на уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа. Это разделение определяется видом уравнения, математическими свойствами и, главное, физической сутью процесса, моделируемого решениями уравнений разных типов.

Примером уравнения гиперболического типа является волновое уравнение где искомая функция u зависит от времени t и от одной пространственной переменной x. Положительная константа a называется скоростью звука.

Заданная функция f t, x характеризует внешние силы.

В случае зависимости искомой функции от двух или трех пространственных переменных волновое уравнение записывается в виде где - оператор Лапласа, действующий на функцию u : если u u t, x, то если u u t, x, y, то а заданная функция f может зависеть от времени и всех пространственных переменных.

Решения волнового уравнения описывают процессы распространения с постоянной скоростью a малых возмущений в упругих средах. Например, поперечные или продольные колебания в строительных балках.

Примером уравнения параболического типа является линейное уравнение теплопроводности решения которого описывают процессы распространения тепла, процессы теплопроводности; f - заданная функция, характеризующая внешний приток или сток тепла. Искомая функция u зависит от времени и от одной, двух или трех пространственных переменных.

Примерами уравнений эллиптического типа являются уравнение Лапласа и уравнение Пуассона Решения обоих уравнений описывают стационарные процессы, т.е.

процессы, не меняющиеся с течением времени. Например, стационарный прогиб балки, стационарное распределение температуры или примесей.

9.5. Начальные и краевые задачи. Задача Коши. Задача Гурса Задача Коши (начальная задача) состоит в нахождении такого частного решения дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке:

то есть, задано определенное значение независимой переменной x0 и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка x0 называется начальной. Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x0, y0).

Краевая задача. В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка.

Задача Гурса – это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Постановка задачи. Пусть в области задано гиперболическое уравнение области и непрерывное в замыкании решение по краевому условию сопряжения и дифференцируемости. Если функция непрерывна для всех которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области существует единственное и устойчивое решение.

9.6. Характеристическая задача Коши. Задачи со свободными Характеристическая задача Коши возникает в случаях, когда, вопервых, на конкретной поверхности задаются начальные данные для всех искомых функций. Во-вторых, по заданным начальным данным из системы дифференциальных уравнений невозможно определить выводящие с несущей начальные данные поверхности производные всех искомых функций. Эта ситуация возникает, когда обращается в нуль определитель матрицы, которая стоит перед вектором выводящих производных.

Задачи со свободными границами. Сюда относится большой круг классических задач, в которых ищется движение идеальной жидкости или идеального газа в областях с частично известными границами. Неизвестную часть границы в этих задачах нужно определить из каких-либо дополнительных условий. Простейшим из таких условий является постоянство на неизвестной части границы величины скорости. Другое важное условие выступает в задачах о волновых движениях тяжелой несжимаемой жидкости: условие постоянства давления на волновую поверхность. Примером может служить простейшая задача о течениях идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в условиях, когда силой тяготения можно пренебречь, движение плоско параллельно и давление над свободной поверхностью постоянно. На свободной поверхности величина скорости V постоянна, и математически задача ставится следующим образом.

Задана кривая 0 : y y0 x —дно водоема, причем предполагается, что функция y0 x непрерывна и ограничена вместе с двумя производными на всей оси х; задан также расход h. Требуется найти свободную поверхность, чтобы на ней величина скорости течения была заданной постоянной величиной.

9.7. Аналитические методы исследования уравнений с частными производными. Метод разделения переменных для линейных уравнений параболического и гиперболического типов К аналитическим методам исследований уравнений с частными производными относят построение точных решений и использование бесконечных рядов. Точные решения строятся на основе подбора, догадок, с использованием справочников либо применением отдельных методов и приемов. Приближенные решения уравнений строятся с помощью тригонометрических или степенных рядов. Суть такого подхода состоит в численном или точном построении коэффициентов рядов при решении алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений.

Линейные уравнения параболического и гиперболического типов решают методом разделения переменных. Суть его в следующем. Искомая функция представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Вычисляются вторые производные по переменным обеим переменным и подставляются в уравнение. После разделения переменных и введения обозначений исходное уравнение параболического или гиперболического типов распадается на два линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Каждое уравнение решается отдельно, а затем подчиняется граничным и начальным условиям. В результате решение уравнения строится в виде тригонометрического ряда с однозначно определяемыми коэффициентами.

9.8. Построения решения задачи Коши в виде степенного ряда по выводящей переменной для нелинейных уравнений гиперболического Задачей Коши, или задачей с начальными данными для волнового уравнения в простейшем случае, когда искомая функция зависит только от времени и пространственной переменной называется следующая задача Для построения решения задачи Коши в виде степенного ряда где необходимо требовать аналитичность функций f t, x, x, x, т.е. требовать наличие у этих функций производных всех порядков и сходимость рядов Тейлора этих заданных функций, в частности, Первые два коэффициента ряда для функции u t, x начальными условиями Чтобы найти последующие коэффициенты, надо уравнение из задачи Коши дифференцировать k раз по t, полагать t=0 и использовать уже найденные коэффициенты.

В результате для последовательного определения uk 1 x, k получаем следующую рекуррентную формулу Использование конечного отрезка построенного ряда Тейлора дает приближенное решение задачи Коши 9.9. Численные методы исследования уравнений с частными производными. Метод сеток. Явные и неявные схемы Рассматривается следующая начально-краевая задача Численно решение строится в только в изолированных точках интегрирования по временной и пространственной переменным соответственно.

Приближенно вычисляются значения первых и вторых частных производных в произвольной точке tn n, xi ih. После этого в уравнении производные заменяются соответствующими соотношениями в произвольной точке и после преобразований получается равенство которое называется разностной схемой, поскольку позволяет по известным значениям искомой функции в точках xi 1, xi, xi 1 на n-ном и (n-1)-ом временных слоях сразу определить значение на (n+1)-ом временном слое в точке xi.

Чтобы с помощью разностной схемы вести счет, необходимо знать значения искомой функции на двух временных слоях. На нулевом слое, т. е.

при t=0 решение задано из первого начального условия. Значения на следующем временном слое ищут с использованием разностного приближения второго начального условия:

10. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Баутин С.П. Математическое моделирование сильного сжатия газа.

Новосибирск: Наука, 2007.

2. Баутин С.П., Дерябин А.П., Садов А.П. Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебно-методич.

пособие для магистрантов механического, строительного и электромеханического факультетов. – Екатеринбург: УрГУПС, 2010.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:

Наука, 1972.* 4. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.* 5. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Интеграл-Пресс, 1984.* 6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов.

М.: Интеграл-Пресс, 2002. * (*) – отмеченная литература имеется в наличии в библиотеке

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ:

1. Электронное учебное пособие «Математика»/ Г.А. Тимофеева и др.

https://www.usurt.ru/in/files/index2/7_5/001_2_7_5. УрГУПС, 2007.

2. Интернет-сайт издательства «Лань» http://www.lanbook.ru.

Ресурсы научно-образовательных сайтов http://www.exponenta.ru, http://www.math.ru, http://www.krugosvet.ru 3. Электронное учебно-методическое пособие «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики»/ С.П. Баутин и др.

https://www.usurt.ru/in/files/umm/umm_5875.pdf. УрГУПС, 2010.

11. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ

В ходе преподавания дисциплины «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» используются следующие средства обучения: презентации, мультимедиа-оборудование; раздаточные материалы к практическим занятиям; электронные учебно-методические материалы.

В распоряжении кафедры «Высшая и прикладная математика» имеются учебные лаборатории математического моделирования, оснащенные компьютерами с процессорами типа Pentium-4 (быстродействие 2,5 ГГц, оперативная память 1 Гб, жесткие диски по 120 Гб).

Установлена лицензионная операционная система Windows XP на все компьютеры. Cо всех машин, объединенных в локальную сеть учебной лаборатории, имеется выход в Интернет и на центральный сервер Уральского государственного университета путей сообщения.

Программное обеспечение включает Microsoft Office c электронными таблицами Excel, пакеты компьютерной математики Mathcad и Matlab.

Используются в учебном процессе и разработанные преподавателями кафедры авторские учебные программы:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ РАБОТЫ МАГИСТРАНТОВ

занятия и СРM Практические Вид занятий Лекции Групповые консультации 3.1. Оценка знаний по теоретической подготовке Контрольные точки Л-1, Л-2, Л-3, Л-4 (II семестр) содержат теоретические сведения по темам, вынесенных на текущий контроль, и оцениваются 40 и 60 баллами, соответственно. Контроль проводится в форме устного опроса, письменного тестирования.

Максимальная оценка каждой темы во II семестре составляет 10 баллов.

Оценка каждого ответа на один из вопросов темы формируется по следующей шкале:

2 балла – ответ на вопрос дан правильный и полный;

0 баллов – ответ на вопрос отсутствует или содержание ответа не совпадает с поставленным вопросом.

3.2. Оценка знаний по практической подготовке Контрольные точки П-1, П-2, П-3 (II семестр) содержат основные задачи по темам, вынесенных на текущий контроль, и направлены на контроль усвоения магистрантами материала соответствующих практических занятий.

Контрольные точки оценивается 30 и 20 баллами, соответственно. Контроль проводится в форме письменной контрольной работы.

Максимальная оценка каждой темы во II семестре составляет 10 баллов.

Контрольные работы содержат 5 заданий. Максимальный балл за каждое задание – 2. Оценка работы формируется следующим образом:

2 баллов – задача решена верно;

1 балл – задача не решена;

0 баллов – магистрант отсутствовал.

При последующем написании контрольной работы оценка снижается до балла за задание.

3.3. Оценка самостоятельной работы магистрантов Контрольные точки С-1, С-2, С-3 (II семестр) содержат основные задачи по темам, вынесенным на текущий контроль, и оцениваются 30 и 30 баллами по факту выполнения и сдачи на проверку.

Работа может быть сдана и проверена по частям, баллы выставляются после сдачи работы целиком.

Суммарный балл по всем контрольным точкам составляет во II семестре 100 баллов.

ЛИСТ ДОПОЛНЕНИЙ И ИЗМЕНЕНИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Высшая и прикладная математика»

ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

по дисциплине М2.В.ОД.3 (в соответствии с учебным планом) «Аналитические и численные методы решения уравнений математической 140400.68- «Электроэнергетика и электротехника ».

Основание:_ изменения:_ Дополнения и изменения внесены на заседании кафедры «Высшая и прикладная математика», протокол № _от 20г.

Авторы рабочей программы _С.П. Баутин Начальник отдела докторантуры и аспирантуры Н.Ф. Сирина

 
Похожие работы:

«// ^./^.^ ••:.••• г.-!-.•-. Т, А. Павловская C/C++ Программирование на языке высокого уровня Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению Информатика и вычислительная техника 3004^ 300.piter.com Издательская программа 300 лучших учебников для высшей школы в честь 300-летия Санкт-Петербурга осуществляется при поддержке Министерства образования РФ 1;^пптЕР' Москва • Санкт-Петербург • Нижний Новгород...»

«МОДЕЛЬ FO-85 ФАКСИМИЛЬНЫЙ АППАРАТ ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ 1. Установка аппарата 2. Отправка факсов 3. Прием факсов 4. Копирование 5. Телефонные звонки 6. Подключение автоответчика 7. Специальные функции 8. Распечатка списков 9. Обслуживание аппарата 10. Устранение неполадок Краткое руководство по эксплуатации Внимание! Во исполнение Статьи 5 Закона Российской Федерации О защите прав потребителей, а также Указа Правительства Российской Федерации №720 от 16 июня 1997 г. устанавливается срок...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ТЕХНОЛОГИИ 6 класс ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа разработана применительно к учебной программе Технология. 6 класс (вариант для мальчиков). Рабочая программа ориентирована на использование учебника Технология для учащихся 6 кл. общеобразовательных учреждений (вариант для мальчиков) / В. Д. Симоненко, А. Т. Тищенко, П. С. Самородский / под редакцией В. Д. Симоненко. – М.: Просвещение, 2006; а также дополнительных пособий: для учащихся: – Викторов, Е. А....»

«Сборник статей Монтаж электропроводки, выключателей, розеток. Секреты электрика Автор-составитель: Андрей Повный, 2007 © http://electrolibrary.info Электронная электротехническая библиотека Монтаж электропроводки, выключателей, розеток. Секреты электрика СОДЕРЖАНИЕ Вызов электрика (Монтажника) - оправдано !? 3 Электропроводка в квартире 5 Составляем план 8 Полная замена электропроводки 9 Монтаж внутренних электропроводок 16 Монтаж электропроводки плоскими проводами 26 Электропроводка в...»

«Короткова О.В. Лицей №8 Олимпия, Волгоград Пояснительная записка к рабочей программе Настоящая рабочая программа является модифицированной, разработана на основе программы общеобразовательных учреждений Технология трудовое обучение 1-4, 5-11 классы за 2007 год авторов Ю. Л. Хотунцева, В. Д. Симоненко Рабочая программа ориентирована на использование учебника Технология: учебник для 6 кл. общеобразовательного учреждения: вариант для мальчиков/В.Д. Симоненко, А.Т. Тищенко, П.С. Самородский: под...»

«Альбом электромонтажника ТЕХНИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ЖИЛЫЕ ОБЪЕКТЫ И МАЛЫЕ ПРЕДПРИЯТИЯ Электрические и информационные сети Домашняя автоматизация ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ Введение Данный альбом предназначен для электромонтажников и электриков, занимающихся сборкой щитов жилого Содержание и офисного сектора, менеджеров электротехнических компаний и их клиентов, заинтересованных в составлении полного и качественного проекта электрической части помещения. Проект 1. Типовая квартира Альбом призван помочь с...»

«1 Производство электроэнергии 2 Производство электроэнергии ПРОИЗВОДСТВО ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ВВЕДЕНИЕ Эта публикация, предпринятая компанией Каминз Пауэр Дженерейшн Лтд, предназначена для тех, кто продает и представляет дизельные электростанции в Европе, Африке и на Ближнем Востоке. Этот материал фокусируется на электрических аспектах данной технологии производства электроэнергии. Механические аспекты дизель-генераторных систем подробно отражены в инструкциях по установке и эксплуатации дизельных...»

«1 Направление бакалавриата 210100 Электроника и наноэлектроника Профиль подготовки Промышленная электроника Содержание 1. История..3 2. Иностранный язык..20 3. Философия..35 4. Экономика и организация производства.44 5. Культурология..52 6. Правоведение..61 7. Политология..68 8. Социология..83 9. Мировые цивилизации, философии и культуры.99 10.Математика..105 11.Физика..120 12.Химия.. 13.Экология..140. 14.Информатика.. 15.Вычислительная...»

«Евгений Анатольевич Банников Виктор Александрович Барановский Электричество дома и на даче Текст предоставлен правообладателемhttp://www.litres.ru Электричество дома и на даче: Современная школа; Москва; 2006 ISBN 985-6751-99-3 www.elek3ki.ru Аннотация Описаны устройство и технология монтажа и ремонта электропроводок, воздушных и кабельных линий, домашнего электрооборудования. Книга поможет устранить неисправности в электропроводке и произвести подключение к источнику питания дачного домика,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра теплотехники и гидравлики ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов направления бакалавриата 220200.62 Автоматизация и управление, специальностей 270102.65...»

«Физические проблемы экологии № 19 419 ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ НАЗЕМНОЙ МИКРОВОЛНОВОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ В.Л. Саввин, Ю.А. Пирогов, Г.М. Казарян, Д.А. Михеев Физический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова Проведен анализ современного состояния исследований в развивающейся области СВЧ энергетики – микроволновой передачи энергии. Обсуждаются проблемы снижения уровня фонового излучения и переизлучения кратных гармоник рабочей частоты. Анализируются перспективы наземной микроволновой передачи...»

«Алюминий и его сплавы. Влияние кремния на силумины. Введение Алюминий – светло-серебристый металл, имеющий кристаллическую решетку гранецентрированного куба с периодом 4,0413. Не испытывает полиморфных превращений. Алюминий – легкий металл, его удельный вес 2,703 г/см3 при 20 С. В связи с этим алюминий является основой сплавов для легких конструкций, например в авиационной технике. Алюминий обладает высокой электропроводностью (65% от меди), поэтому алюминий в большом объеме используется в...»

«Кристофер Прист Престиж Библиотека Старого Чародеяhttp://www.oldmaglib.com/ Прист К. Престиж: Эксмо; М.; 2004 ISBN 5-699-00156-5 Оригинал: ChristopherPriest, “The Prestige” Перевод: Е. Петрова Аннотация Смертельное соперничество двух иллюзионистов конца XIX в. дает всходы в наши дни. От двойников, близнецов и дубликатов шагу некуда ступить. Безумные теории пионера электротехники Никола Теслы приносят самые неожиданные плоды. А престиж – это совсем не то, что вы подумали. Содержание Часть...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ТЕХНОЛОГИИ 5 класс ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа разработана применительно к учебной программе Технология. 5–7 классы (вариант для мальчиков). Рабочая программа ориентирована на использование учебника Технология для учащихся 5 кл. общеобразовательных учреждений (вариант для мальчиков) / В. Д. Симоненко, А. Т. Тищенко, П. С. Самородский; под редакцией В. Д. Симоненко. – М.: Просвещение, 2007; а также дополнительных пособий: для учащихся: – Викторов, Е. А....»

«Короткова О.В. Лицей №8 Олимпия, Волгоград Пояснительная записка к рабочей программе Настоящая рабочая программа является модифицированной, разработана на основе примерной программы общеобразовательных учреждений Технология трудовое обучение 1-4, 5-11 классы за 2007 год авторов Ю. Л. Хотунцева, В. Д. Симоненко Рабочая программа ориентирована на использование учебника Технология: учебник для 5 кл. общеобразовательного учреждения: вариант для мальчиков/В.Д. Симоненко, А.Т. Тищенко, П.С....»

«СЕКЦИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА ПЕРЕЧЕНЬ ДОКЛАДОВ ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО НАГРЕВАТЕЛЬНОГО КАБЕЛЯ В АГРОПРОМЫШЛЕННОМ КОМПЛЕКСЕ ВЛАСЮК Д.И. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ РОЗУМ Т.Т., К.Т.Н., ДОЦЕНТ СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УСТРОЙСТВА ЗАЩИТНОГО ОТКЛЮЧЕНИЯ (УЗО) И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО АВТОМАТА СЛИНЬКО А.А. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ РОЗУМ Т.Т., К.Т.Н., ДОЦЕНТ ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ О ТРАНСФОРМАТОРАХ АБАКАНОВИЧ К.Э.; АДАМЕНКО Е.А. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ РОЗУМ Т.Т., К.Т.Н., ДОЦЕНТ ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ...»

«Техническая коллекция Schneider Electric Выпуск № 27 Энергоэффективность: преимущества применения частотнорегулируемого привода в насосных, вентиляционных и компрессорных установках Компания Schneider Electric приступила к выпуску Технической коллекции Schneider Electric на русском языке. Техническая коллекция представляет собой серию отдельных выпусков для специалистов, которые хотели бы получить более подробную техническую информацию о продукции Schneider Electric и ее применении, в...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.