WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:   || 2 |

«Методика обучения решению олимпиадных физических задач Санкт-Петербург 2001 Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена Санкт-Петербургский ...»

-- [ Страница 1 ] --

С. В. Бубликов, А. С. Кондратьев

Методика обучения

решению олимпиадных

физических задач

Санкт-Петербург

2001

Российский государственный педагогический университет

имени А.И.Герцена

Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных

С. В. Бубликов, А. С. Кондратьев

Методика обучения

решению олимпиадных

физических задач

Пособие для учителей

Санкт-Петербург Издательство СПбГДТЮ 2001 Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского дворца творчества юных Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор А.А.Курдюмов (СПбГУ) С.В.Бубликов, А.С.Кондратьев. Методика обучения решению олимпиадных физических задач: Пособие для учителей. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского городского дворца творчества юных, 2001. – 115 с.

Отражены тенденции совершенствования методологических основ обучения решению задач по элементарной физике. Особое внимание уделено развитию творческих способностей и самостоятельных исследовательских навыков учащихся в процессе решения физических задач повышенного уровня.

Для учителей физики средних школ и руководителей кружков и факультативов по решению физических задач, а также для учащихся старших классов, самостоятельно готовящихся к участию в олимпиадах или вступительных экзаменах по физике.

Издательство Санкт-Петербургского городского дворца творчества юных Введение олноценное физическое образование на любом уровне – от первоначального, школьного, вплоть до специального, невозможно без систематического решения задач. Умение уверенно решать задачи является одним из критериев глубины понимания физических законов и сознательного применения их предписаний для анализа конкретных физических явлений.

Никаких универсальных рецептов для выработки такого умения не существует. Необходимые навыки приходят только в результате упорного труда по мере накопления опыта. Тем не менее, некоторые методические советы здесь вполне уместны.

Прежде всего при обучении решению задач важно научить учащихся разумному подходу к методам, позволяющим в значительной мере сократить затраты труда и времени, неизбежные при бесхитростном «лобовом» решении, и в то же время исключить другую опасность – введение чрезмерно расширенной формализации и излишней алгоритмизации для решения простых задач. Равновесие между этими крайностями оставляет достаточный простор для освоения методологического инструментария решения физических задач.




В силу невозможности научить школьников всему фактическому материалу физической науки имеет смысл учить главному –методологии научного познания. В этой связи необходимо раскрыть исходные понятия: методология, метод, методика, так как в научной и методической литературе приняты различные трактовки этих понятий. Мы будем придерживаться следующих.

Методология – это учение о методах, структуре, логической организации науки и средств деятельности в ней; совокупность наиболее существенных элементов теории, конструктивных для развития самой науки – концепция самой науки; совокупность общих методологических принципов и методов, используемых в научном исследовании с учетом специфики решаемых задач;

совокупность приемов исследования, применяемых в науке; учение о принципах построения, формах и способах научного познания.

Метод – это путь исследования; способ достижения какойлибо цели, решения конкретной задачи, совокупность приемов или операций, практического или теоретического познания, общий способ подхода к решению достаточно широкого класса задач, а также общее направление в ходе их решения; определенным образом упорядоченная деятельность по решению задач определенного класса.

Методика – это совокупность технических приемов и организационных форм для получения результата исследования;

система методов последовательного и эффективного проведения исследования, решения задачи, достижения цели.

Таким образом, владение методикой означает и усвоение системы методов и уверенную ориентацию в методологии. В этом смысле характерны афоризмы академика Д.С.Лихачева: «Ошибка в выводах указывает на ошибочность работы исследователя;

ошибочность примененного метода – на порок самого исследователя»; «Самый позорный провал в науке – применить а не просто прийти к неверному выводу».

Процесс решения хорошей учебной задачи похож на небольшое исследование. Как и в настоящем научном исследовании, заранее далеко не всегда ясно, какой должна быть последовательность действий для получения достоверного результата. В приводимых решениях задач и разборах примеров уделяется особое внимание тем моментам, которые должны присутствовать в любом исследовании.

На конкретных примерах демонстрируются приближенные методы. Часто их применение не только облегчает решение задачи, но и позволяет представить результат в более удобном для исследования виде. В некоторых случаях, когда получение даже приближенного результата сопряжено с необходимостью выхода за рамки принятого в средней школе уровня изложения, используются оценки, дающие качественную картину и порядок величины.

В книге обращается внимание на возможность разных подходов к решению задачи. Именно посредством отыскания оригинального пути решения задачи формируется свобода научных взглядов и реализуется творческий потенциал личности обучаемых.





Однако не следует упускать из виду, что, размышляя над задачей, необходимо сохранять объективность суждений, проверяя полученный результат и другим более традиционным и испытанным путем.

Авторы не претендуют на исчерпывавшую полноту освещения всех проблем обучения учащихся решению физических задач. Разумнее воспринимать изложенное как ориентиры для самостоятельных поисков путей совершенствования обучения решению задач и повышения собственного методического мастерства учителя.

вопросах обучения учащихся решению физических задач, как и во многих других вопросах дидактической проблематики, нет и, по-видимому, не может быть однозначных ответов. Не всегда очевидны ответы на вопрос о том, что принять за основное, а что следует подвергнуть доказательству при определении путей обучения решению задач по физике. Опыт преподавания показывает: чтобы методологический инструментарий решения задач по физике сделать доступным учащимся и обнаружить его практическую направленность, необходимо показать его остов, объединяющий минимум фактических знаний и максимум размышлений.

1.1. Уровни методологии решения физических Резервы повышения педагогической эффективности обучения решению задач по физике во всем своем богатстве объективных и потенциально высоких возможностей развития творческих способностей учащихся раскрываются при широком и систематическом использовании на уроках решения задач разных уровней методологии физики. Включение в содержание школьного физического образования специальных методологических знаний необходимо для того, чтобы его конкретное содержание усваивалось учащимися в системе, адекватной физике как науке.

Можно выделить три основных уровня, на которых проводится решение физической задачи.

Первый уровень характеризуется использованием частных физических законов, например, использованием законов динамики при решении задач по механике. Как правило, решение задачи на этом уровне требует использования более сложного или громоздкого математического аппарата, чем на последующих уровнях.

Второй уровень характеризуется использованием наиболее общих, фундаментальных физических законов, например таких, как закон сохранения энергии. Как правило, на этом уровне используемый математический аппарат оказывается проще, чем при решении той же задачи на первом уровне. Основная принципиальная сложность при решении задачи на втором уровне – это создание качественной картины изучаемого явления, которая позволяет записать уравнение, соответствующее закону сохранения определенной физической величины именно для рассматриваемого процесса. Здесь приходится проявлять особую внимательность, ибо часто незначительное изменение характера протекающего процесса может приводить к кардинальному изменению соответствующего уравнения и, наоборот, иногда разным протекающим процессам соответствуют одни и те же уравнения законов сохранения. В этом случае встает проблема отбора нужных корней.

Наконец, третий уровень решения физической задачи характеризуется использованием общих методологических принципов физики – таких, как принципы симметрии, относительности, причинности, суперпозиции и т. д. При решении задачи на этом уровне иногда удается строго получить ответ, вообще не выписывая никаких уравнений. Часто удается сделать совершенно элементарными выкладки, которые были бы очень громоздкими при решении задачи на других уровнях. Особенно ценным является использование третьего методологического уровня в случаях, когда требуется перебор большого числа различных возможных вариантов: удачно выбранный.

методологический принцип может помочь сразу выделить действительно реализующийся вариант из большого числа правдоподобных.

Приведем решения одной и той же задачи на разных уровнях.

Задача. Какую форму будет иметь некоторая масса покоящейся жидкости, оказавшаяся в космическом пространстве На третьем методологическом уровне, используя соображения симметрии, легко понять, что жидкость не может иметь никакой другой формы, кроме шарообразной, ибо в рассматриваемой системе отсутствуют какие-либо выделенные направления.

Задачу можно решить и на втором уровне, используя энергетические соображения: система примет такую конфигурацию, при которой ее потенциальная энергия будет минимальной. Ясно, что в рассматриваемом случае можно говорить об энергии, связанной с ньютоновым притяжением отдельных элементов рассматриваемой массы жидкости друг к другу.

Минимальность энергии жидкости будет достигнута при ее шарообразной форме. Обратим внимание на то, что при втором способе рассуждении нам потребовалась гораздо более детальная физическая модель явления. Наконец, решение этой задачи на первом уровне, основанном на рассмотрении условий равновесия отдельных элементов жидкости при их взаимодействии друг с другом, потребует еще большей детализации физической модели и привлечения достаточно громоздкого математического аппарата.

Путем простых рассуждений, основанных на сопоставлении относительной роли различных взаимодействий, можно распространить решение этой задачи на случай массы жидкости, находящейся внутри космического корабля с выключенными двигателями. Отметим определенную условность разобранной задачи, ибо в стороне остался вопрос о тепловом балансе массы жидкости, находящейся в космическом пространстве. Этот баланс определяет возможность и время существования жидкой фазы в космосе.

Таким образом, разные уровни общности методологии физики как науки могут эффективно использоваться при обучении учащихся решению задач уже в школьном курсе физики. Наш опыт преподавания свидетельствует о том, что развиваемое при этом мышление обучаемых – от интуитивного до строго математического – достаточно верно анализирует взаимосвязь явлений и позволяет описывать их на разных «языках».

Этапы решения физической задачи.

Решение задачи – это активный познавательный процесс, в котором наибольшую трудность для учащихся представляет вопрос с «чего начать», то есть не само использование физических законов, а выбор, какие именно законы и почему следует применять при анализе каждого конкретного явления. Опыт экспериментального преподавания показывает, что познавательная деятельность учащихся при решении физической задачи наиболее эффективна, если она организована на основе применения рассмотренной в п.1. трехуровневой методологии физики. При этом можно придерживаться следующих методических советов.

Прежде всего, следует попытаться «угадать» ответ из «общих»

соображений, найти его на полуинтуитивном уровне. Легко понять, что конструирование познавательной деятельности из «общих»

соображений как раз и соответствует осознанному (а потому и более эффективному) или неосознанному (первые проявления интуиции) обращению к общим методологическим принципам физики. Как правило, на этом уровне отсутствует явная разработка физической модели рассматриваемого явления. Поэтому успех в решении задачи в значительной степени определяется умением неявно угадать или «почувствовать» основные черты такой модели.

По существу, здесь важно уметь понимать, что может быть и чего не может быть в разбираемой физической ситуации.

Даже если таким путем удастся найти решение конкретной задачи, то всегда полезно решить ее и более «стандартным»

образом, апеллируя к наиболее общим, фундаментальным физическим законам. Для глубокого понимания физики необходимо четкое осознание степени общности различных физических законов, границ их применимости, их места в общей физической картине мира. Например, использование закона сохранения энергии часто позволяет взглянуть на разбираемую задачу с более общих позиций, чем при использовании конкретных законов, относящихся к определенному кругу явлений – механических, электрических, оптических и т. д. Использование фундаментальных законов, общих для всех физических явлений, как и использование методологических принципов физики, иногда дает возможность найти ответы на вопросы, касающиеся тех явлений, для которых учащимся неизвестны описывающие их конкретные законы.

Научиться правильному применению фундаментальных законов не так просто. Здесь уже требуется тщательная разработка физической картины протекающих процессов, создание физической модели явления. Однако степень детализации этой картины, как правило, все-таки ниже необходимой при решении задачи на первом уровне, то есть при использовании частных физических законов. В целом, физические модели явления, создаваемые при решении задачи на первом и втором уровнях, весьма схожи между собой, различаясь только степенью детализации. А вот математические модели явления, возникающие после записи физических законов применительно к рассматриваемому случаю, могут оказаться совершенно различными. Здесь встает вопрос об адекватном выборе математического аппарата (п.2.2).

К решению физической задачи на первом уровне следует приступать в том случае, когда ни использование методологических принципов, ни использование фундаментальных законов не позволили найти ответы на вопросы, поставленные в условии задачи. В этом случае, прежде чем выписывать соответствующие уравнения, полезно проанализировать задачу с точки зрения соображений подобия и размерности. Следует однако отметить, что эффективность метода анализа размерностей в большей степени, чем эффективность других методов, зависит от квалификации решающего задачу. Это довольно «сильный» метод, хотя простота его несколько обманчива. При должном умении этот метод удается использовать и при анализе задачи на методологическом уровне, что не исключает возможностей его применения и на других уровнях.

Разумеется, в разных задачах удельный вес этих моментов будет различным, так как изложенная схема организации познавательной деятельности учащихся является не жесткой, а предполагает индивидуальное проектирование действий обучаемых в соответствии с требованиями методологии физики в любой комбинации ее подходов к решению задачи в зависимости от конкретной задачи и особенностей преобладающего типа мышления у ученика.

В процессе решения задачи можно условно выделить три этапа: физический, математический и анализ решения.

Физический этап предполагает, во-первых, обоснованный выбор идеализации изучаемого процесса, то есть разработку физической модели явления, сохраняющей его наиболее важные черты; во-вторых, выбор физических законов, которым удовлетворяет разработанная модель, и составление замкнутой системы уравнений, в число неизвестных которой входят искомые величины.

По итогам предыдущего этапа создается математическая модель явления, которая может оказаться не единственной в зависимости от использованных физических законов. На этом этапе принципиально важно выбрать адекватный математический аппарат. Математический этап предусматривает получение общего решения задачи и нахождение числового ответа на вопрос задачи.

На этапе анализа решения обязательно исследуются частные простые и предельные случаи, для которых ответ очевиден или может быть получен сразу независимо от общего решения;

выясняется, при каких условиях осуществляется полученная зависимость; оценивается реальность результата; проверяется размерность полученной величины; при получении многозначного ответа исследуется соответствие подученных результатов условию задачи. Очень полезен также поиск и разбор аналогий с другими задачами и явлениями, а также сравнение методов их анализа.

Кроме того, найденные решения должны удовлетворять регулятивным требованиям методологических принципов физики.

В сложных задачах явного деления на этапы может и не быть, однако общая последовательность действий прослеживается.

1.3. Алгоритмический и эвристический к решению физических задач.

Решение физической задачи – это прежде всего мыслительный процесс, исследование психологических тонкостей которого выходит за рамки данной книги. Однако здесь уместно обсудить соотношение алгоритмического и эвристического подходов к формированию умения решать задачи по физике.

В физике как науке субъективные пути достижения объективного результата многообразны и несут на себе отпечаток личностных качеств исследователя. Следовательно, при обучении решению физических задач необходимо систематически обращать внимание учащихся на то, что правильный физический результат может быть получен разными способами. Справедливо и обратное:

результат, полученный при определенном способе рассуждении и не повторяющийся при использовании других подходов, как правило, неверен и является следствием использованных приближений, не отражающих суть изучаемого явления.

На уроках решения задач это многообразие может быть реализовано описанными выше средствами разноуровневой методологии физики. На долю учителя выпадает руководство развитием познавательной деятельности учащихся от подражательно-репродуктивной к поисково-творческой. Поэтому при обучении решению задач важно возможно шире сочетать алгоритмические и эвристические подходы, отдавая сначала предпочтение алгоритмическому подходу с целью выработки и закрепления необходимых технических умений и навыков, затем делая все больший и больший крен в сторону эвристического подхода с целью максимального развития творческих способностей учащихся.

Рассмотрим конкретный пример сочетания алгоритмического и эвристического подходов при решении определенной физической задачи.

Задача. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель измеряет промежуток времени t 0 между двумя моментами, когда тело проходит точку А, находящуюся на высоте Н.

Определить начальную скорость 0 брошенного тела.

Алгоритмический путь решения этой задачи начинается с использования уравнения движения тела с постоянным ускорением свободного падения g. В проекции на направленную вверх вертикальную ось оно имеет вид где h – высота относительно поверхности земли той точки, в которой находится тело спустя промежуток времени t после начала движения. В условии задачи говорится о нахождении тела на заданной высоте Н. Поэтому, подставляя в (1.1) h = Н, можно найти время t, когда тело находится на этой высоте.

Уравнение (1.1) – квадратное относительно t. Решая его, находим По условию задачи тело побывало на высоте Н дважды. Это значит, что дискриминант в (1.2) положителен:

Откуда H 0 2 2 g – высота Н меньше максимальной высоты подъема тела 0 2 2 g, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 0. Итак, только из того факта, что тело побывало на высоте Н дважды, можно получить некоторую оценку для величины начальной скорости 0 : 0 2 gH.

Теперь задумаемся над смыслом каждого из корней квадратного уравнения (1.2). Поскольку 0 g есть время подъема тела на максимальную высоту, то значение t 1, со знаком «минус»

перед радикалом соответствует времени подъема тела на заданную высоту Н, а значение t 2 со знаком «плюс» перед радикалом определяет время, по истечение которого тело снова окажется на высоте Н, спускаясь вниз:

Очевидно, что заданный в условии промежуток времени t 0 равен разности значений t 2 и t 1 : t 0 = t 2 – t 1. Подставляя сюда значения t 2 и t 1, имеем Откуда При эвристическом подходе к решению приведенной задачи можно обойтись без использования исходного уравнения (1.1). Для этого достаточно только сообразить, что тело поднимается вверх от точки А на высоте Н в течение времени t 0 /2, останавливается, и затем падает до точки А в течение времени t 0 /2. Падая до точки А, тело успевает набрать скорость 1 gt 0 /2. Теперь легко найти скорость, которую тело наберет, пройдя путь, равный Н, от точки А до поверхности земли:

Очевидно, что эта скорость равна скорости 0, с которой тело было брошено вертикально вверх.

Решение, основанное на эвристическом подходе, оказывается таким же строгим, как и приведенное выше решение, ибо использует только факт одинаковости времени подъема и падения тела, брошенного вертикально вверх, и кинематическое соотношение между перемещением, скоростями в начальной и конечной точках и ускорением при равнопеременном движении.

Применительно к движению в поле земного тяготения это соотношение эквивалентно закону сохранения энергии (1.3).

Эвристический подход часто позволяет получить ответ, вообще не выписывая никаких соотношений в явном виде.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m и M, причем m M. Найти силу натяжения нити при движении грузов, пренебрегая трением, массами блоков и нити ускорением, направленным вверх. Для этого сила натяжения нити Т 2 mg. Так как массой блока можно пренебречь, то сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока.

Эвристический подход к решению физических задач тесно связан с вопросом построения физической модели изучаемого явления. По существу эвристический подход заключается в выборе нетривиальной модели рассматриваемого процесса.

методологическом обеспечении процесса обучения решению хороших задач авторы видят наибольшую ценность традиционно обсуждаемых в методической литературе общих вопросов обучения решению физических задач.

Математический аппарат решении физических задач.

аскрыть роль математического аппарата в решении физических задач и осмыслить дидактические требования к нему можно на основе сопоставления точек зрения физиков и математиков – профессионалов высшей квалификации по обсуждаемому вопросу.

По мнению одного из величайших физиков современности Э.Ферми: «В физике нет места для путанных мыслей, и физическая сущность действительно понимаемого вопроса может быть объяснена без помощи сложных формул». В умении объяснить сущность вопроса «на пальцах» и заключается истинное понимание уравнений, выражающих физические законы.

Вместе с тем известны высказывания не менее выдающихся ученых, в которых абсолютизируется роль математических методов в решении физических проблем. Так, например, А.Пуанкаре считал, что: «Физика не может обойтись без математики, которая предоставляет ей единственный язык, на котором она может говорить».

Основное положение, определяющее ситуацию в современной физике, заключается в том, что содержание и смысл физических законов, а также границы их применимости, не выражаются математическими формулами, которые в полной мере отражают только количественный аспект исследуемого физического процесса. Знаменитый физик П.Дирак писал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно. Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» смысл уравнения в применении к этим условиям... Физическое понимание – это нечто неточное, неопределенное и абсолютно не математическое, но для физика оно совершенно необходимо».

Забвение этого факта способно породить формализм в знаниях учащихся и сделать их бесполезными в практическом применении при решении физических задач. По словам известного физика Р.Фейнмана: «Математики или люди с математическим складом ума часто при изучении физики теряют физику из вида и впадают в заблуждение. Они говорят «физический закон – это уравнение, сами физики признают, что нет ничего, что бы не содержалось в этом уравнении. Если я разберусь в нем математически, я разберусь и в физике». Но ничего из этого не выходит. Их постигает неудача от того, что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким пониманием уравнений».

Приведенные выше соображения являются хорошей иллюстрацией высказанной Н.Бором идеи о том, что физическая картина и ее математическое описание дополнительны.

Применительно к обсуждаемому вопросу эта дополнительность проявляется как в самой физике, так и в психологических аспектах, связанных с процессом обучения решению задач. Создание физической картины явления требует пренебрежения деталями и уводит от математической точности. И наоборот, попытка точного математического описания явления затрудняет его ясное понимание. В частности, на вопрос «Что дополнительно понятию «Ясность».

По другому аспекту обсуждаемой проблемы приведем мнение Р.Фейнмана: «Во взаимоотношениях физики и математики имеется еще одна интересная черта: математика позволяет доказать, что в физике, исходя из разных точек, можно прийти к одним и тем же выводам». В этой связи уместно вспомнить шутку академика Л.Д.Ландау: «Фок любую задачу сводит к уравнениям с частными производными, я – к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а Френкель – к алгебраическим».

Подвести итоги параграфа целесообразно словами академика Л.И.Мандельштама из его лекций по колебаниям: «Иметь меру требуемой математической строгости – самое трудное для физика.

Правильнее будет сказать так: ему необходимо уметь определять эту меру».

математическому аппарату.

Знания, полученные учащимися на уроках математики, должны по возможности быстрее доходить до практического применения на уроках физики. Наиболее оперативно это можно осуществить на уроках решения задач.

Обеспечить последовательные временные межпредметные связи физики с математикой в средней школе очень непросто, так как в каждом учебном курсе должна быть сохранена логика науки, которая, в свою очередь, обусловливает определенную последовательность изложения учебного материала. Ориентиром здесь может служить то обстоятельство, что использование математического аппарата при обучении решению физических задач должно удовлетворять следующим методическим требованиям.

1. Основное требование, предъявляемое к используемому математическому аппарату, – его адекватность рассматриваемому в задаче физическому явлению. Очень уродливым выглядит насыщение решения задачи огромным количеством необязательных или даже ненужных выкладок при использовании неподходящего аппарата, что приводит к громоздкости как выкладок в целом, так и отдельных промежуточных формул.

Выбор соответствующего математического аппарата подсказывает сама физическая теория, в рамках которой решается конкретная задача.

Имеет смысл поиск таких математических средств описания рассматриваемого в задаче процесса, которые бы не вносили дополнительных элементов, не характерных самому процессу или явлению. В дидактическом плане эта идея трансформируется в утверждение о том, что учитель должен учить решать задачи по возможности так, чтобы инвариантные особенности физических законов проявлялись предельно ясно – без тех математических средств, которые, ничего существенного не добавляя к пониманию физической сути явления, делают изучаемые вопросы труднодоступными для учеников. При этом четко оттеняется методологический характер необходимости перехода от сложного реального физического явления к его теоретической модели – 2. Общий характер имеет требование оптимальности избираемого для решения физической задачи математического аппарата, по существу представляющее собой одно из проявлений методологического принципа простоты в физике.

Это требование соответствует современным тенденциям развития самой математики, в которой стирается традиционное деление на алгебру, геометрию и анализ и возникают промежуточные разделы – алгебраическая геометрия, и т. д. Решение наиболее трудных теоретических проблем математики требует синтеза методов алгебры, геометрии и анализа, а подчас и применения ЭВМ. Поэтому при решении физических задач не следует стремиться получать «чисто аналитическое» или «чисто геометрическое» доказательство. Математические выкладки следует делать максимально компактными, используя при этом все имеющиеся у учащихся сведения из разных разделов математики.

Именно на таком пути мышление учащихся будет развиваться в соответствии с методологическим подходом современной науки.

Развитие математической культуры учащихся не менее важно для успешного обучения их решению физических задач, чем развитие умения проводить анализ физической сути рассматриваемых явлений. Особенно важным это становится в ситуациях, когда возможна различная формулировка физических законов, описывающих изучаемое явление. Ниже будет приведен соответствующий пример.

3. Выбранный математический аппарат должен быть доступным и соответствовать математической подготовке учащихся. Количественное описание рассматриваемого в задаче физического явления простыми математическими средствами служит одной из лучших педагогических предпосылок прочного усвоения тех тонкостей и деталей знаний, которые учащиеся должны получить в результате решения той или иной задачи.

Изложенные требования означают неуместность и недопустимость жесткого навязывания определенных математических схем при обучении решению задач по физике.

Проиллюстрируем выдвинутые требования на примерах.

Задача. Тело падает без начальной скорости с высоты h на наклонную плоскость, образующую угол с горизонтом, и упруго отражается от нее. На каком расстоянии, считая вдоль наклонной плоскости, тело второй раз коснется ее?

Прежде всего необходимо отметить, что в этой задаче нецелесообразно пытаться записать единое уравнение движения тела, включающее его первоначальное падение по вертикали. Так как в момент улара о наклонную плоскость скорость тела меняется скачком, то его движение будет равноускоренным только до первого соударения с наклонной плоскостью и в промежутках между последующими соударениями.

Рассмотрим вектор перемещения тела r между первым и вторым столкновениями. Для него справедливо где 0 – скорость тела в начале отскока от наклонной плоскости после первого соударения. В силу упругого характера удара тела модуль скорости одинаков до и после соударения, то есть а характеризующие процесс удара углы имеют значения, указанные на рис.2.1.

выбор осей может, соответственно, упрощать выкладки или делать их более громоздкими. (Так как траектория движения тела в земном поле тяготения плоская, то уравнение (2.1) эквивалентно двум скалярным, если вектор r лежит в плоскости X,Y). Например, если направить оси Х и Y по горизонтали и вертикали (рис.2.2), то дальнейшие преобразования запишутся следующим образом:

и подставляя во второе уравнение, найдем Сокращая на l 0 и объединяя слагаемые, не содержащие l, получим Теперь из (2.3) находим или, подставляя 0 2 2 gh, окончательно Обратим внимание на то, что при написании соотношения (2.4) потребовалось использовать тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла и выкладки в целом довольно громоздки. Их можно сделать проще, выбрав оси Х' и Y', как показано на рис.2.3.

Решение записалось гораздо компактнее, причем попутно автоматически выяснилось, что время полета не зависит от угла наклона. Не понадобилась и формула для косинуса двойного угла.

Однако при таком способе решения уравнения (2.1) все-таки приходится использовать тригонометрические функции тупого угла при проектировании g на ось Y. Этого вообще можно избежать, если не использовать метод проецирования при решении (2.1).

Равенство (2.1), как и всякое векторное равенство, где сумма двух векторов равна третьему, соответствует треугольнику. Вектор r направлен вдоль наклонной плоскости из точки первого касания тела с наклонной плоскостью в точку второго касания. Вектор 0 t направлен вдоль вектора 0 и начинается в точке первого касания тела с наклонной плоскостью. Вектор g 0 t 2 2 направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке, что и вектор r.

Поэтому треугольник перемещений, соответствующий равенству (2.1), имеет вид, показанный на рис.2.4.

Таким образом, видно, что использование геометрической интерпретации векторных равенств часто позволяет без потери строгости сделать выкладки существенно проще и, что особенно важно, позволяет использовать хорошо знакомый учащимся материал по геометрии.

В качестве другого примера рассмотрим следующую задачу.

Задача. Под каким углом ящик, чтобы с наименьшим усилием передвигать его волоком по горизонтальной поверхности?

Спроецируем векторное равенство (2.6) на вертикальное и горизонтальное направления По закону Кулона – Амонтона величина силы трения скольжения равна Fтр N. Подставляя сюда N из уравнения (2.7), имеем Теперь второе равенство (2.7) принимает вид откуда Числитель выражения (2.8) не зависит от угла, поэтому сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Поэтому нужно найти максимум выражения Обозначим Тогда для f ( ) получим Отметим, что замена (2.9) всегда возможна, ибо тангенс может принимать любые вещественные значения. Видно, что f ( ) максимальна при arctg.

Теперь обратим внимание на то, что формально введенная соотношением (2.9) величина имеет ясный физический смысл.

Вследствие закона Кулона – Амонтона – это угол, образуемый векторной суммой сил N и F тр с нормалью к поверхности (рис.2.6). Обозначив Q N F тр, перепишем (2.6) в виде Теперь решение задачи сводится к геометрическому исследованию равенства (2.10). Изобразим известную по величине и нию силу тяжести (рис. 2.7). Относительно Q заранее известно лишь его направление. Через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол = arc tg с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q, совмещая ее начало с концом вектора mg. В соответствии с (2.10) сила F должна замыкать треугольник сил, то есть соединять конец вектора Q с началом вектора mg. Как видно из рис.2.7, величина силы F будет наименьшей, когда ее направление образует прямой угол с направлением Q, то есть угол с горизонтом.

Обратим внимание на то, что использование геометрической трактовки векторного равенства (2.10) позволяет легко найти не только направление, но и величину минимальной силы Fmin. Из рис.2.7 сразу видно, что Fmin mg sin.

Возможность простого решения задач, связанных с определением экстремальных значений физических величин – еще одно несомненное достоинство метода, использующего геометрические соображения.

Этим же методом нетрудно показать, что при перемещении ящика с ускорением придется тянуть за веревку с большим усилием, однако сила F составляет тот же угол = arc tg с горизонтом.

Разобранные примеры наглядно иллюстрируют значение удачного выбора адекватного метода вычислений. Уравнения движения в кинематике и динамике записываются в векторном виде, однако конкретный метод решения этих уравнений может быть разным. Громоздкость выкладок разительным образом зависит от используемого метода решения. Использование геометрических методов анализа векторных уравнений не только упрощает конкретные выкладки, но и существенно увеличивает наглядность, что, в конечном счете, способствует более глубокому пониманию физической сути рассматриваемого явления.

Отметим, что приведенные задачи решены на первом уровне методологии, основанном на использовании конкретных физических законов. Именно на этом уровне имеется наи6ольший простор для выбора соответствующего математического аппарата.

2.3. Вычислительные методы при решении Развитие вычислительной техники, в частности ЭВМ, открыло новые широкие возможности в проведении теоретических исследований физических свойств систем. Появился даже термин «вычислительная физика», в которой численные методы анализа приобретают новую качественную роль.

В преподавании физики всегда фигурировали задачи, в которых изменение значений физических параметров рассматриваемой системы приводило к качественному изменению картины протекающих явлений. Однако самим расчетам отводилась при этом вспомогательная роль: даже значения параметров подбирались таким образом, чтобы расчеты можно было выполнить наиболее просто. Рассмотрим характерный пример такой задачи.

Задача. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массы m 1, на который действует горизонтальная сила F. С каким ускорением будет двигаться этот брусок, если сверху на него положить другой брусок массы т 2 ? Коэффициент трения между брусками равен.

Поскольку стол гладкий и трение между его поверхностью и нижней поверхностью бруска массы m 1, отсутствует, то при любой величине силы F брусок будет двигаться с некоторым отличным от нуля ускорением. А вот между поверхностями брусков трение есть, поэтому в зависимости от величины действующей силы F они либо будут двигаться вместе, либо верхний брусок будет отставать от нижнего.

Верхний брусок приводится в движение силой трения со стороны нижнего бруска. Максимальная величина этой силы есть m2 g, поэтому максимальное ускорение второго бруска равно g.

Если нижний брусок движется с большим ускорением, то верхний брусок будет отставать от него. В рассматриваемом случае ускорение нижнего бруска определится равенством откуда Ускорение второго бруска a 2 g меньше а 1, поэтому с помощью (2.11) находим Итак, если выполнено условие (2.12), то ускорение первого бруска определяется формулой (2.11). Если же то бруски движутся вместе, как одно целое. Их ускорение а в этом случае дается формулой Для проверки легко убедиться, что при выполнении условия (2.12) а 1 в (2.11) больше g. Напротив, при выполнении условия (2.13) а в (2.14) меньше g.

Если в условии задачи приведены численные значения всех величин, то прежде всего необходимо проверить условие (2.12).

Если оно выполнено, то ускорение нижнего бруска рассчитывается по формуле (2.11), если же не выполнено, то по формуле (2.14).

В рассмотренном примере физическая картина явления зависит от значений параметров, но устанавливается она в результате аналитического исследования. Численные расчеты здесь необходимы только для выбора между двумя выявленными картинами.

В настоящее время все более увеличивается доля таких задач, в которых численные расчеты и сам выбор способа их проведения играют существенную роль в решении. Приведем пример.

Задача. Как нужно направить луч света из точки А, отстоящей на расстоянии h 1 от плоской границы раздела двух сред с показателями преломления n 1 и n 2, чтобы он прошел через точку В, отстоящую от этой границы на расстоянии h 2 ?

Проекция расстояния между точками А и В на границу раздела двух сред равна l (рис.2.8).

На первый взгляд это совсем простая задача. Пусть некоторый луч света из точки А, преломившись на границе раздела, попадает в точку В (рис. 2.9). Обозначив углы падения и преломления через и соответственно, имеем Из рис.2.9 видно, что Подставляя соотношение (2.16) в формулу (2.15), имеем Соотношение (2.17) – это уравнение четвертой степени относительно x. Итак, простая физическая задача привела нас к необходимости решать алгебраическое уравнение четвертой степени. Вручную это сделать затруднительно, хотя и возможно упростить решение исходного уравнения на основе метода возвратного уравнения при некоторых значениях параметров. При других значениях параметров, когда уравнение (2.17) не является возвратным, кажется неизбежным лобовое численное решение этого уравнения. Конечно, тут может помочь ЭВМ. Однако задачу можно решить и иначе, при этом численные расчеты будут менее трудоемкими и будут иметь больший физический смысл.

Явление преломления лучей света можно описать не только законом преломления (2.15), но и с помощью принципа Ферма, потребовав, чтобы время распространения света из А в В было минимальным. Поскольку фазовая скорость света в среде с показателем преломления п есть с/п, то для времени распространения света имеем Теперь, задавшись точностью, с которой хотим получить ответ, можно вычислить выражение в скобках в (2.18) при разных значениях х, начиная с х = 0, и с шагом, соответствующим требуемой точности. Сначала величина выражения будет убывать, а начиная с некоторого значения х 0, начнет расти. Подставив в первую из формул (2.16) значение х 0, соответствующее минимуму выражения в скобках, получим синус угла, под которым следует пускать луч света. В этом случае расчеты можно выполнить не микрокалькуляторе. Использование принципа Ферма приводит здесь к совершенно новым численным расчетам.

Обратим внимание на то, что приведенное выше решение задачи из геометрической оптики на основе принципа Ферма одновременно является и решением такой, например, задачи из кинематики.

Подчеркнем, что на основе оптико-механической аналогии может быть решена и следующая, например, задача о распространении звуковых волн.

Задача. Автомобиль удаляется со скоростью двигаясь под углом к ней. В момент, когда расстояние от стены равно l, шофер подает короткий звуковой сигнал.

Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо?

В силу жесткой экономии места предлагаем читателю подумать над задачей самостоятельно, рассматривая процесс отражения звука от стены аналогично оптической задаче об отражении света в плоском зеркале.

Решаемые непосредственно друг за другом, эти задачи ярко демонстрируют учащимся единство методов, используемых при решении задач из разных разделов физики.

Таким образом, методологический принцип математизации трансформируется в дидактическое требование поиска адекватного способа количественного описания рассматриваемого в задаче явления, оставляющее качественное объяснение сути явления на основе неформального понимания физических законов за самим решающим задачу.

рассматриваемого в задаче.

амый ответственный этап в решении физической задачи – это построение модели рассматриваемого явления, то есть описание на языке физических понятий, что же именно происходит в ситуации, которая изложена в условии. При этом важно с самого начала четко разграничить, что существенно в данном явлении и определяет его протекание, а что несущественно. Иногда несущественными могут оказаться обстоятельства, которые, на первый взгляд, и должны играть определяющую роль. Рассмотрим следующий пример.

Задача. Из точки А свободно падает тело. Под каким углом к горизонту следует одновременно бросить другое тело из точки В (рис.3.1), чтобы они столкнулись в воздухе? Какой должна быть скорость этого тела?

Ясно, что скорость 0 должна быть направлена вдоль прямой, соединяющей эти тела, а ее модуль может быть любым – от этого зависит лишь время, по прошествии которого второе тело преодолеет разделяющее их расстояние.

Теперь подумаем, что изменится при наличии земного притяжения. Все тела падают в поле земного тяготения одинаково, поэтому относительное движение тел – движение второго тела относительно первого – будет таким же, как и в отсутствие тяготения. Поэтому это тело нужно бросить под тем же углом к горизонту, что и раньше:

Модуль скорости 0 уже не может быть произвольным: тела должны, по условию задачи, столкнуться в воздухе, то есть прежде, чем первое тело упадет на землю. Это, с учетом соотношения H gt 2 2, приводит к условию Откуда Итак, тяготение, определяющее траекторию движения тела относительно земли, оказывается несущественным при рассмотрении относительного движения двух тел, если, разумеется, они одновременно начинают падать в поле земного притяжения.

Без учета указанного обстоятельства решение задачи будет более громоздким. Обозначив высоту точки, где столкнутся тела, через h, имеем Теперь описанные выше физические закономерности движения нужно «выудить» из системы уравнений (3.3). Складывая первые два уравнения, находим H 0 sin t, что вместе с последним уравнением (3.3) дает формулу (3.1). Для получения неравенства (3.2) следует потребовать, чтобы время падения первого тела на землю 2 H g было меньше времени полета второго тела до встречи с первым, которое определяется из последнего уравнения (3.3):

При построении модели изучаемого явления широко используются аналогии. Однако следует всегда помнить, что аналогия между явлениями разной физической природы никогда не может быть полной. При всей внешней схожести этих явлений в каждом из них обязательно найдутся черты, которые не имеют аналога в другом явлении. Для иллюстрации этого положения рассмотрим пример.

Задача. Что покажет идеальный вольтметр, подключенный к точкам А и В металлического кольца, симметрично надетого на сердечник трансформатора? Дуга АВ составляет треть длины кольца (рис.3.2).

Напряжение на зажимах работающего источника тока определяется соотношением Ток в цепи равен Подставляя это значение в (3.4), находим U = 0.

Напряжение получилось равным нулю, то есть потенциалы точек А и В одинаковы. А это значит, что их можно даже соединить накоротко и никаких изменений в цепи не произойдет. Поэтому нуль покажет не только идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим собственным сопротивлением, но и любой включенный вольтметр.

А вот в исходной задаче, при всей внешней аналогии происходящих явлений, даже идеальный вольтметр даст ненулевые показания. Дело в том, что вольтметр со своими соединительными проводами, подключенный к точкам А и В кольца, образует дополнительный контур, в котором также разыгрывается явление электромагнитной индукции и возникает ЭДС. При этом показания вольтметра будут разными в зависимости от того, как расположены соединительные провода вольтметра, как показано на рис.3.4а или рис. 3.4б. Покажем это.

Вольтметр реагирует на проходящий через него ток в и проградуирован так, что показываемое им напряжение U в в Rв, где R в – сопротивление вольтметра. Будем считать вольтметр идеальным, чтобы идущий через него ток в был пренебрежимо мал по сравнению с током в кольце. Пусть он включен, как показано на рис.3.4а. В этом случае контур, состоящий из дуги АВ кольца и вольтметра, не охватывает сердечника трансформатора и, следовательно, ЭДС в нем равна нулю. Поэтому где R AВ – сопротивление дуги АВ кольца; очевидно, что R AВ R 3, если R – сопротивление проволоки, из которой свернуто кольцо.

Ток в кольце равен R, поэтому с помощью (3.5) для показания вольтметра находим Тот же результат получится, разумеется, если рассмотреть контур, состоящий из дуги ВСА кольца и вольтметра. Этот контур охватывает сердечник и действующая в нем ЭДС равна. Поэтому справедливо Так как RВСА R, то с помощью (3.7) получаем Если вольтметр включен как показано на рис.3.4б, то рассмотрев контур, образуемый дугой АВ и вольтметром, получим откуда Показания вольтметра выросли в два раза. Отметим, что полученные результаты справедливы именно для идеального вольтметра, ибо в противном случае уже нельзя считать одинаковыми токи в дугах АВ и ВСА.

Обратим внимание на то, что в рассмотренных случаях вольтметр показывает вовсе не разность потенциалов между точками А и В, которая равна нулю. Действительно, рассмотрев дугу АВ как «источник тока» с ЭДС АВ 3 и сопротивлением r RАВ R 3, получим для напряжения на его полюсах (точках А и В):

Причина такого поведения вольтметра в том, что в рассматриваемом случае он не представляет собой «однородного участка»: в проводах существует ЭДС, обусловленная явлением электромагнитной индукции. Этого, разумеется, нет в цепи, содержащей химические источники тока. Аналогия в рассмотренных случаях оказывается чисто формальной.

Происходящие физические явления разыгрываются совершенно по разному.

положительную роль, ибо именно она заставляет задуматься о сопоставлении рассмотренных явлений между собой. И именно это сопоставление позволяет глубже понять различие в физическом механизме происходящих процессов и разобраться в сути явлений.

При построении адекватной модели изучаемого явления необходим последовательный и полный учет соотношений между параметрами, определяющими физическую картину процесса.

Действующая на брусок внешняя сила не может сдвинуть его с места, пока модуль силы не превысит максимального значения силы трения покоя. Здесь изменение физической картины явления происходит скачком. Бывают случаи, когда физическая картина изменяется непрерывно при изменении значений соответствующих параметров. Рассмотрим пример.

Задача. Лучи солнечного света падают на заднюю стену через квадратное отверстие в передней стене (рис.3.5). Какова форма освещенного пятна?

Если для простоты считать, что стены перпендикулярны к направлению лучей света, то освещенное пятно повторит форму и размеры отверстия в первой стене, если стены расположены близко друг от друга, и имеет форму круга, если стены расположены далеко. Выясним, почему так происходит и что означает в данном случае «близко» и «далеко».

В действительности из-за конечности углового диаметра Солнца ( 0,01 рад) границы пятна на стене от краев отверстия будут размыты. Очевидно, что сформулированный результат справедлив, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна, то есть размеров отверстия. Ширина полутени d = L – расстояние между стенами. Итак, форма освещенного пятна повторяет форму отверстия при условии L d. При 0,01 это условие принимает вид L 100 d. При размере отверстия d = 10 см это дает L 10 м.

Если задняя стена расположена далеко от передней, то в первом приближении отверстие можно считать точечным. Его форма не играет роли, и все определяется конечным угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене – это как бы изображение Солнца в камере-обскуре. Оно представляет собой сечение плоскостью стены кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом при вершине, равным угловому диаметру Солнца (рис.3.7). Светлое пятно представляет собой круг диаметром d 1 = L.

С увеличением размеров отверстия освещенность пятна возрастает, но одновременно его края становятся более размытыми.

Очевидно, что это размытие d порядка размеров отверстия d.

Таким образом, если d d 1 = L, то есть L 100 d.

Теперь видно, что безразмерным параметром Г, которым определяется форма освещенного пятна, является отношение углового диаметра Солнца к угловому размеру отверстия d L, то есть углу, под которым отверстие видно от задней стены:

При Г 1 реализуется первый из рассмотренных случаев, при Г 1 – второй. Можно сказать, что свет от Солнца образует на задней стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение Солнца, когда стена далеко.

Отметим, что приведенное рассмотрение основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Необходимо оценить роль дифракционных эффектов, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в стене. Угол дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны к размеру отверстия d:

Дифракционные эффекты, очевидно, не влияют на форму освещенного пятна, если угол мал по сравнению с угловым размером Солнца : d. Взяв = 510–7 м, 0,01, находим, что дифракционные эффекты не играют роли, если размер d отверстия превышает d 510–5 м.

3.2. Основные ошибки, допускаемые при решении Неправильный, неадекватный выбор модели изучаемого физического явления приводит к неверному решению задачи.

Общих рецептов правильного выбора модели дать невозможно, необходимые навыки вырабатываются в процессе решения задач по мере накопления опыта. Однако можно выявить основные причины, приводящие к неправильному выбору модели и целенаправленно работать над их устранением.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача. На плоский конденсатор, выполненный в виде двух плоских параллельных металлических пластин, емкость которого равна С, надета металлическая коробка, как показано на рис.3.8. Найти электроемкость получившейся Задача легко решается, если просто нарисовать эквивалентную схему получившейся системы, показанную на рис.3.9. При указанных там расстояниях емкость системы С равна C C.

Однако часто встречаются попытки решить эту задачу путем следующих рассуждений. Предположим, что конденсатор заряжен до надевания металлической коробки. Очевидно, что электроемкость изменится в том случае, когда надевание коробки приведет к изменению заряда или разности потенциалов между пластинами конденсатора. Но в данном случае никакого изменения распределения зарядов не происходит, не должна меняться и разность потенциалов. Действительно, электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, снаружи его нет, если можно пренебречь краевым эффектом. Но тогда мы помещаем металлическую коробку в ту часть пространства, где электрического поля нет, поэтому никаких изменений в системе не должно происходить. Следовательно, электроемкость системы не изменяется.

В чем причина получения неверного ответа? Она заключается в неадекватном, вульгаризированном использовании понятия «электрическое поле». Фраза «снаружи конденсатора поля нет» – это жаргон, фраза не имеет физического смысла. Электрическое поле характеризуется потенциалом и напряженностью поля, связанными соотношением E. Поэтому при рассмотрении свойств электрического поля нужно указывать, как изменяются в пространстве (а в общем случае, и во времени) эти величины.

Это приводит к такому перераспределению зарядов, при котором выравниваются потенциалы соединяемых точек пространства.

Отметим, что фактической причиной, определяющей перераспределение зарядов, является краевой эффект. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, когда определенное обстоятельство (краевой эффект) может не учитываться при записи формул (формул емкости плоского конденсатора), но определяет всю качественную картину рассматриваемого явления.

Итак, при описанном выше решении допущены две ошибки в выборе модели. Во-первых, допущена физическая ошибка, когда предполагалось о возможности пренебрежения краевым эффектом.

Эту ошибку удалось бы выявить, если не была бы сделана вторая ошибка, заключающаяся в неадекватном использовании физического понятия «электрическое поле». Действительно, как видно из рис.3.10, напряженность поля вне конденсатора не может быть равна нулю во всех точках, так как должен быть непрерывный переход от А к В,. Вторая ошибка загнала рассуждения в тупик.

Таким образом, разобранный пример показывает, что допущенные физические ошибки, сделанные при оценке существенности тех или иных явлений, могут быть выявлены и исправлены при последующих рассуждениях. Гораздо более опасны ошибки, связанные с вульгаризацией используемых физических понятий. Поэтому очень важно с самого начала при обучении решению задач следить за «чистотой» физических понятий, используя в рассуждениях только строго определенные физические характеристики рассматриваемой системы. В рассмотренном примере строго определены физические понятия напряженности и потенциала электрического поля. Другими словами, о свойствах электрического поля следует говорить на языке его физических характеристик.

Для развития способности осуществлять эвристический подход к решению задач следует рассматривать как можно больше различных физических моделей при решении каждой задачи. При этом важно учиться доказывать несостоятельность той или иной модели, опираясь на ее анализ на основе адекватных системе физических характеристик. Особенно полезно сравнение моделей, которые описываются на языке различных физических понятий.

Именно здесь появляется возможность выявления неадекватных системе или вообще вульгаризированных понятий, использование которых приводит к неверным результатам.

Построение разных моделей одного и того же явления, использующих различные физические понятия, возможно, например, при решении задач на разных уровнях методологии.

Например, одну и ту же задачу из механики можно решать или используя законы динамики, или законы сохранения, или основывая рассуждения на методологических принципах физики.

Во всех случаях успех дела определяется корректным использованием физических понятий, характеризующих свойства изучаемой системы.

4.1. Законы сохранения энергии и импульса.

ущественное обстоятельство, связанное с уравнениями, выражающими физические законы сохранения, заключается в том, что эти уравнения представляют собой уравнения баланса сохраняющейся величины при определенном физическом процессе, причем для разных физических процессов эти уравнения могут иногда иметь одинаковый вид. Здесь физическое содержание конкретного явления вообще может быть скрыто и никак не проявляться в уравнении, отражающем физический закон сохранения. Например, уравнения закона сохранения импульса будут идентичными по виду в случаях, когда налетающая на шар пуля пробивает его насквозь и когда она отражается от шара. На практике это приводит к необходимости тщательного анализа физического смысла получаемых решений и отбора тех из них, которые соответствуют именно рассматриваемому процессу.

Здесь ярко проявляется высказанная Н.Бором идея о том, что физическая картина явления и его математическое описание дополнительны. Физика немыслима без математики и математических понятий, но не сводится к ним. Главное в физике – не формулы, а их интерпретация – понимание. Это диалектическое противоречие между физическим содержанием закона и его математической формулировкой наиболее отчетливо проявляется именно в законах сохранения. Именно здесь важно не допускать формализма в знаниях, ибо в данном случае такой формализм оказывает негативное влияние не только на понимание отдельных вопросов, но и на все вырабатываемое у школьника физическое мышление, сводя на нет практическую ценность полученных знаний.

Адекватное понимание законов сохранения и умение пользоваться ими часто позволяет не только проще решить какуюлибо задачу из известного раздела физики, но и взглянуть на конкретную физическую ситуацию с более общих позиций и, что особенно важно, часто дает возможность найти ответ на конкретные вопросы, касающиеся тех явлений, для которых нам не известны описывающие их конкретные законы. Рассмотрим пример.

Задача. Горизонтально летящая пуля массы m пробивает насквозь первоначально покоившийся шар массы М и вылетает со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Какая часть кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю Обозначив скорость пули до столкновения с шаром через, а приобретаемую шаром скорость через V, записываем закон сохранения энергии для данного случая:

где Q – приращение внутренней энергии системы, то есть выделяющееся при неупругом взаимодействии пули с шаром количество теплоты.

Скорость V можно найти с помощью закона сохранения импульса. Уравнение этого закона в проекции на горизонтальное направление записывается в виде:

Откуда Подставляя V из (4.3) в уравнение (4.1), получаем следующее выражение для Q:

Составляя отношение Q к начальной кинетической энергии пули E0 m 2 2, найдем Полученный результат требует исследования. На первый взгляд может показаться, что единственным ограничением является требование неотрицательности отношения Q E 0, что дает условие m M 3. Выберем отношение m M 2. Тогда формула (4.5) дает для Q E 0 значение 1/4. Казалось бы все в порядке, поскольку Q E получилось положительным и меньшим единицы. И тем не менее, этот результат не имеет смысла при приведенных в условии задачи данных. Действительно, посмотрим на формулу (4.3). Из нее следует, что при m M 2, V =: пробитый пулей насквозь шар летит со скоростью, вдвое превышающей скорость пули 2.

Получилась явная физическая бессмыслица. Уже в процессе решения задачи после получения формулы (4.3) следовало обратить внимание на то, что пробив шар насквозь, пуля может иметь скорость 2 только при выполнении условия 2 V, что сразу дает Только в совокупности с условием (4.6) формула (4.5) дает ответ на поставленный вопрос. Теперь ясно, что в зависимости от отношения масс m M во внутреннюю энергию может превратиться от половины (при т М) до трех четвертей (при m 0) первоначальной кинетической энергии.

Теперь задумаемся над вопросом, имеет ли какой-нибудь смысл формула (4.5) при 1 m M 3. Если m = М, из (4.3) следует V = 2 – шар и пуля имеют одинаковую скорость, то есть пуля застревает в шаре. Это случай абсолютно неупругого удара.

При выполнении строгого неравенства 1 m M 3 после столкновения шар летит впереди пули со скоростью V, определяемой формулой (4.3): 2 V 3 2. При таком неупругом ударе во внутреннюю энергию переходит до половины первоначальной кинетической энергии. Наконец, если m M = 3, то, как видно из (4.4), Q = 0, то есть тепло вообще не выделяется: при ударе сохраняется механическая энергия. Это случай абсолютно упругого удара.

Выше уже отмечалось, что, используя законы сохранения, очень многие физические задачи можно решить, не вникая в детали происходящих явлений. Часто бывает достаточно только «схватить суть» этих явлений и применить подходящие законы сохранения. В этом смысле весьма поучительна следующая задача.

Задача. На неподвижное идеальное плоское зеркало массой m нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженной от него волны, если энергия Точное динамическое решение этой задачи сопряжено с большими трудностями, так как энергия отраженной от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной.

Однако независимо от конкретного механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку зеркало по условию является идеальным, а рассматриваемая система – зеркало и световая волна –замкнутой.

Использование законов сохранения позволяет получить исчерпывающие ответы на поставленные в условии вопросы. Будем учитывать релятивистские эффекты, когда существенна зависимость массы тела от его скорости:

Энергия тела Е т связана с его массой соотношением: E т mc 2, а энергия электромагнитного поля Е связана с его импульсом формулой p E c, где с – скорость света в вакууме.

Обозначив энергию отраженной волны через Е 1, запишем закон сохранения энергии в виде:

Закон сохранения импульса записывается в следующем виде Исключая Е 1, из (4.7) 'л (4.8), находим Теперь для энергии отраженной волны Е 1 имеем Видно что энергия отраженной волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, ибо, пренебрегая единицей в знаменателе (4.10), мы только увеличиваем правую часть:

При E 0 m0 c 2 практически вся энергия волны передается зеркалу: при этом с, как видно из (4.9). В другом предельном случае E 0 m0 c 2 из (4.9) находим Из (4.10) при этом следует В этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему ничтожную часть своей энергии.

Подчеркнем, что все эти детали относительно результата взаимодействия волны с зеркалом выяснены без рассмотрения физического механизма взаимодействия электромагнитной волны с веществом зеркала.

4.2. Степень детализации физической модели.

Как уже отмечалось выше и как видно из последних рассмотренных примеров, использование законов сохранения при решении физических задач часто позволяет не вникать во все детали происходящих процессов – физическая модель явления не требует излишней детализации. Однако, уверовав во всемогущество фундаментальных законов физики, неверно было бы думать, что их можно эффективно применять без анализа сути происходящих явлений. Например, в задаче о шаре, пробиваемом пулей, действительно нет необходимости выяснять, например, как меняется действующая на шар или пулю сила в процессе пронизывания шара пулей. Такая информация нам потребовалась бы при динамическом решении этой задачи, то есть решении на первом уровне. Однако кое-какая информация о физической картине явления нам все-таки потребовалась: для отбора нужных решений пришлось в явном виде использовать условие, что скорость пробитого пулей шара меньше скорости этой пули.

Во втором рассмотренном примере нам не пришлось использовать ничего, кроме самих законов сохранения энергии и импульса. Так получилось потому, что в самом условии задачи была оговорена идеальность зеркала, что исключало необходимость рассмотрения каких-либо физических процессов, происходящих в самом зеркале. В реальном зеркале, например, электромагнитное излучение могло бы проникать в само зеркало, хотя бы на небольшую глубину. Умение почувствовать необходимую степень детализации физической модели явления при использовании фундаментальных законов сохранения как раз и представляет собой то главное, чему следует научиться для уверенного решения задач таким методом.

Покажем, как варьируется необходимая степень детализации физической модели явления при получении ответов на разные вопросы, относящиеся к одному и тому же процессу.

Задача. Найти длительность упругого удара при столкновении стержня с неподвижной недеформируемой стеной, на которую он налетает торцом (рис.4.1). Скорость стержня много меньше скорости распространения звука в нем.

рис.4.2а. Скорость всех частиц стержня в заштрихованной части равна нулю, в незаштрихованной – по-прежнему равна, граница заштрихованной части движется влево со скоростью и.

В тот момент времени, когда волна упругой деформации достигает левого свободного конца стержня, весь стержень окажется деформированным, а скорость всех его частиц обратится в нуль (рис.4,2б). Кинетическая энергия налетающего стержня при этом целиком превратится в потенциальную энергию упругой деформации. Теперь начинается второй этап столкновения, во время которого стержень возвращается в недеформированное состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, приближается к преграде. На рис.4.2в стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже недеформирована и все ее частицы имеют скорость, направленную влево. Граница заштрихованной области движется со скоростью и вправо.

Конец столкновения стержня с преградой наступает в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным. При этом все его частицы приобретут скорость, направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды и весь стержень движется влево со скоростью. Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию поступательного движения стержня.

Из изложенного ясно, что длительность упругого удара в рассматриваемом случае равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно:

где L – длина стержня.

Итак, для того, чтобы связать длительность удара с физическими параметрами стержня, потребовалось рассмотреть довольно подробную физическую картину происходящих при столкновении явлений. Однако пока что ответ имеет довольно низкую цену, ибо из приведенных рассуждений не видна действительная граница применимости полученного результата (4.2). Например, скорость звука в стали u = 5103 м/с, при = м/с отношение u 0,02 1. Будет ли ответ справедлив для стального стержня при такой скорости? Чтобы ответить на этот вопрос, придется подробнее рассмотреть упругие свойства стержня.

Рассмотрим стержень в момент времени t, соответствующий рис.4.2а. Длина l деформированной части стержня при этом равна l = ut. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину l = t, равную расстоянию, пройденному к этому моменту еще недеформированной частью стержня. На основании закона Гука для относительной деформации l l имеем где S – площадь поперечного сечения стержня, а F – сила, действующая на стержень со стороны стенки. Величина относительной деформации l l u одинакова во все моменты времени, пока стержень находится в контакте с преградой, поэтому сила F постоянна. Найти величину этой силы можно, воспользовавшись либо законом сохранения импульса, либо законом сохранения анергии. Начнем с закона сохранения импульса.

До контакта с перегородкой рассматриваемая часть стержня имела импульс, равный Su t, а в момент времени t ее импульс равен нулю. Поэтому Подставляя отсюда F Su в формулу (4.12), находим после чего с помощью (4.13) получаем Если исходить из энергетических соображений, то следует приравнять потенциальную энергию деформированной части пропорциональности между силой F и деформацией l, кинетической энергии, которой обладала эта часть стержня до остановки Su t 2 2. Поскольку из (4.12) следует то закон сохранения энергии приводит к равенству Отсюда опять получаем u E, что после подстановки в (4.12) приводит к формуле (4.15) для F. Отметим, что проведенный анализ позволяет выразить время удара через упругую характеристику стержня – модуль Юнга Е. Подставляя (4.14) в (4.11), имеем Приведенные в решении задачи соображения об упругой деформации стержня, очевидно, будут справедливыми, если возникающее в стержне при его деформации механическое напряжение F S не превысит предела упругости материала, из которого изготовлен стержень. Для стали, например, предел упругости Поэтому максимальная скорость стального стержня, при которой его соударение с преградой еще можно считать упругим, оказывается согласно формуле (4.17) равной всего 10 м/с. Таким образом, при = 100 м/с приведенное решение уже не имеет смысла, хотя u 1.

Разобранный пример наглядно иллюстрирует возможность разной степени детализации физической модели явления при необходимости получить ответы на различные вопросы. При этом выявление границ применимости полученного результата всегда требует более тщательного анализа, чем простое получение результата.

4.3. Законы сохранения при рассмотрении Примеры, рассмотренные в первом параграфе данной главы, уже относились не к чисто механическим явлениям. Однако в первой задаче теплопередача как таковая не играла существенной роли, поскольку существенным был только сам факт превращения кинетической энергии пули во внутреннюю энергию при взаимодействии с шаром. Во второй задаче электромагнитная сущность световой волны была выхолощена уже в условии задачи – все, что требовалось, это только связь между энергией и импульсом такой волны. Однако во многих явлениях приходится учитывать специфику происходящих немеханических процессов.

Закон сохранения энергии лежит в основе термодинамических методов анализа тепловых процессов. Здесь особенно впечатляющим является почти полное отсутствие детализации физической модели явления. Рассмотрим пример.

Задача. Стационарный поток идеального газа протекает через спиральную трубку (змеевик). На входе змеевика поддерживается постоянное давление р 1 и постоянная температура Т 1. На выходе поддерживается постоянное давление p 2 p 1 и измеряется температура Т 2. Какая работа совершается при прохождении через змеевик одного моля Требуется определить работу, которую совершают силы, действующие на проходящий через змеевик газ со стороны тех устройств, которые заставляют газ двигаться по трубе. Реальная конструкция этих устройств совершенно не существенна. Будем рассуждать следующим образом. Рассмотрим газ, заключенный между входным S 1 и выходным S 2 сечениями змеевика (рис.4.3).

Вследствие стационарности потока масса этого газа не меняется со временем – одна и та же масса газа m проходит за время t через входное и выходное сечение змеевика.

Пусть объем, занимаемый массой m на входе змеевика при давлении р 1 и температуре Т 1 равен V 1, а объем на выходе змеевика равен V 2. При прохождении массы m через входное сечение газ, находившийся между сечениями S 1 и S 2, передвинется в новое положение: идущая за ним порция газа действовала на него с силой F 1 = p 1 S 1, а идущий впереди газ оказывал сопротивление F 2 = p 2 S 2.

Поэтому работа внешних сил над газом, находившимся сначала между сечениями S 1 и S 2, дается выражением При прохождении через змеевик одного моля газа справедливо поэтому для работы А получаем Формально задача решена. Если Т 1 = Т 2, то работы не совершается; при Т 1 Т 2 работа А 0, в этом случае внешние силы «проталкивают» газ через змеевик. Наконец, при Т 1 T работа А 0 – газ сам совершает положительную работу над внешними телами. От чего же зависит значение температуры на выходе змеевика? Ответить на этот вопрос можно, рассмотрев теплообмен протекающего по змеевику газа с окружающей средой и воспользовавшись первым законом термодинамики.

Пусть теплообмен вообще отсутствует – змеевик адиабатически изолирован от окружающей среды. С помощью первого закона термодинамики в данном случае получаем A = U, так как Q = 0. Внутренняя энергия U идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, поэтому где С – молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Подставляя (4.19) и (4.21) в уравнение (4.20), получим при Поскольку С 0, то отсюда немедленно следует Т 1 = Т 2. Итак, в отсутствии теплообмена, то есть при адиабатическом прохождении газа через змеевик, из (4.19) следует, что А = 0.

Теперь не представляет труда убедиться, что при Q 0 (газ получает тепло) А 0 – совершенная над газом работа отрицательна. Действительно, подставляя в (4.20) выражения (4.19) и (4.21), получаем:

Поскольку (C + R) 0, то знак Т = Т 2 – Т 1 совпадает со знаком Q.

При Q 0 змеевик подобен тепловой машине – газ сам совершает работу над внешними телами.

Наконец при Q 0 (газ отдает тепло) Т 2 Т 1 и совершаемая над газом работа положительна: А 0. Полученный результат может показаться странным. Легко придумать такой опыт, в котором работа над газом совершается (А 0), а теплообмен с окружающей средой отсутствует (Q = 0). Так будет, например, при прокачивании компрессором газа через змеевик в вакуум, если теплоизолировать змеевик от окружающей среды. Однако ничего странного нет. Дело в том, что при использовании первого закона термодинамики в виде (4.20) считается, что в рассматриваемых процессах не происходит изменения механической энергии системы. Между тем, на выходе змеевика в вакуум возникает макроскопический направленный поток, кинетическую энергию которого необходимо учитывать в расчетах.

Строго говоря, уже и в приведенной задаче следовало учитывать кинетическую энергию направленных потоков газа на входе и выходе змеевика. Поэтому приведенное решение справедливо только при условии, что эта энергия мала по сравнению с внутренней энергией газа. В этом смысле более реалистична такая задача.

Задача. Какую скорость имеет струя газа, вырывающаяся из небольшого отверстия в стенке баллона со сжатым газом?

Температура и давление газа в баллоне имеют значения Истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток, если размер отверстия существенно превышает длину свободного пробега молекул в баллоне. С другой стороны, отверстие не должно быть слишком большим, чтобы процесс истечения газа можно было считать стационарным.

Все рассуждения можно провести так же, как и при решении предыдущей задачи. При учете кинетической энергии Е к потока газа уравнение закона сохранения энергии записывается в виде При достаточно быстром истечении газа из отверстия процесс, происходящий с выделенной частью газа, можно приближенно считать адиабатическим: Q = 0. Выражения для А и U при прохождении молей газа аналогично (4.19) и (4.21) имеют вид (4.25) Наконец, изменение кинетической энергии Е к равно где – молярная масса газа, 1 и 2 – скорости струи газа в рассматриваемых сечениях 1 и 2. Теперь уравнение (4.24) переписывается следующим образом Сечения 1 и 2 в струе газа были выбраны произвольно.

Поэтому из (4.26) следует, что величина (C R) T 2 2 имеет одно и то же значение вдоль всей струи. Поскольку внутри баллона, где струя зарождается, скорость направленного движения практически равна нулю, то Видно, что для определения скорости струи 1 нужно знать температуру Т 1 газа в струе. Ее можно найти, рассматривая уравнение адиабатического процесса. Однако для оценки 1 можно положить Т 1 = 0, поскольку при расширении газа в вакуум давление газа в струе падает до нуля и, следовательно, должна приближаться к нулю и его температура:

Разобранные примеры иллюстрируют использование закона сохранения энергии при решении задач о тепловых процессах.

Весьма эффективным является использование этого закона и при изучении электромагнитных явлений. Здесь особое внимание следует обратить на ситуации, когда действие электрического тока не сводится только к выделению теплоты, а совершается механическая работа (электромотор), происходят химические изменения в системе (зарядка аккумулятора) и т.д. Рассмотрим пример.

Задача. Электромотор, якорь которого имеет сопротивление R, включен в сеть постоянного тока с напряжением U. При этом груз Р поднимается вверх со скоростью посредством невесомой нити, намотанной на ось мотора. С какой скоростью будет опускаться этот же груз, если во внешней цепи произойдет замыкание, в результате которого обмотка якоря окажется закороченной? Якорь электромотора находится в магнитном поле, создаваемом магнитом. Трением в подшипниках пренебречь.

Все решение этой задачи сводится к применению закона сохранения энергии в двух реализующихся ситуациях – подъему и спуску груза. С подъемом дело обстоит довольно просто:

потребляемая от сети мощность, равная U, идет на нагревание обмотки якоря и подъем груза. Обозначив развиваемую мотором механическую мощность через N м, имеем N м = PU, поскольку при равномерном подъеме груза сила натяжения нити равна Р. В результате закон сохранения энергии приводит к равенству:

откуда для силы тока в цепи имеем Два значения тока получилось потому, что любую механическую мощность N м = P, меньшую U 2 4 R, можно, как следует из (4.27), получить при двух значениях тока. Данных условия задачи недостаточно для того, чтобы отдать предпочтение одному из двух возможных значений. Однако, если предположить, что мотор работает в режиме, обеспечивающем более высокий коэффициент полезного действия, то из корней (4.28) следует выбрать меньший.

Теперь рассмотрим процессы, происходящие при спуске груза. Прежде всего следует понять, почему даже в отсутствии трения в подшипниках устанавливается какая-то определенная скорость спуска. Ведь если просто отключить мотор от сети, то груз будет раскручивать якорь и опускаться равноускоренно. Дело в том, что в рассматриваемом случае электрическая цепь оказывается замкнутой, но так, что напряжение на мотор не подается. В результате при опускании груза мотор работает как замкнутый накоротко генератор постоянного тока. При вращении якоря в магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом, в его обмотке идет ток. Поэтому скорость опускания груза будет увеличиваться только до тех пор, пока действующий на якорь мотора механический момент со стороны груза не будет уравновешен моментом сил, действующих на якорь с током со стороны магнитного поля индуктора.

Момент механических сил, действующих на якорь, одинаков при подъеме и спуске, так как и подъем, и спуск происходят равномерно, а груз один и тот же. Магнитное поле индуктора постоянно по условию задачи, поэтому и ток в цепи якоря будет одинаковым при установившихся подъеме и спуске – сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна току. По существу, выяснение того обстоятельства, что ток в якоре одинаков и при подъеме, и при спуске груза, – это единственная детализация физической модели рассматриваемых процессов, которая необходима при решении этой задачи.

При опускании груза убыль его потенциальной энергии равна количеству теплоты, выделяющейся в обмотке якоря при прохождении тока, поэтому С учетом (4.29) равенство (4.27) принимает вид откуда, используя выражение для (4.28), получаем Интересно отметить, что первое слагаемое в правой части (4.31) представляет собой скорость 0 холостого хода мотора, то есть скорость подъема нити без груза:

Убедиться в этом можно следующим образом. ЭДС индукции, возникающая в обмотке якоря мотора, пропорциональна скорости вращения якоря, то есть скорости движения нити, намотанной на ось мотора:

Используя выражение (4.33), запишем уравнение закона Ома для трех режимов работы мотора – при подъеме груза, при спуске груза с короткозамкнутым якорем и на холостом ходу:

Вычитая второе и третье уравнение из первого, найдем Сравнивая формулы (4.31) и (4.34), убеждаемся в справедливости равенства (4.32).

Наряду с законом сохранения энергии и импульса (последний может эффективно использоваться при рассмотрении движения заряженных частиц в электромагнитном поле), при изучении электромагнитных явлений и процессов весьма полезным оказывается закон сохранения заряда. Во многих задачах он используется неявно, однако именно неявное целенаправленное его использование часто позволяет упростить решение задачи.

Рассмотрим пример.

Задача. Собрана электрическая цепь, схема которой показана на рис.4.4. При каких значениях параметров элементов цепи переключение ключа из положения А в положение В не приведет к изменению напряжения на конденсаторе С 1 ?

написать уравнения, связывающие напряжения на конденсаторах U 1, U 2 и U 3 с ЭДС источников. Получится два независимых уравнения. Третье независимое уравнение можно получить с помощью закона сохранения электрического заряда, который в рассматриваемом случае сводится к условию электронейтральности соединенных между собой обкладок конденсаторов, не имеющих контакта с полюсами источников. Эта электронейтральная система обкладок обведена штриховой линией на рис.4.4. При решении задачи указанным способом придется выполнить в целом простые, но довольно громоздкие алгебраические преобразования.

Однако задачу можно решить, не проводя деятельного расчета, изменив рассуждения таким образом, чтобы закон сохранения электрического заряда фигурировал бы не только при составлении одного из трех необходимых уравнений, а составлял основу всех делаемых утверждений. Действительно, предположим, что напряжение U 1 на конденсаторе С 1 не меняется при переключении ключа из А в В. В этом случае при обоих положениях ключа справедливо равенство:

(4.35) Из (4.35) следует, что при переключении не меняется и напряжение U 2 на втором конденсаторе, а значит, не меняются и заряды на обоих конденсаторах. Но тогда не должен меняться и заряд третьего конденсатора, так как алгебраическая сумма зарядов на трех соединенных между собой обкладках конденсатором равна нулю. Следовательно, не изменится напряжение U 3 на третьем конденсаторе. Но после подключения ключа U 3 = U 2, так как теперь конденсаторы С 2 и С 3 соединены параллельно. Значит, и до переключения U 3 = U 2, а это возможно только, если потенциалы точек А и В одинаковы, то есть если 2 = 0.

Законы сохранения в физике являются следствием определенной симметрии мира физических явлений. Однако конкретное применение методологического принципа симметрии и применение законов сохранения в явном виде обладают своими специфическими чертами, что позволяет, вообще говоря, различать подходы к решению физической задачи на каждом из этих уровней.

Рассуждения на уровне методологического принципа симметрии обладают большей общностью, ибо позволяют использовать определенную физическую симметрию в том случае, когда учащимся неизвестна сохраняющаяся благодаря этой симметрии физическая величина. Кроме того, использование принципа симметрии, как правило, позволяет еще больше упростить или свести на нет необходимые математические выкладки. Здесь происходит дальнейшая редукция математического аппарата.

еально существующее материальное единство мира, которое в физике проявляется в общности исходных структурных единиц материи на уровне микрочастиц и в небольшом числе фундаментальных взаимодействий, теоретически обобщается на основе принципов, регулирующих дальнейшее развитие науки и обучение ее основам. Учащихся необходимо учить применять общий подход, основанный на методологических принципах, для достижения достоверных результатов при решении задач из любого раздела физики.

5.1. Принцип симметрии.

Симметрию (дословно – соразмерность) древнегреческие философы рассматривали как частный случай гармонии – согласования частей в рамках единого целого. В рамках физической методологии симметрия – вид соразмерности законов. В более общем смысле наука определяет симметрию: с одной стороны – как вид отношений между двумя объектами, которые характеризуются как моментами тождества, так и моментами различия; с другой стороны – как закон строения структурных объектов, точнее, как группы допустимых преобразований элементов, сохраняющих качественную целостность изучаемых систем.

В физике принято выделять две формы симметрии и асимметрии – геометрическую и динамическую. К ним Е.Вигнер добавляет в качестве третьей формы симметрию перекрестных отношений. Симметрии, выражающие свойства пространства и времени, относят к геометрической форме симметрии. Примерами геометрический симметрий являются однородность пространства и времени, изотропность пространства, эквивалентность инерциальных систем отсчета. Симметрии, непосредственно не связанные со свойствами пространства и времени и выражающие свойства определенных физических взаимодействий, относят к динамической форме симметрии. Примером динамической симметрии является симметрия электрического заряда. Любая геометрическая симметрия связана с движением и взаимодействием материальных объектов, а любая динамическая времени.

Между уровнями физической методологии существует взаимосвязь. В содержание каждого физического закона сохранения входит та или иная симметрия. Законы сохранения связаны не только с геометрическими симметриями, но и с динамическими. Симметрия пространства и времени связана с фундаментальными законами сохранения: закон сохранения энергии – с однородностью времени, закон сохранения импульса – с однородностью пространства, закон сохранения момента импульса – с изотропностью пространства. Высшим проявлением свойств симметрии пространства и времени является принцип относительности – эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. По ряду причин методического характера на этот принцип стоит обратить особое внимание, что и будет сделано в отдельном параграфе.

Переход с одной ступени на другую, более высокую – от явлений к законам, от законов к симметриям или принципам инвариантности – характеризует степень нашего знания об окружающем мире. Это в свою очередь оказывает решающее влияние на разработку методов решения исследовательских задач как теоретических, так и прикладных, среди которых важная роль принадлежит задачам, перешедшим в разряд учебных.

Использование подмеченной симметрии часто позволяет сразу, из общих соображений получить правильную качественную, а иногда и количественную картину рассматриваемого в задаче явления. При этом важно, чтобы учащиеся не отделывались общими словами, делая, например, какие-либо утверждения «из соображений симметрии», а действительно демонстрировали инвариантность определенных характеристик системы относительно преобразований, допускаемых соображениями пример.

Задача. Горизонтальная подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиуса r с угловой скоростью.

установившееся движение монеты?

В горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в лабораторной системе отсчета. От начальных условий может зависеть только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством – отсутствием выделенных направлений – не обладает. Итак, из соображений симметрии можно сделать вывод, что установившееся движение монеты в лабораторной системе отсчета происходит по окружности с той же угловой скоростью, с которой движется подставка.

Соображения симметрии позволяют также сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, также движется по окружности. Сделанные выводы не совсем очевидны.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от _200 г. № Регистрационный номер _ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ по направлению подготовки 4 М -ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА Квалификация (степень) магистр 1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Направление подготовки Прикладные математика и физика утверждено приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от...»

«574 12-Оптика. Лазеры. Материалы оптоэлектроники Васильев Александр Валерьевич, аспирант 3 года Томский Государственный Университет, химический Нелинейно-оптические свойства растворов порфиринов Адрес: г. Томск, Ново-Соборная 1, 634050 Телефон: (3822) 53-34-26 стр. 579 E-Mail: vaval@mail2000.ru Воронина Эллина Ивановна, старший преподаватель Новороссийский политехнический институт КубГТУ, Экологии и технологии энергоносителей Дифференциальное поглощение молекул йода на длинах волн Nd-YAG лазера...»

«Структура и динамика молекулярных систем. Яльчик 2006. 3 УДК 612.816 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА РАЗЛИЧНОГО ВЛИЯНИЯ БЛОКАТОРА ОТКРЫТЫХ КАНАЛОВ НА ПАРАМЕТРЫ ТОКОВ, ВЫЗВАННЫХ ВЫСОКОЙ И НИЗКОЙ КОНЦЕНТРАЦИЯМИ АГОНИСТА Абдуллин А.Р., Скоринкин А.И. Казанский институт биохимии и биофизики КазНЦ РАН Казанский государственный университет В реальных условиях холинэргической синаптической передачи концентрация ацетилхолина на несколько сотен микросекунд локально возрастает до величин порядка сотен мкмоль....»

«Проект История Петербургского университета в виртуальном пространствеhttp://history.museums.spbu.ru/ Проект История Петербургского университета в виртуальном пространствеhttp://history.museums.spbu.ru/ А.Е. Грищенко, И.В. Комаров, А.А. Штейнберг ПЕРВЫЙ В РОССИИ к столетию Физического института Санкт-Петербургского университета 4 С.-Петербург 2002 Проект История Петербургского университета в виртуальном пространствеhttp://history.museums.spbu.ru/ А.Е. Грищенко, 14.В. Комаров, А.А. Штейнберг....»

«1 Программы подготовки бакалавров по направлению 210400 “Радиотехника” Профили: Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов, Аудиовизуальная техника, Бытовая радиоэлектронная аппаратура, Радиоэлектронные системы, Радиофизика Содержание № наименование Стр. История 1.1.01 3 Философия 1.1.02 20 Иностранный язык 1.1.03 Экономика и организация производства 1.1.04 Культурология 1.2.01 Правоведение 1.2.02 Политология 1.2.03 Социология 1.2.04 Мировые цивилизации, философии и...»

«АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ НЕФТЯНОЕ ТОВАРОВЕДЕНИЕ Учебная дисциплина Нефтяное товароведение читается на 2-м курсе студентам, обучающимся по направлению 080200.62 Менеджмент. В дисциплине рассматривается место и значение нефтяного товароведения в общей теории товароведения. Дисциплина Нефтяное товароведение относится к математическому и естественнонаучному циклу дисциплин по выбору Б2.В.ДВ.3. Целью дисциплины Нефтяное товароведение является - сформировать совокупность знаний и практических...»

«Н.В. Комарова Я.С. Каменцев ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СИСТЕМ КАПИЛЛЯРНОГО ЭЛЕКТРОФОРЕЗА КАПЕЛЬ Санкт-Петербург 2008 УДК 615.844.6 Оглавление ББК 24.46 П69 Предисловие Список принятых терминов и сокращений Комарова Н. В., Каменцев Я. С. Практическое руководство по использованию систем капиллярного электрофореза КАПЕЛЬ — СПб.: ООО Веда, 2006. — 212 с. Тираж 2000 экз. (доп. тираж) Введение Глава 1. Физико-химические основы метода капиллярного электрофореза Книга представляет собой...»

«Александр Иванович Попов Человек на Луне? Какие доказательства? Аннотация В начале ХХ-го века мир захватила гонка за покорение полюсов Земли. Особенно не давался смельчакам Северный полюс. И вот американский путешественник Р. Пири доложил, что он 6 апреля 1909 года достиг Северного полюса. Американские СМИ и научные круги прославляли это выдающееся достижение. На самом же деле Пири перезимовал на севере Гренландии. Дотошные исследователи заподозрили обман по представленным фотографиям, а позже,...»

«Книга Фритьоф Нансен. Фрам в полярном море скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Фрам в полярном море Фритьоф Нансен 2 Книга Фритьоф Нансен. Фрам в полярном море скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга Фритьоф Нансен. Фрам в полярном море скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Фритьоф Нансен Фрам в полярном море Книга Фритьоф Нансен. Фрам в полярном море скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Олехнович, К. И. Рудик ФИЗИКА В 5-ти частях Часть 4 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Учебное электронное издание Минск 2011 УДК [53+537.8](075.8) ББК [22.3+22.313]я73 О-53 Рассмотрено и рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом университета Рецензенты: профессор кафедры физики БГПУ им. Максима Танка В. А. Яковенко; кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой физики БГАТУ В. А. Чернявский Олехнович,...»

«sf_history Евгений Красницкий c4505aaf-cb08-102b-946f-f03f69515cd7 Внук сотника Что произойдет, если в далеком прошлом окажется не десантник-спецназовец, способный пачками повергать супостатов голыми руками, не химик-физик-инженер, готовый пришпорить технический прогресс на страх врагам и на радость себе любимому, а обычный в общем-то человек, имеющий за душой только знание теории управления да достаточно богатый жизненный опыт? Что будет, если он окажется в теле не князя, не богатыря, а...»

«П. Л. КАПИЦА ЭКСПЕРИМЕНТ ТЕОРИЯ ПРАКТИКА НАУКА МИРОВОЗЗРЕНИЕ ЖИЗНЬ Редакционная коллегия: академик П, Н. ФЕДОСЕЕВ (председатель) академик Е. П. ВЕЛИХОВ академик Ю. А. ОВЧИННИКОВ академик А. В, СИДОРЕНКО академик Г. К. СКРЯБИН академик А. Л. ЯНШИН Е. С. ЛИХТЕНШТЕЙН {ученый секретарь) АКАДЕМИЯ НАУК СССР П. Л. КАПИЦА ЭКСПЕРИМЕНТ ТЕОРИЯ ПРАКТИКА Статьи, выступления Издание третье, дополненное МОСКВА НАУКА ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22.3 К...»

«Системы автономного и резервного газоснабжения справочное руководство 2009 Санкт-Петербург автономное и резервное газоснабжение Содержание От составителей Потребление сжиженного углеводородного газа (СУГ) в последние годы Глава 1. Введение неуклонно возрастает как в России, так и во всем мире. Все чаще пропанГлава 2. Основные физико-химические законы бутановые смеси применяются в каи соотношения честве эффективной альтернативы традиционным источникам энергии: Глава 3. Горючие газы. Режимы...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Г.С. Евтушенко, Ф.А. Губарев КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2009 УДК 621.383 ББК Евтушенко Г.С., Губарев Ф.А. Квантовая и оптическая электроника: практикум / Г.С. Евтушенко,...»

«Издания, отобранные экспертами для Института геофизики УрО РАН (июль-август 2009) Дата Издательство Оценка Издание Группа Институт Эксперт ISBN Ингеров, О., Юдин, М.Н., Юдин, О.М. Современные методы измерения, обработки и интерпретации электромагнитных данных / [О. Ингеров, М. Н. Юдин, О. М. Юдин и др.]; под ред. Приобрести В. В. Спичака ; Центр электромагнит. ISBN Демежко для исслед. Ин-та физики Земли им. О. Ю. Науки о Земле. 978-5Институт Дмитрий 24/7/2009 URSS библиотеки Шмидта РАН, Секция...»

«Васильцов Артем Сергеевич СРЕДСТВА ОЧИСТКИ И КОНТРОЛЯ ВНУТРЕННИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РЕЗЕРВУАРОВ МЕТОДОМ УГЛЕКИСЛОТНОГО БЛАСТИНГА Специальность 05.11.13 – Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Красноярск – 2011 Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет (г. Красноярск) Научный...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 004.415.2+378:001.891 Коды ГРНТИ: 50.49.37, 50.41.25 УТВЕРЖДАЮ Проректор по НИД Тверского государственного университета д.т.н., Каплунов И.А. _ июля 2013 г. М.П. ОТЧЕТ По программе стратегического развития федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего...»

«Глава 4 ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКА Электроразведка (электрическая, или точнее электромагнитная разведка) объединяет физические методы исследования геосфер Земли, поисков и разведки полезных ископаемых, основанные на изучении электромагнитных полей, существующих в Земле в силу естественных космических, атмосферных или физико-химических процессов или созданных искусственно. Электромагнитные поля могут быть: 1) установившимися, т.е. существующими свыше 1 с, постоянными и переменными (гармоническими или...»

«Волгоградский государственный технический университет Совет СНТО _ ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ смотра-конкурса научных, конструкторских и технологических работ студентов Волгоградского государственного технического университета Волгоград, 14 – 17 мая 2013 г. Волгоград 2013 УДК 6(043.2) + 3(043.2) Редакционная коллегия: В. И. Лысак, чл.-корр. РАН, первый проректор – проректор по НР (отв. редактор); И. А. Плешаков, кандидат физико-математический наук, доцент (секретарь); Р. В. Брунилин, кандидат химических...»

«ДЕТЕКТОРЫ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ Гребенщиков В.В., СПбГТУ, кафедра Экспериментальной ядерной физики [Rev.PrB – 04/2002] Электронная версия статьи подготовлена фирмой АВТЭКС Санкт-Петербург, http://www.autex.spb.ru, E-mail: info@autex.spb.ru ДЕТЕКТОРЫ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ СОДЕРЖАНИЕ 1. Сцинтилляционные детекторы электромагнитного излучения 1.1. Сцинтилляционные блоки детектирования на основе фотоэлектронных умножителей. 1.2. Сцинтилляционные детекторы с полупроводниковыми фотоприемниками 2....»





Загрузка...



 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.