WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 ||

«Сборник задач по алгебре Часть 3. Текстовые задачи. Элементы высшей математики В помощь учащимся 10–11-х классов Москва 2009 УДК 512(076) ББК 22.143я7 С23 Сборник задач ...»

-- [ Страница 2 ] --

4.69. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 мин до звонка, а если вернётся за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке?

4.70. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч.

Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?

2) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

4.71. Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Определить скорость мотоциклиста.

4.72. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер.

При этом катер за каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее катера. Найти скорость парохода в стоячей воде.

4.73. Из пункта А в пункт В против течения реки вышла моторная лодка. В пути сломался мотор, и пока его 20 мин чинили, лодку снесло вниз по реке. Определить, на сколько часов позднее лодка прибыла в пункт В, если обычно путь из А в В лодка проходит в полтора раза дольше, чем путь из В в А.

4.74. Из пункта А вниз по реке отплыл плот. Через 1 ч вслед за ним вышел катер, догнал плот и вернулся обратно, затратив на весь путь 24 мин. Найдите скорость катера в спокойной воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

4.75. Из пункта А вниз по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта В вышел катер, встретил плот и вернулся обратно, затратив на весь путь 50 минут. Найдите скорость катера в спокойной воде, если известно, что расстояние от А до В по реке составляет 10 км, а скорость течения реки равна 4 км/ч.

4.76. Два электропоезда отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 112 км, и встречаются через 56 мин. Продолжая движение с той же скоростью, поезд, вышедший из А, приходит в В на 15 минут раньше, чем другой поезд приходит в А. Какова скорость каждого поезда?

4.77. Две точки движутся с постоянной скоростью по окружности длиной 1 м. При движении в противоположных направлениях они встречаются через каждые 2 с. При движении в одном направлении из одной точки одна точка настигает другую через 6 с.

Найти их скорости.

4.78. Из города А в город В выехала машина, а через 5 ч выехала другая машина из В в А. Они встретились через 4 ч после выезда машины из В. Предполагая скорости машин постоянными, найти время каждой из них в пути, если прибыли они в пункты назначения одновременно.

4.79. В начальный момент времени мышка находится посередине между кошкой и норкой. Начав движение одновременно с мышкой в сторону норки, кошка настигла бы ее через 2 с. Однако мышка начала движение на 3 с раньше кошки, при этом они одновременно достигли норки. За какое время мышка достигла норки, если скорости ее и кошки считать постоянными?

4.80. Два абитуриента одновременно и по одному маршруту вышли из главного здания университета и из здания подготовительных курсов навстречу друг другу. После того, как они встретились, один дошел за 9 мин до здания курсов, а другой за 16 мин до главного здания (T t). Определить время в пути для каждого, считая их скорости постоянными.

4.81. Из двух городов, расстояние между которыми 135 км, навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, при этом скорость одного из них на 25% больше скорости другого. Через 3 ч они находились на расстоянии 27 км друг от друга. Найти скорости велосипедистов.

4.82. Расстояние АВ пассажирский поезд проходит за 2 ч, а электричка – за 3 ч. Из А в В вышел пассажирский поезд, одновременно из В в А – электричка. Через какое время после встречи поездов электричка прибудет в А?

4.83. Одновременно пешеход выходит из А, а велосипедист выезжает из В навстречу пешеходу. Встречаются они через 12 мин и продолжают движение. Велосипедист приезжает в А на 18 мин раньше, чем пешеход приходит в В. Сколько времени затратит на дорогу каждый из них?

4.84. Пароход идет из пункта А в пункт В за двое суток, обратно – в течение 3 суток. Определить, сколько времени будет плыть плот из А в В.

4.85. Пароход от Нижнего Новгорода до Астрахани идёт 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

4.86. Расстояние между городами 840 км. Одновременно выходят навстречу друг другу два поезда и встречаются через 6 ч. Если бы один поезд вышел на 1,75 ч раньше, то поезда встретились бы через 5 ч после выхода другого поезда. Найти скорости обоих поездов.

4.87. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был проехать за 5 ч. Первые два часа он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 5 км/ч и поэтому в конечный пункт приехал на 15 мин раньше, чем предполагалось. Найти первоначальную скорость автомобиля.

4.88. Колонна войск протяжением 2 км движется по шоссе маршем со скоростью 3 км/ч. Конный вестовой выезжает из конца колонны в начало, передает приказ и тотчас же возвращается обратно. На проезд туда и обратно вестовой тратит 30 минут. Определить скорость вестового, если на всем пути она была одинакова.

4.89. Пассажир, следующий из города А в город В, половину затраченного на весь путь времени ехал на автобусе, а половину времени на автомашине. Если бы он весь путь от А до В проехал на автобусе, то это заняло бы у него в полтора раза больше времени.

Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В автомашина, чем автобус?

4.90. Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

4.91. Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?

4.92. После встречи двух пароходов один из них пошел на юг, а другой – на запад. Через 2 ч после их встречи расстояние между ними было 60 км. Найти скорость каждого парохода, если скорость одного на 6 км/ч больше скорости другого.

4.93. Три бегуна – Антон, Серёжа и Толя – участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в 10 м позади от него, когда финишировал Серёжа, то Толя находился в 10 м позади от Серёжи. На каком расстоянии находились Антон и Толя, когда финишировал Антон? (Все мальчики бегут с постоянными, но не равными друг другу скоростями.) 4.94. Из А в В одновременно отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист, доехав до В, повернул обратно и встретил пешехода через 3 ч после отправления их из А. Если бы пешеход вышел из А на 4 ч раньше велосипедиста, то они добрались бы до В одновременно. Считая их скорости постоянными, найти время, необходимое велосипедисту на путь от А до В.

4.95. Из пункта А в пункт В вышел пешеход, через 1 ч в том же направлении из пункта А выехал велосипедист, а через 3 ч – автомобиль. Сначала пешехода догнал велосипедист, а еще через час – автомобиль. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если велосипедисту потребовалось на него 8 ч, а автомобилю 3 ч?

4.96. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешеход. Когда первый пешеход прошел четверть пути от А до В, второму до середины пути оставалось идти 1,5 км, а когда второй пешеход прошел половину пути от В до А, первый находился на расстоянии 2 км от второго. Найти расстояние от А до В, если известно, что второй пешеход шел быстрее первого.

4.97. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В. Когда первый проехал треть пути, второму оставалось до середины пути ехать 2,5 км. Когда второй проехал половину пути, первый отставал от него на 3 км. Найди те расстояние от А до В.

4.98. Велосипедист едет по шоссе. Через каждые 4,5 км его обгоняет рейсовый автобус, а каждые 9 мин мимо него проезжает встречный автобус. С какой скоростью едет велосипедист, если известно, что интервал движения автобусов (в обоих направлениях) равен 12 мин?

4.99. Пешеход идет по обочине дороги со скоростью 5 км/ч.

Каждые 27 мин его обгоняет рейсовый автобус, а через каждые 1,8 км мимо проезжает встречный автобус. Найдите интервал движения автобусов, если известно, что он одинаков в обоих направлениях.

4.100. Из пункта А в пункт В выехал грузовик. Через 1 ч из пункта А выехал легковой автомобиль. Через 2 ч после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт В на 3 ч раньше грузовика.

Сколько времени грузовик ехал от А до В?

4.101. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Спустя 3 ч из пункта А в пункт В отправился мотоциклист. После обгона велосипедиста он за 1 ч достиг пункта В. При этом он опередил велосипедиста на 1,5 ч. Сколько времени ехал велосипедист?

4.102. Из одного пункта выходят три дороги под углом 120° друг к другу. Одновременно из него выходят три пешехода с постоянными скоростями, образующими арифметическую прогрессию. Через 2 ч расстояние между самым медленным и самым быстрым пешеходами равнялось 2 76 км, а между самым медленным и третьим пешеходом – 2 61 км. Найти скорости пешеходов.

4.103. Из вершины правильной треугольной пирамиды с плоским углом 60° при вершине одновременно начинают движение вдоль боковых ребер три точки с постоянными скоростями, образующими арифметическую прогрессию. Вычислить скорости движения точек, если известно, что через три секунды после начала движения расстояние между самой быстрой и самой медленной точкой равнялось 3 37 см, а расстояние между самой быстрой и третьей точкой равнялось 3 39 см.

4.104. Из одного пункта выходят две дороги под углом 60° друг к другу. Сначала по одной из них выходит первый пешеход, а через 1 ч по другой дороге – второй пешеход. Их скорости постоянны.

Через два часа после выхода второго пешехода расстояние между ними равнялось 73 км, а еще через 1 ч – 12 км. Найти скорости пешеходов.

4.105. По двум дорогам, угол между которыми равен 45°, два пешехода начинают движение одновременно по направлению к точке пересечения дорог. Их скорости постоянны. В начальный момент расстояние между пешеходами равнялось 17 км, а через час 10 км. Найти скорость пешеходов, если известно, что один пешеход достиг точки пресечения дорог за 4 ч, а второй – за 5 ч.

4.106. Два мотоциклиста одновременно выезжают из пунктов А и В один навстречу другому. После приезда в А и В соответственно они без остановки поворачивают и едут обратно. Первая встреча произошла в 30 км от А, а вторая встреча через 1 ч 12 мин после первой. Найти скорость мотоциклиста, выехавшего из А.

4.107. Из А в В выехал велосипедист, а навстречу ему из В в А выбежал бегун и вышел пешеход. Отношение времен до встречи велосипедиста с бегуном и пешеходом равно 5:6. Известно, что бегун пробежал весь путь за 4 ч, а велосипедист проехал весь путь за 2 ч. За какое время прошел этот путь пешеход?

4.108. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист каждый километр пути проходил на 5 мин быстрее второго. Первый, пройдя пятую часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 мин, снова пошел в В. При этом оба туриста в В пришли одновременно. Каково расстояние от А до В, если второй турист прошел его за 2,5 ч?

4.109. Из А в В выехали в разное время по одному и тому же шоссе грузовик и автобус. Скорость автобуса на 12 км/ч больше скорости грузовика. Они прибили в В одновременною. За 2,5 ч до их прибытия в В навстречу им из В выехал мотоцикл, который встретил грузовик на 10 мин раньше, чем автобус. Найти скорость грузовика, если скорость мотоцикла вдвое больше скорости грузовика.

4.110. Из города D в город Е с интервалом в 10 мин отправились три рейсовых автобуса. Первый автобус шел со скоростью на 5 км/ч меньше положенной, второй автобус сохранял положенную скорость, а третий автобус превышал ее на 6 км/ч. В результате все три автобуса пришли в Е одновременно. Определить расстояние между городами D и Е.

4.111. Группа туристов должна была прибыть на вокзал в 5 ч. К этому времени с турбазы за ними должен был прийти автобус. Однако, прибыв на вокзал в 3 ч 10 мин, туристы пошли пешком на турбазу. Встретив на дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 20 мин раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?

4.112. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 мин раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

4.113. Коля Васин гулял после школы 5 ч. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч — при спуске с горы. Какое расстояние прошел Коля Васин?

4.114. Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из A в B, другой – из B в A. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, пришли: один – в B в 4 ч вечера, а другой – в A в 9 ч вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

4.115. Средняя скорость победителя автомобильных гонок оказалась на 20 км/ч выше средней скорости автомобиля, занявшего последнее место. Если бы последний участник преодолевал каждый километр на 1 с быстрее, то он сократил бы разрыв от времени победителя вдвое. Найти скорость победителя.

4.116. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?

4.117. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, пешеход был на расстоянии 10 км впереди них. В тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист отставал от них на 5 км.

На сколько километров мотоциклист будет обгонять пешехода в тот момент, когда пешехода настигнет велосипедист?

4.118. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два автомобиля, а через 1 ч вслед за ними выезжает третий. Еще через 1 ч расстояние между третьим и первым автомобилями уменьшилось в полтора раза, а между третьим и вторым – в два раза. Во сколько раз скорость первого автомобиля больше скорости второго? (Известно, что третий автомобиль не обогнал первых двух.) 4.119. Расстояние между двумя городами А и В пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее товарного. Если бы каждый поезд шел со своей скоростью то время, которое тратит на путь от А до В другой поезд, то пассажирский поезд прошел бы на 280 км больше, чем товарный. Если бы скорость каждого поезда была увеличена на 10 км/ч, то пассажирский поезд прошел бы расстояние от А до В на 2 ч 24 мин быстрее, чем товарный. Найти расстояние от А до В.

4.120. Всадник отправился из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 80 км. Его лошадь шла 5 ч рысью и 4 ч шагом. На обратном пути лошадь шла рысью n полных часов, а шагом на 2 ч больше, чем рысью. Определить скорость движения лошади рысью и скорость движения шагом.

4.121. В центре квадратного бассейна находится мальчик, а в вершине на берегу стоит учительница. Максимальная скорость мальчика в воде в три раза меньше максимальной скорости учительницы на суше. Учительница плавать не умеет, а на берегу мальчик бегает быстрее учительницы. Сможет ли мальчик убежать?

4.122. В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошел учитель. Учитель не умеет плавать, но ходит в раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

4.123. Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 ч. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7 ч 20 мин. Через 1 ч после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8 ч 30 мин. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.

4.124. Из пункта А в пункт В можно доехать тремя маршрутами: или через пункт С, или через пункт D, или напрямую, минуя промежуточные пункты. Известны расстояния АВ = 80 км, АС = =40 км, AD = 30 км, СВ = 60 км, DB = 100 км. Известно, что пункты А и В, А и С, А и D связывают грунтовые дороги, а пункты С и В, D и В – шоссейные дороги. Скорость на шоссе на 40 км/ч больше, чем на грунтовой дороге. Какой маршрут следует выбрать, чтобы скорейшим образом добраться из пункта А в пункт В, если скорость на грунтовой дороге более 15 км/ч, но не превышает 30 км/ч?

4.125. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В – 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если скорость туриста по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

5.1. Найти два двузначных натуральных числа таких, что их сумма равна 26, а сумма квадрата первого числа и умноженного на 36 второго числа равна 621.

5.2. Найти два двузначных натуральных числа таких, что их сумма равна 31, а сумма умноженного на 41 первого числа и квадрата второго числа равна 857.

5.3. Найти два двузначных натуральных числа таких, что второе число на 8 меньше первого, а квадрат первого числа на больше умноженного на 33 второго числа.

5.4. Одно из чисел меньше другого в 4 раза. Найти большее число, если их среднее арифметическое равно 15.

5.5. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найти эти числа.

5.6. Задуманы два числа. После увеличения вдвое одного из чисел, их сумма составила 31. Вслед за тем увеличили втрое второе число, в результате чего сумма двух новых чисел составила 45. Какие числа были задуманы?

5.7. Сумма двух чисел равна 20, их произведение равно 96.

Найти эти числа.

5.8. Сумма двух чисел равна 24. Найти меньшее из чисел, если 35% одного из них равно 85% другого.

5.9. Найдите двузначное число, зная, что число единиц искомого числа на 2 больше числа его десятков, а произведение этого числа на сумму его цифр равно 144.

5.10. Число десятков некоторого двузначного положительного числа на единицу больше числа единиц. Произведение этого числа на число, образованное перестановкой цифр, равно 2430. Найти данное число.

5.11. Дано двузначное натуральное число, у которого число десятков на 5 меньше числа единиц, а произведение суммы цифр на число десятков равно 18. Найти это число.

5.12. Дано двузначное натуральное число, у которого число единиц на 3 меньше числа десятков, а произведение цифр на больше удвоенного числа его десятков. Найти это число.

5.13. Дано двузначное натуральное число, у которого число десятков на единицу больше числа единиц, а произведение его цифр на 45 больше утроенного числа его десятков. Найти это число.

5.14. Дано двузначное натуральное число, у которого число единиц на 1 больше числа десятков. Известно, что сумма квадратов его цифр в 5 раз больше увеличенного на 2 числа его десятков.

Найти это число.

5.15. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если цифры этого числа переставить, то получится число, составляющее 4/7 первоначального. Найти число.

5.16. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти это число.

5.17. Разность цифр, из которого состоит двузначное число, равна 1. Если из самого числа вычесть произведение цифр, то получится 26. Найти это число.

5.18. Сумма цифр натурального двузначного числа равна 13, а разность между самим числом и произведением цифр равна 25.

Найти это число.

5.19. Разность между самим двузначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, равна 63. Найти это число.

5.20. Найти двузначное число, которое в 8 раз больше суммы его цифр.

5.21. Найти двузначное число, если известно, что оно в 5 раз больше суммы его цифр и в 2,25 раза превышает произведение его цифр.

5.22. Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа равна 65. Если к этому числу прибавить 27, то получится число, которое записывается теми же цифрами, что и первоначальное, но в обратном порядке. Найти это число.

5.23. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в раза больше произведения своих цифр. Найти это число.

5.24. Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?

5.25. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. Если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первоначальное число. Найти это число.

5.26. Найти двузначное натуральное число, у которого число единиц на 2 больше числа десятков, если при делении этого натурального числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 5.

5.27. Найти двузначное натуральное число, у которого число десятков на два больше числа единиц, если при делении этого натурального числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16.

5.28. Если квадрат разности цифр двузначного числа поделить на это число, то получится 3 и 7 в остатке. Если же из 300 % от квадрата разности цифр заданного числа вычесть удвоенное заданное число, то получится 154. Найдите двузначное число.

5.29. Если натуральное двузначное число разделить на сумму цифр, то в частном получится 7 и 6 в остатке. А если это число разделить на произведение цифр, то в частном будет 5 и 2 в остатке.

Найти это число.

5.30. При делении двузначного числа на произведение его цифр получается 1 и в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найти это число.

5.31. Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. Найти это двузначное число.

5.32. Даны два двузначных числа, из которых второе обозначено теми же цифрами, что и первое, но написанными в обратном порядке. Частное от деления первого числа на второе равно 1,75.

Произведение первого числа на цифру его десятков в 3,5 раза больше второго числа. Найти эти числа.

5.33. Найдите двузначное число, если оно в 2 раза больше произведения его цифр. Если переставить цифры этого числа в обратном порядке, то отношение полученного числа и данного будет равно 7.

5.34. Найдите сумму трех чисел, если известно, что первое число составляет 0,4 второго, второе составляет 0,5 третьего, а сумма первого и третьего равна 24.

5.35. Среднее арифметическое двух положительных чисел больше их среднего геометрического на 11. Найти большее из этих чисел, если их отношение равно 1 : 4.

5.36. Найти пять последовательных чисел, если известно, что сумма квадратов трех первых равна сумме квадратов двух последних.

5.37. Найти два натуральных числа, сумма которых равна 85, а наименьшее общее кратное равно 102.

5.38. Найти два натуральных числа, разность которых равна 66, а наименьшее общее кратное равно 360.

5.39. Среднее геометрическое двух чисел на 12 больше меньшего из них, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из них. Найти эти числа.

5.40. Найти два таких числа, чтобы их сумма, произведение и разность квадратов были равны.

5.41. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45.

5.42. Найти все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное которых равно 105.

5.43. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

5.44. Если к задуманному двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 54 раза. Какое число задумано?

5.45. Сумма цифр натурального трехзначного числа равна 14, а цифра сотен этого числа на одну единицу меньше цифры десятков.

Если в этом числе поменять местами цифры сотен и единиц, то разность между полученным и исходным числом будет равна 396.

Найдите исходное число.

5.46. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести влево, т.е. поместить вначале, то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального. Найти первоначальное число.

5.47. Если из трехзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, получится 297. Цифра десятков этого числа есть среднее геометрическое цифр его сотен и единиц. Найти это трехзначное число.

5.48. Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на больше первоначального. Найти это число.

5.49. Искомое число больше 400 и меньше 500. Найти его, если сумма его цифр равна 9 и оно равно 47 числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

5.50. Сумма цифр трехзначного числа равна 11, а сумма квадратов цифр этого числа равна 45. Если от искомого числа отнять 198, то получается число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти это число.

5.51. Числитель некоторой дроби на 3 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной величиной, то получится 149.

Найти исходную дробь и перевести ее в десятичную.

5.52. Числитель несократимой дроби на 3 меньше, чем знаменатель. Если эту дробь умножить на 2 и прибавить обратную дробь, то получится 57. Найти эту дробь.

5.53. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя.

Если из числителя и знаменателя вычесть по 1, то дробь уменьшится на 1. Найти эту дробь.

5.54. Знаменатель несократимой дроби на 4 больше числителя.

Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на 1. Найти эту дробь.

5.55. Однозначное число увеличивается на 10. Если теперь полученное число увеличить на столько же процентов, как и в первый раз, то получится 72. Найти это однозначное число.

5.56. Известно, что сумма двух чисел равна 1244. Если в конце обозначения первого числа приписать цифру 3, а в конце обозначения второго числа отбросить цифру 2, то образуются два равных числа. Найти большее из этих чисел.

5.57. Сумма двух трехзначных чисел, написанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найти наибольшее из этих чисел, если сумма цифр каждого из них равна 14, а сумма квадратов цифр равна 84.

5.58. Ученик при умножении двух положительных чисел, из которых одно на 94 больше другого, ошибся, уменьшив в произведении число десятков на 4. При делении ошибочного произведения на больший из множителей он получил в частном 52, а в остатке 107. Найти наименьшее из перемножаемых чисел.

5.59. Четырехзначное натуральное число А оканчивается цифрой 1. Двузначное число, образованное цифрами в разряде тысяч и сотен, цифра десятков и цифра единиц числа А в указанном порядке представляют три последовательных члена арифметической прогрессии. Из всех чисел А, удовлетворяющих указанным условиям, найти то, у которого разность между цифрой десятков и цифрой сотен имеет наименьшее возможное значение.

5.60. Цифры некоторого трехзначного числа составляют геометрическую прогрессию. Если в этом числе поменять местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное число будет на меньше искомого. Если же в искомом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе переставить его цифры, то новое двузначное число будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого числа. Найти это число.

5.61. Определить целое положительное число по следующим данным: если его записать цифрами и присоединить справа цифру 4, то получится число, делящееся без остатка на число, большее искомого на 4, а в частном получится число, меньшее делителя на 27.

5.62. Сколько существует четырехзначных чисел, делящихся нацело на 15, у которых сумма квадратов цифр не превосходит 26?

5.63. Сколько существует четырехзначных чисел, делящихся нацело на 45, у которых сумма квадратов цифр не превосходит 35?

5.64. Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли задуманное число. В окончательном результате получили нуль. Какое число задумано?

5.65. Имеются три положительных двузначных числа, обладающих следующим свойством: каждое число равно неполному квадрату суммы своих цифр. Требуется найти два из них, зная, что второе число на 50 единиц больше первого.

5.66. Определить год рождения одного из основоположников науки нового времени, если известно, что сумма цифр его года рождения равна 21, а если к году рождения прибавить 5355, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

5.67. Было задано целое число. Требовалось увеличить его на 200 000 и полученное число утроить. Вместо этого приписали к цифровой записи заданного числа справа цифру 2 и получили правильный результат. Какое число было задано?

5.68. Сумма всех четных двузначных чисел разделилась на одно из них без остатка. Полученное частное отличается от делителя только порядком цифр, а сумма его цифр равна 9. Какое двузначное число являлось делителем?

5.69. Найти два двузначных числа А и В по следующим условиям. Если число А написать впереди записи числа В и полученное четырехзначное число разделить на число В, то в частном получится 121. Если же число В написать впереди числа А и полученное четырехзначное число разделить на А, то в частном получится 84 и в остатке 14.

5.70. Найти два двузначных числа, обладающих следующим свойством. Если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним меньшее число, а к меньшему числу приписать справа большее число и затем нуль, то из полученных таким образом двух пятизначных чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72.

5.71. Доказать, что куб наибольшего из трех последовательных натуральных чисел не может быть равен сумме кубов двух других чисел.

5.72. Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.

5.73. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.

6.1. Булка стоила 7 руб. Ее цена повысилась на 20 %. Какое наибольшее количество булок можно купить на 50 руб. после повышения цены?

6.2. Мяч стоил 300 руб. Его цена понизилась на 30 %. Какое наибольшее количество мячей можно купить на 2000 руб.?

6.3. В летнем детском саду на каждого ребенка полагается 60 г сахара в день. В лагере 215 детей. Какое наименьшее количество килограммовых пачек сахара достаточно для всех детей на неделю?

6.4. В итоговой контрольной работе по математике задач по геометрии должно быть от одной четверти до одной трети общего числа задач. Сколько задач по геометрии следует включить в работу, которая состоит из 14 задач?

6.5. Летом килограмм клубники стоит 90 руб. Мама купила 1 кг 500 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с руб.?

6.6. Строительная фирма планирует приобрести 75 м3 пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

По- Стоимость Стоимость Дополнительные условия ставщи пеноблоков доставки, руб.

6.7. Строительная фирма планирует приобрести 1470 м2 гипсокартона у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

По- Стоимость Стоимость Дополнительные условия ставщи гипсокартона, доставки, руб.

6.8. Для строительства коттеджа планируется приобрести 35 м бруса у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Постав- Стоимость Стоимость Дополнительные условия 6.9. Одна тетрадь и три блокнота стоят столько же, сколько три альбома. Две тетради, один блокнот и два альбома стоят 200 руб.

Шесть тетрадей на 90 руб. дороже стоимости набора, состоящего из одного блокнота и одного альбома. Определите цены тетради, блокнота и альбома.

6.10. В овощном магазине 2 кг лука и 1 кг чеснока на 60 руб.

дороже 2 кг картофеля; 2 кг картофеля, 1 кг лука и 1 кг чеснока стоят 80 руб.; 6 кг картофеля и 1 кг лука стоят столько же, сколько стоят 2 кг чеснока. Определите цену 1 кг каждого овоща (картофеля, лука и чеснока).

6.11. Магазин продает наборы, состоящие из одинаковых альбомов, кисточек и блокнотов. Набор из 4 альбомов, 17 кисточек и 20 блокнотов стоит 712 руб., а набор из 6 альбомов, 11 кисточек и блокнота стоит 343 руб. Сколько стоит набор, состоящий из 1 кисточки и 2 блокнотов?

6.12. В магазине 2 кг яблок, 4 кг клубники и 6 кг груш стоят руб.; 1 кг яблок, 6 кг клубники и 9кг груш стоят 1050 руб. Сколько стоит набор, состоящий из 2 кг клубники и 3 кг груш?

6.13. Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами по 60 ящиков в каждой, при этом в 21 ящике были груши, а в остальных яблоки. Сколько ящиков с грушами было в каждой машине, если известно, что в первой машине на один ящик с грушами приходилось в три раза больше ящиков с яблоками, чем во второй?

6.14. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый. На мишени обнаружено 40 пробоин. Сколько раз попал каждый, если известно, что у первого стрелка на один неудачный выстрел приходилось в раз больше удачных выстрелов, чем у второго стрелка?

6.15. Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляет ровно 95 % от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки ровно на 23 % от числа машин, производимых на первом заводе, и стал их выпускать более штук. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода.

6.16. Мастер делает книжные шкафы. Затраты на производство складываются из постоянной месячной арендной платы и расходов на сырьё, пропорциональных количеству сделанных шкафов. В мае мастер сделал 19 шкафов и затраты на производство составили 53000 руб. В июне мастер сделал 12 шкафов и затраты на производство составили 39000 руб. В июле мастером было сделано шкафов. Каковы были затраты на производство в июле?

6.17. Двум детским садам для приобретения комплектов игрушек было выделено по 8400 руб. Первый детский сад купил на один комплект игрушек больше другого, так как каждый комплект, купленный этим детсадом, стоил на 200 руб. дешевле. Сколько комплектов игрушек купил каждый детский сад?

6.18. B двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей.

Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее, чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?

6.19. В двух бригадах более 27 человек рабочих. Число рабочих в первой бригаде более чем вдвое превышает число рабочих во второй бригаде, уменьшенное на 12. Число рабочих во второй бригаде более чем в 9 раз превышает число рабочих в первой бригаде, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде?

6.20. 10 кг картофеля, 15 кг свеклы, 10 кг моркови и 14 кг капусты вместе стоят 1056 руб.; а 15 кг картофеля, 6 кг свеклы, 4 кг моркови и 21 кг капусты – 1100 руб. Какова общая цена 20 кг картофеля, 12 кг свеклы, 8 кг моркови и 28 кг капусты?

6.21. Пакет из 5 акций акционерного общества А, 7 акций а/о В, 3 акций а/о С и 4 акций а/о D стоит 57 000 руб., а пакет в из 8 акций а/о А, 2 акций а/о В, 4 акций а/о С и 3 акций а/о D стоит 51 000 руб.

Сколько стоит пакет из 2 акций а/о А, 12 акций а/о В, 2 акций а/о С и 5 акций а/о D?

6.22. Ученику прислали задание из 20 задач. За каждую верно решённую задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решённую задачу минус 5 баллов, за задачу, которую он не брался решать, 0 баллов. Сколько задач он брался решать, если в итоге он набрал 13 баллов?

6.23. Купил Роман раков, вчера – мелких, по цене 51 руб. за штуку, а сегодня – по 99, но очень крупных. Всего на раков он истратил 25200 руб., из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 16 до 20 руб. Определить, сколько купил раков Роман вчера и сколько сегодня.

6.24. В каждом классе средней школы одинаковое число парт.

Во время ремонта парты со второго этажа увозили на грузовике по 5 штук, а в последний рейс осталось 2 парты. С третьего этажа парты увозили на другом грузовике по 7 штук, а в последний рейс осталось 4 парты. Второй грузовик сделал на 1 рейс больше, чем первый. Сколько парт было в каждом классе (это число больше 1)?

6.25. В упаковочном цехе конфеты из одинаковых контейнеров перекладывают в коробки одинаковой емкости. Первый упаковщик разложил все конфеты из 3 контейнеров, причем для заполнения последней коробки ему не хватило 5 конфет. Второй упаковщик перекладывал конфеты из 6 контейнеров, 7 конфет отложил, а остальными без остатка заполнил некоторое количество коробок. Сколько конфет в каждой коробке (это число больше 1)?

6.26. Детский сад хочет приобрести на сумму 13200 руб.

наборы конфет. Наборы по 50 конфет стоят 300 руб., наборы другого типа по 190 конфет стоят 1040 руб., а наборы из 160 конфет стоят 900 руб. Сколько наборов каждого типа должен купить детский сад, чтобы общее количество купленных конфет было максимальным?

6.27. Из лесного хозяйства в город нужно вывезти 1590 деревьев. Для перевозки деревьев имеются полуторатонные, трехтонные и пятитонные машины. На полуторатонке за один рейс можно вывезти 26 деревьев, а трехтонке –– 45 деревьев, а на пятитонке – 75 деревьев за один рейс. Стоимость одного рейса для полуторатонки равна 9 у.е., для трехтонки – 15 у.е., а для пятитонки – 24 у. е. Как лесное хозяйство должно распределить перевозки, чтобы их стоимость была наименьшей (недогруз машин не допускается)?

6.28. Между городами А и В летают самолеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего типа может принять на борт, соответственно, 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и контейнеров. Все самолеты этой линии могут принять на борт пассажиров и 88 контейнеров. Общее число самолетов на этой линии не более восьми. Найти число самолетов каждого типа.

5.29. Завод имеет сборочные линии трех типов. На каждой линии первого, второго и третьего типа ежедневно собираются 100, 400 и 30 приемников первого класса и 19, 69 и 5 приемников высшего класса, соответственно. В сумме на всех линиях ежедневно собирается 1030 приемников первого класса и 181 приемник высшего класса. Сколько линий каждого типа на заводе, если их общее число не превосходит 10?

6.30. Бригада маляров белила потолки в двух комнатах.

Площадь потолка в первой комнате в три раза больше, чем во второй, и в первой комнате работало на 6 человек больше. Когда побелка потолка в первой комнате была закончена, во второй комнате еще работали. Какое наибольшее число маляров могло быть в бригаде, если все они начали работать одновременно и работали с одинаковой производительностью?

6.31. При отделке квартир в новом доме используются три типа оконных рам, поставляемых в комплектах (в каждом комплекте некоторое количество рам одного типа). На стройку привезли по одному комплекту рам первого и второго типа и 4 комплекта третьего типа. Оказалось, что количество окон в доме на 2 больше, чем общее количество рам в этих комплектах. Если бы завезли комплекта рам первого типа и один третьего, то 85 окон оказалось бы без рам. Если поставить 4 комплекта второго типа и один третьего, то не хватило бы 53 рамы. Известно, что какое-то количество окон останется без рам, если поставить по 3 комплекта рам каждого типа. Сколько окон в доме?

6.32. B киоске продаются три вида наборов игрушек: деревянные, пластиковые и мягкие. Детский сад купил по одному набору деревянных и пластиковых игрушек и 4 набора мягких. При этом каждый ребенок получил по одной игрушке. Если бы было куплено 4 набора деревянных и один набор мягких игрушек, то 57 детям игрушек не досталось бы, а если бы купили 4 набора пластиковых и один набор мягких игрушек, то 41 ребенок остался бы без игрушки. Сколько детей в детском саду, если, купив по 3 набора игрушек каждого вида, сад обеспечил бы всех детей игрушками?

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Вычисление производных проводят по правилам дифференцирования с использованием производных элементарных функций.

Напомним их.

Правила дифференцирования. Пусть с – постоянная (или константа), а f(x) и g(x) – функции, имеющие производные, тогда:

1) (с) = 0 – производная константы равна нулю;

2) ( f(x) g(x)) = f (x) g(x) – производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) производных;

3) (сf(x)) = c f (x) – постоянный множитель можно вынести за знак производной;

4) ( f(x)g(x)) = f (x) g(x) + g(x) f(x) – производная произведения;

двух функций;

6) ( f(g(x))) = f (g(x)) g (x) – производная сложной функции.

Производные основных элементарных функций:

2) (ах) = axlna, a 0, в частности: (ех) = ех;

4) (sinx) = cosx; (cosx) = –sinx;

Найти производные.

7) f(x) = 2x – 4x – 5;

1.3. 1) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4;

6) f(x) = cos3;

8) f(x) = (x – 4)tgx;

Найти производные.

1.10. 1) f(x) = sin2x; 2) f(x) = cos2x;

12) f(x) = (2 + x) sinx;

22) f(x) = tg(x2 – 1);

24) f(x) = ctg(1 – 3x – x2).

5) f(x) = x2log3x;

13) f(x) = ln(x2 + 2x);

Выписать производные функций, считая а, b, c, d – параметрами (числами), а х, у, z, t – переменными (аргументами функций).

1.26. f(x) = 2sinx + cos2x – 2cos2x tgx.

1.32. f(x) = sinx cos2x + cosx sin2x – xcos3x.

1.46. g ( x) sin 3 x 3x cos x arctg(b 2 1).

1.53. f(x) = ctg(1 + cos2x).

1.63. f(x) = (x2 – 2x + 2)ex.

1.69. f(x) = xlnx – x + 3.

1.72. f(x) = log2(x2 – x + 1) + log1/2(x2 – x + 1) + 3sin(lnx).

1.74. f(x) = logx2 + log2x.

1.80. f(x) = log3cosx.

Выписать производную в заданной точке (точках) х0.

1.85. f(x) = x2 – 2x в точках пересечения с осями.

1.86. f(х) = 1 + cos2х в точках пересечения с осями.

1.87. f(х) = х3 – 2х2 + х в точках пересечения с осями.

1.88. f(х) = 4 – х2 в точках пересечения с осями.

1.89. f(х) = х2 – 9 в точках пересечения с осями.

1.90. f(х) = х2 в точках пересечения с графиком у = 6х –9.

1.91. f(х) = х3 в точках пересечения с графиком у = х.

Выписать производные функций, считая а, b, c, d – параметрами (числами), а х, у, z, t – переменными (аргументами функций).

1.104. f(x) = (2x – 1) sin2x + 2x cos2x.

Касательная к графику функции. Невертикальная прямая на плоскости 0ху может быть задана уравнением где k = tg – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси 0х (абсцисс), а (х0; у0) – координаты точки плоскости, через которую проходит прямая.

Касательная к графику функции у = f(х) в точке графика (х0; у0), т.е. у0 = f(х0), задается уравнением Подчеркнем, что здесь точка (х0; у0) – точка на графике у = f(х), следовательно, у0 = f(х0).

Сравнивая эти уравнения, получаем геометрический смысл производной функции в точке х0 – это угловой коэффициент касательной к графику в точке (х0; f(х0)).

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости 0ху:

При решении задач бывает также полезна формула для расстояния d от заданной точки М0 (х0; у0) до прямой l: у = kx + b. Вот эта формула:

Острый угол между прямыми l1 и l2 находится по формуле тангенса разности двух углов:

Составить уравнение касательной к графику функции или уравнения в заданной точке или точках.

2.1. f(x) = x3, х0 = 0, 1, 10.

2.2. f(x) = x2 – 3х, х0 = 0,, 3, 5.

2.7. f(x) = (x2 – 2х + 2)ех, х0 = 1, –1, 0.

2.8. f(x) = tgx, х0 = 0,,.

2.9. f(x) = ln(x + 1), х0 = 0, 1, е –1.

2.10. f(x) = cos2x, х0 = 0, 1,, –.

2.11. f(x) = x – 3x – 1 в точке М (–2; –3).

2.15. f(x) = еcos2x, х0 =.

2.16. f(х) = 0,5xln(2x – 3), x0 = 2.

2.17. f(x) = x2ln(3 – x), х0 = 2.

Составить уравнения касательной к графику в точках его пересечения с осями координат.

2.19. f(х) = 2х – х2 в точках пересечения с осью 0х.

2.20. f(х) = 8х3 – 1 в точках пересечения с осями 0х и 0у.

2.21. f(х) = х2 – 3х + 2 в точках пересечения с осью 0х.

2.22. f(х) = sinх, x ; в точках пересечения с осью 0х.

2.23. f(х) = lnх в точке пересечения с осью 0х.

2.24. f(х) = 2sinx – 2 в точках пересечения с осями 0х и 0у.

Определить угол, который составляет с осью 0х касательная к графику, проведенная в заданной точке.

2.26. f(х) = х + 3х + 2 в точках пересечения с осями 0х и 0у.

Составить уравнения касательной к графику, параллельной заданной прямой.

2.27. f(х) = –х2 – 2, касательная параллельна прямой у = 4х + 1, Найти длину отрезка, отсекаемого этой касательной от 0у.

2.28. f(х) = х2, касательная параллельна прямой у = 2х + 5, перпендикулярна этой прямой.

2.29. f(х) = х3 – х2, касательная параллельна прямой у = 8х.

2.30. f(х) = е2х – 1 + 2х, касательная параллельна прямой у = 4х + 1.

2.31. f(х) = х2 – ln(2х –1), касательная параллельна прямой у = = 2х –3.

Определить, является ли заданная прямая касательной к графику функции, если да, то указать точку касания.

2.37. Написать уравнения всех касательных к окружности х2 + у2 = 9, проходящих через точку (5; 0).

2.38. Написать уравнения всех касательных к графику у = х2 – – 2х + 7, параллельных у = х.

2.39. Найти расстояние между касательными к графику у, образующими угол 45 с положительным направлением оси 0х.

2.40. Написать уравнение всех касательных к графику у = х2 – –3х + 1, проходящих через точку М (2; –2).

2.41. Написать уравнение всех касательных к графику у = х, проходящих через точку М 2;. Найти площадь треугольника, образованного этими касательными и секущей, проходящей через точки касания.

2.42. Написать уравнение всех касательных к окружности (х – 5)2 + (у – 4)2 = 4, проходящих через точку М (10; 6).

2.43. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки А(–2; 1) на касательную к графику у = 3х3 – 6х + 10 в точке х0 = 1.

2.44. Определить, при каких а прямая у = 10х + 1 является касах 2.45. Найти уравнение параболы у = ах2 + bx + 2, касающейся прямой у = 7х + 3 в точке М (1; 6).

2.46. Определить, при каком значении а касательная к параболе у = ах2 + х – 3 в точке х0 = 1 параллельна прямой у = 2х + 1.

2.47. Прямая у = – 3хln2 – 5 является касательной к графику f(х) = 4х – 62х + хln2. Найти координаты точки касания.

2.48. Определить, при каком значении а прямая у = 4х + а являx 2 x 2.49. Определить, при каком значении а прямая у = ах является касательной к графику у = ех–1 – 3х.

2.50. Определить, при каком значении а (а 0) кривая у = аlnх имеет одну общую точку с графиком у = 2х2.

2.51. Определить, при каком значении b прямая у = 3х + b является касательной к графику у х.

2.52. Определить, при каком значении а прямая у = ах + 2 является касательной к графику у = lnх.

2.53. Определить, при каком значении с прямая у = 3х – 2 является касательной к графику у = х2 + ах + 2.

2.54. Определить, при каком значении р прямая у = х + 1 является касательной к графику у = х2 + рх + 2.

2.55. Найти уравнение параболы у = х2 + bx + с, касающейся прямой у = х + 1 в точке М (1; 2).

2.56. На графике уравнения log3(y – 1) + log3(3 – x) = 1 найти точку, расстояние от которой до прямой у 3 х 3 будет наименьшим.

2.57. Из начала координат к параболе у = х2 – 2х + 2 проведены две касательные. Найти площадь треугольника с вершинами в точках касания и начале координат.

2.3. Задачи на применение производной Точка х0 D( f ) называется критической точкой функции у=f(x), если в этой точке производная f (х) равна нулю или не существует.

Найти критические точки функций.

Найти критические точки функций.

Найти производные и критические точки функций.

2) у = (4х2 – 1)3/2 – 8х3 + 6ах2 – 1;

8) у = х(2а + lnx) + ax(lnx)2;

3.6. При каких значениях а уравнение f (х) = 0 имеет на отрезке 12 ; 3 ровно два корня, если 3.7. При каких значениях а уравнение f (х) = 0 имеет на отрезке 73 6 ; 12 ровно два корня, если Точка х0 D(f) называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех х D(f) из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) f(x0) ( f(x) f(x0) соответственно). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая в точке х0 функция f(x) имеет в этой точке экстремум, то f '(x0) = 0.

Достаточное условие экстремума: если при переходе через критическую точку х0 производная функции f(x) меняет знак с « + »

на «–», то х0 – точка максимума; если производная меняет знак с «–»на « + », то х0 – точка минимума этой функции; если производная знака не меняет, то х0 не является точкой экстремума.

Напомним, что если на интервале (а, b) выполняется неравенство f'(x) 0, то функция f(x) возрастает на (а, b), а если f '(x) 0 – убывает на этом интервале.

4.1. Найти точки экстремума функций.

4.2. Найти экстремумы функций.

4.3. Найти экстремумы функций.

4.4. Найти экстремумы функций.

4.5. Найти точки максимумов и минимумов функций.

4.6. Найти точки максимумов и минимумов функций.

4.7. Найти промежутки возрастания и убывания функций.

4.8. При каких значениях параметра р функция монотонно убывает на своей области определения?

4.9. При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой оси и не имеет критически точек, если:

1) у = sin2x – 8(a + 1)sinx + (4a2 + 8a – 10)x;

2) y = 8ax – asin6x – 7x – sin5x?

4.10. При каких значениях параметра функция убывает на всей числовой оси и не имеет критических точек, если:

1) sin2x – 8(b + 2)cosx – (4b2 + 16b + 6)x;

2) y = asin4x – 10x + sin7x + 4ax?

2.5. Нахождение наибольшего или наименьшего Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

5.1. 1) у = –х4 + 2х2 + 3 на отрезке [–2; 2];

2) у = 2х3 – 3х2 + 12х – 2 на отрезке [–2; 1];

3) у = 3х3 – 9х2 + 3 на отрезке [–1; 1];

5) у = 2х3 – 9х2 + 12х на отрезке [0; 3];

6) у = х2(х – 2) на отрезке [1; 2];

7) у = 2х3 – 3х2 – 36х + 10 на отрезке [–5; 4];

10) у = 4х4 – 2х2 – 5 на отрезке [0; 2].

5.2. 1) у 2 х х на отрезке [0; 9];

5.3. 1) у на отрезке [1; 6];

5.4. 1) y 100 x 2 на отрезке [–6; 8];

3) у = 233х – 422х + 23х на отрезке [–1; 1].

5.6. 1) y = sinx + cos2x на отрезке [0; ];

5.7. 1) у = –х2 + 7|x| – 12 на отрезке [–4; 3];

5.8. Найти наибольшее значение функций.

5.9. Найти наибольшее значение функций.

5.10. Найти:

1) наименьшее значение функции у = (х2 + 2х – 3)3;

2) наибольшее значение функции у = (0,2х + 1)5(5 – 2х) на промежутке (–; 0];

3) наибольшее значение функции у = (2х – 1)3(1 – 0,4х);

4) наименьшее значение функции у = (5 – 2х)3(5 – 4х) на промежутке [2; +).

5.11. Найти производную и наименьшее значение функции у=4–х + (6а – 7)(0,5)х – 2(7а – 4а2) на отрезке [–log23; log23].

5.12. Найти производную и наибольшее значение функции у=–52х + (9 – с)5х – 18 + 6с на отрезке [–log52; log52].

5.13. Найдите все значения параметров а и b, при которых наибольшее значение функции на отрезке [–1; 1] является наименьшим.

наибольшего и наименьшего значений функции 7.1. Представить число 18 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного куба одного из них и удевятеренного квадрата другого была наименьшей.

7.2. Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, если известно, что второе слагаемое больше первого в 3 раза.

7.3. Число 18 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

7.4. Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

7.5. Из городов А и В одновременно навстречу друг другу выезжает велосипедист и выходит пешеход. Скорость велосипедиста 25 км/ч, скорость пешехода х км/ч. После встречи они поворачивают назад и возвращаются каждый в свой город, причем велосипедист при этом движется с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч. Найти время нахождения в пути пешехода, если расстояние между городами s км. При каком значении х это время будет наибольшим?

7.6. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в пункт Б, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до Б по прямой равно 17 км. На каком расстоянии от А туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт Б, если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

7.7. Автомобиль движется из пункта А в пункт С. От пункта А до пункта Б, расположенного между А и С, он идет со скоростью 48 км/ч. В пункте Б он уменьшает скорость на а (км/ч) (0 а 48) и с этой скоростью проезжает третью часть пути от Б до С. Оставшуюся часть пути он едет со скоростью, которая на 2а (км/ч) превышает начальную скорость. При каком значении а автомобиль быстрое всего пройдет путь от Б до С?

7.8. Из пункта А со скоростью (км/ч) на прогулку вышел пешеход. Когда он отошел от А на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и вместе возвратились в А со скоростью 4 км/ч. При каком значении v время прогулки пешехода окажется наименьшим?

7.9. По двум улицам к перекрестку движутся два автомобиля с постоянными скоростями 1 = 40 км/ч и 2 = 50 км/ч. Известно, что в некоторый момент времени автомобили находятся от перекрестка на расстоянии s1 = 2 км и s2 = 3 км соответственно. Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, определить, через какое время расстояние между автомобилями станет наименьшим.

7.10. Расстояние между населенными пунктами А и Б составляет 36 км. Из А в Б идет пешеход со скоростью 6 км/ч. Одновременно из Б в сторону А выезжает велосипедист со скоростью (км/ч), причем [10; 15]. После встречи с пешеходом велосипедист еще 20 мин ехал в сторону А, затем повернул и возвратился в Б. Найти минимальную и максимальную разницу во времени прибытия в Б пешехода и велосипедиста.

7.11. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью (км/ч), составляет (90 + 0,42) pуб. за 1 ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода 1 км пути была наименьшей?

7.12. Одна и та же резина на передних колесах автомобиля выходит из строя через 24 000 км пробега, а на задних – через 36 000 км.

Каково максимальное расстояние, которое автомобиль может пройти на этой резине, если передние и задние колеса можно менять местами?

7.13. Найти точку графика функции у = х2 +, ближайшую к точке А ;1.

7.14. Найти наименьшее расстояние от точки М (2; 0) до точек 7.15. Точка М лежит на прямой у = 1 – х, а точка N – на параболе у = х2 – 5х + 6. Чему равно наименьшее значение длины отрезка MN?

7.16. Точка А лежит на графике функции у = (х2 – 12х), а точка В – на кривой х2 + у2 – 18х – 12у + 97 = 0. Чему равно наименьшее значение длины отрезка АВ?

7.17. Точка А лежит на графике функции у = х2 – 2х, а точка В – на графике функции у = –х2 + 14х – 50. Чему равно наименьшее значение длины отрезка АВ?

7.18. На координатной плоскости заданы точки М (3; 0) и N(5; 2). При каких значениях а точка М среди всех точек отрезка [М, N] является ближайшей к графику функции у = ах2?

7.19. К графику функции у = 2 в точке, абсцисса которой принадлежит отрезку [5; 9] проведена касательная. При каком значении площадь S треугольника, ограниченного этой касательной, осью абсцисс и прямой х = 4, является наибольшей? Чему равно значение этой наибольшей площади?

7.20. На координатной плоскости рассматривается треугольник АВС, у которого вершина А совпадает с началом координат, вершина В лежит на параболе у = 3х2 – 10х + 2, а вершина С – на параболе у = –2х2 + 5х – 10. При этом сторона ВС треугольника параллельна оси ординат, а абсцисса вершины В принадлежит отрезку ;. Какое значение должна иметь абсцисса вершины В, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей?

7.21. На координатной плоскости рассматривается прямоугольник ABCD, у которого сторона AВ лежит на оси ординат, вершина С – на параболе у = х2 – 4х + 3, а вершина D – на параболе у = –х2 + +2х – 2. При этом абсцисса вершины D принадлежит отрезку 5 ; 2. Какое значение должна иметь абсцисса вершины D, чтобы площадь прямоугольника ABCD была наибольшей?

наибольшего и наименьшего значений функции 8.1. На рис. 1 изображен график функции у = f(x). Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 4].

8.2. На рис. 2 изображен график функции у = f(x). Найти значение минимума функции на отрезке [–3; 3].

8.3. На рис. 3 изображен график функции у = f(x). Найти:

1) точки максимума функции на отрезке [–4; 4];

2) максимумы функции на отрезке [–4; 4].

8.4. На рис. 4 изображен график функции у = f(x).Найти:

1) точку минимума функции на интервале (–4; 4);

2) интервалы возрастания функции на интервале(–4; 4).

8.5. На рис. 5 изображен график функции у = f(x). Найти:

1) точки минимума и максимума функции на отрезке [–1; 4];

2) максимум функции на интервале (–3; 3).

8.6. На рис.6 изображен график функции у = f(x). Найти:

1) точки минимума функции на отрезке [–1,5; 2,5];

2) максимум функции на интервале (–1; 1,5).

8.7. На рис. 7 изображен график функции у = f(x).Найти:

1) точки минимума и максимума функции на отрезке [–1,25; 1];

2) наибольшее значение функции на отрезке [–1,25; 1,25].

8.8. На рис. 8 изображен график функции у = f(x). Найти:

1) точки максимума функции на отрезке [-0,5; 1];

2) максимум функции на отрезке [-0,5; 1].

8.9. На рис. 9 изображен график функции у = f(x). Найти интервалы возрастания и убывания функции на интервале (–2; 2).

8.10. На рис. 10 изображен график функции у = f(x). Найти:

1) точки максимума функции на отрезке [–1; 2];

2) максимумы функции на интервале (–1; 1).

8.11. На рис. 11 изображен график функции у = f(x). Найти:

1) точки минимума функции на отрезке [–2; 2];

2) максимум функции на интервале (–1; 1).

8.12. На рис. 12 изображен график функции у = f(x).Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [–2,5; 2,5].

8.13. На рис. 13 изображен график функции у = f(x), определенной на отрезке [–0,5; 2]. Найти:

1) точки максимума и минимума функции;

2) интервал убывания функции.

8.14. На рис. 14 изображен график функции у = f(x).Найти:

1) точки минимума функции на отрезке [–2; 2];

8.17. Функция у = f(x) определена на промежутке (–2,5; 2,5). На рис. 17 изображен график ее производной. Укажите точку максимума функции у = f(x).

8.18. На рис. 18 изображён график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найти значение производной в точке х0.

8.19. Функция у = f(x) определена на промежутке (–12; 12). На рис.19 изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f(x).

8.20. На рис. 20 изображён график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найти значение производной в точке х0.

8.21. На рис. 21 изображен график производной функции у = =f(x). Укажите точку максимума функции у = f(x).

8.22. На рис. 22 изображён график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найти значение производной в точке х0.

8.23. На рис. 23 изображён график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найти значение производной в точке х0.

8.24. Функция у = f(x) определена на промежутке (–2; 2). На рис.

8.27. Функция у = f(x) определена на промежутке (–30; 30). На рис. 27 изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f(x).

8.28. Функция у = f(x) определена на промежутке (–0,5; 2). На рис. 28 изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f(x).

8.29. Функция у = f(x) определена на промежутке (–0,25; 0,25). На рис. 29 изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f(x).

8.30. Функция у = f(x) определена на промежутке (–4; 6). На рис. 30 изображен график ее производной. Укажите точку максимума функции у = f(x).

2.9. Определенные и неопределенные интегралы.

Таблица неопределенных интегралов:

Первообразной функции f(х) на отрезке [a; b], называется такая функция F(х), для которой производная F ( x) f ( x ) для всех Совокупность всех первообразных функции f(х) называется неf ( x)dx F ( x) c.

определенным интегралом Если F(х) – первообразная f(х) на отрезке [a; b], то число F(b) – F(a) называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [a; b] и обозначается Фигура, ограниченная графиком функции у = f(х) и прямыми х = а, х = b, у = 0, называется криволинейной трапецией (рис. 31).

Ее площадь равна Фигура, ограниченная графиками функций у = f1(х) и у = f2(х) (f2(х) f1(х) при х (а; b)) и прямыми х = а, х = b, тоже называется криволинейной трапецией (рис. 32). Ее площадь равна Вычислить неопределенные интегралы.

Вычислить определенные интегралы.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

9.12. Найти первообразную F(х) функции f(х), для которой F(x0) = у0.

Вычислить неопределенные интегралы.

4) cos 2 x cos 6 xdx; 5) sin 3 x sin 2 xdx;

9.17. Вычислить определенные интегралы.

9.18. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

10) у = 2х, у = 4х, х = 1;

9.19. Вычислить неопределенные интегралы.

9.20. Функция y = F(x) является первообразной функции у=f(х). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции F(x) в точке х = х0.

9.21. Для функции у =f(х) найти интервалы возрастания ее первообразных.

4) f(х) = sinх + cosх; 5) f(х) = (х – 2)(16 – 2х).

9.22. Для функции у =f(х) найти множество Х, на котором ее первообразные убывают.

9.23. Для каких х0 касательные к графикам функции у =f(х) и ее первообразных в точке х = х0 параллельны?

9.24. Найти те первообразные функции у =f(х), графики которых пересекают ось 0х.

9.25. Найти те первообразные F(х) функции у =f(х), для которых неравенство F(х) 1 выполняется для всех x [a; b].

9.26. При каком значении а прямая у = а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0 и у = 2 + х – х2 пополам?

сательной к графику функции F(х) в точке х = х0.

9.28. Доказать, что 9.29. Найти наименьшее целое р, при котором справедливо неp

ОТВЕТЫ

4) ; 0,5;

7) ; 0,2;

9) 1; 1;

1.6. –72,8.

1.7. 80.

1.8. –2,4.

1.9. 126,5.

1.68. 60 и 50.

1.69. Увеличится на 1%. 1.104..

1.70. 5 %.

1.71. 3 %.

1.72. 25 %.

1.73. 48 %.

1.74. 50 человек.

меньше, чем за пече- 2.7. 15 %.

1.86. 1) 20 %; 2.14. Первого раствора 3.2. 2 ч 24 мин.

3.3. 3 ч.

3.4. 30 мин.

3.25. 3 дня.

3.26. 6 дней.

4.2. 1) 27 км; 9 км/ч; 4.42. 33 км/ч.

2) 140 км/ч; 3) 2 ч. 4.43. 20 км/ч.

4.3. 1) 9 км; 2) 140 км/ч. 4.44. 52 мин.

4.4. 1) 2 ч; 2) 10 дней. 4.45. 2 км/ч.

4.5. 1) 8 км/ч; 7 ч; 4.46. 5 км/ч.

4.7. 20 км/ч; 16 км/ч. 4.49. 200 км.

4.10. 1) 5 ч; 2) 5 ч. 4.52. 60 км/ч.

4.114. В 6 ч утра. 5.26. 35.

4.115. 180 км/ч. 5.27. 64.

4.121. Да, сможет. 5.36. 10, 11, 12, 13, 14 и 5.1. 15; 11.

7) f (x) = –8x + 2;

1.9. 1) f (x) = cosx; 2) f (x) = –sinx; 18) f (x) = – sin ;

2) f (x) = –2sin2x; 3) f (x) = sin2x;

4) f (x) = –sin2x;

5) f (x) =cosx(1 – 4sinx);

13) f (x) = (1 + 2x)cоsx – 17) f(x) = 2xcos(x3 + x2 – 2x) – –x2(3x2 + 2x – 2) sin(x3 + x2 – 3);

19) f(x) = cos(2x – 1);

23) f(x) = –cos(1 – 4x3)(12x2).

8) f(x) = ctgx;

1.28.

1.29.

1.31.

1.39.

1.40. sin 2t 1.42. –sin3y.

1.60. x 1.64. (x + 1)(3x – 1) 1 e ( x 1) ( x 1). 1.81. –2хtg(х2 + 1).

1.70.

1.71.

1.75.

1.100.

1.101.

1.104. 4х cos2х.

1.106. 2 9 x.

2.1. у = 0, у = 3х – 2, у = 4000 – 300х. 2.16. у = 2х – 4.

2.29. у = 8х – 12 в точке (2; 4) и 2.31. у = 2х – ln3.

2.32. Да, в точке (1; 1).

2.33. Да, в точке (0; 0).

2.37. Да, в точке (1; 1).

2.38. у = х + 5, у = х + 11.

ные, расстояние между ними равно 2.54. p {1;3}.

2.41. у (1;1) и (4;2) соответственно, S = 0,25. 2.57. 4 2.

3.2. 1) 0; ; 2) {–1; 1}; 3) {0; 1}; 4) {–2; 2}; 5) критических точек нет; 6) {–1; 1}; 7) {0; 1}; 8) {0; –1}; 9) {–5; 5}; 10) {0; 2}; 11) {–1; 0; 1}.

3.3. 1) {–2; 2}; 2) {0; –2}; 3) 1; 4) нет критических точек;

3.4. 1) 2; 2) {–5; 5}; 3) arccos arccos 2n, п 3.5. 1) y 48kx нет критических точек;

критических точек;

5) у = cos11x – cos3x + 7sinx + 7sin7x – 2asin4x; при а [15; +) хкр n, п ; при а (–; 15) нет критических точек;

6) y = cos10x + cos6x – 2sinx + 2sin15х + сcоs8x; при с [20; +) 7) y = 2ln2[4x – (3b – 1)2x + 2(b2 – 3b – 10)]; при b (–; –2] нет критических точек; b (–2; 5] хкр = log2(2b + 4); b (5; +) {log2(2b + +4); log2(b – 5)};

9) y = 2ln(0,2)[(0,2) + (a + 1)(0,2)x + a]; при а (–; 0) хкр = log0,2(–a);

при а [0; +) нет критических точек.

4.1. 1) хmax = 2; 2) xmin = ; 3) xmax = – ; 4) xmin = –2; 5) экстремумов нет; 6) xmin = 1; 7) xmax = 2, xmin = 3; 8) xmax = 0, xmin =, хmin = 2;

9)xmax = 2, xmin = –2; 10) xmax = –1, xmin = 0, xmin = –2; 11) xmax = 2, xmin = = ; 12) xmin = –1; 13) xmax = –1, xmin = 2; 14) xmax = –1, xmin = 3.

4.2. 1) ymax = y(–2) = 25, ymin = y(1) = –2; 2) ymax = y(–4) = 59;

3) ymax = y(–1) = 17, ymin = y(3) = –47; 4) ymax = y(–3) = 9, ymin = y(1) = – ;

5) ymax = y(0) = 0, ymin = y(4) = –256.

3) ymax = y(–2) = 8, ymin = y(2) = 0.

4.4. 1) Нет экстремумов; 2) ymax = y(0) = –2, ymin = y(2) = 2; 3) ymax = y(3), 4.5. 1) xmax arccos arccos 2п, п ;

4.7. Промежутки: 1) ; – убывания, ; – возрастания;

2) (–; –1) и (0; +) –возрастания, (–1; 0) – убывания;

3) (–; 1) и (2; +) – возрастания, (1; 2) – убывания;

4) (–; 0) и (2; +) – убывания, (0; 2) – возрастания;

5) (–; –1) и (–1; +) – возрастания;

6) (–; –1) и (3; +) – убывания, (–1; 3) – возрастания;

7) (–; – 1 ) и ( 1 ; +) – возрастания, (– 1 ; 0) и (0; 1 ) – убывания;

8) (–;0) и (2; +) – возрастания, (0; 2) – убывания;

9) (0; 3) – убывания, (3; +) – возрастания;

10) (–; 1) и (1; 2) – возрастания, (2; +) – убывания.

4.8. (–; –4][–2; 0).

4.9. 1) (–; –4)(2; +); 2) (6; +).

5) max y ( x ) не существует, min y ( x ) 1.

5.8. 1) 29; 2) 84.

5.9. 1) –2; 2) 42.

5.10. 1) – 64; 2) 5; 3) 5,4; 4) –3.

при a ; ymin = y(–log23) = 8a2 + 4a – 12;

5.12. y = –2ln552x + (9 – c)ln55x; при c (–; 5) ymax = y(2) = 4c – 4;

7.2. 4 + 12 + 10.

7.3. 9 + 9.

7.4. 66.

7.7. 12 км/ч.

7.8. 6 км/ч.

7.11. 15 км/ч.

7.12. 28800 км.

7.14.

7.15.

8.9. (–2; –0,5) интервал возрастания, 6) 3 x 2 x 3x c;

(–0,5; 2) интервал убывания.

8.10. 1) {-0,5; 0,5; 1,5}, 2) 0,5 и 1.

8.11. {–1; 1}, 2) 1,5.

8.12. 1,5 и –1,5.

8.14. 1) –1; 2) 1.

8.17. –1,5.

8.19. –3.

8.20. 0,5.

8.23. 2.

8.25. 1,5.

8.27. –5.

4) –х3 + 2х2 + 4х +с;

9.6. 1) 21; 2) –2; 3) 0; 4) –12,5;

5) 27; 6) –2.

9.10. 1) ; 2) ; 3) 12 – 5ln5;

4) X1 = (–; –3]; X2 = [–2; 1);

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ

Подписано в печать 29.07.2009. Формат 6084 1/16.

Изд. № 084-1. П.л. 8,25. Уч.-изд. л. 8,25. Тираж 4500 экз. Заказ № Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».

Федеральное государственное бюджетное высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ

МИФИ – базовое высшее учебное заведение России, предназначенное для подготовки инженеров: физиков, математиков, системотехников – инженеров-исследователей, обладающих глубокими знаниями физико-математических дисциплин в сочетании с серьезной инженерной подготовкой.

Факультет экспериментальной и тео- 8(495)324-84- ретической физики (Т) Физико-технический факультет (Ф) 8(495)324-84- Факультет автоматики и электроники (А) 8(495)324-84- Факультет информационной безопас- 8(495)324-84- ности (Б) - Институт международных отношений 8(495)323-95- - Институт инновационного менеджмента 8(495)323-90- - Экономико-аналитический институт 8(495)323-92- - Институт финансовой и экономической безопасности 8(495)323-95- ПРИЕМНАЯ КОМИССИЯ 8(495)324-84-17; 8(495)323-95- Адрес МИФИ: 115409, г. Москва, Каширское ш., д. По вопросам повышения квалификации учителей физики, математики и информатики, а также по работе МИФИ со школами в регионах РФ обращаться в Центр повышения квалификации и переподготовкu кадров по тел.: 8(495)324-05-08, 8(499)725-24-60.



Pages:     | 1 ||
 


Похожие работы:

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан биологического факультета _ С.М. Дементьева _2012г. Учебно-методический комплекс по БОЛЬШОМУ ПРАКТИКУМУ специализации Экологическая экспертиза МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ ВОЗДУХА Для студентов 4 курса очной формы обучения специальности 020803.65 Биоэкология Обсуждено на заседании кафедры ботаника _2012 г. Протокол №_ Заведующий кафедрой _ С.М....»

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова Технологический факультет Кафедра химии АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СБОРНИК ОПИСАНИЙ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ для подготовки дипломированного специалиста по направлению 655000 Химическая технология органических веществ и топлива,...»

«Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМ. Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА УДК 551.510; 523.165 Шифр 2007-3-1.3-24-07-126 УТВЕРЖДАЮ Зам. директора НИИЯФ профессор В.И. Саврин _ 2007 г. ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ ПО ГК № 02.513.11. РАЗРАБОТКА РАДИАЦИОННО-СТОЙКИХ НАНОКОМПОЗИТНЫХ УГЛЕВОДОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ (заключительный) Руководитель темы профессор М.И. Панасюк __ 2007 г. Москва СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ...»

«К исх. № от.11.2009г. К вх. № от.11.2009г. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА УДК 613.693 Номер государственной регистрации Ф40836 Экз. № 1 Инв. № 2009/193 Директор Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, профессор М.И. Панасюк 2009 г. НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧ ЕТ ПРОВЕДЕНИЕ УГЛУБЛЕННОГО АНАЛИЗА ИМЕЮЩ ИХСЯ...»

«Общая характеристика рабОты актуальность темы Диссертация посвящена исследованию магнитогидродинамической (МГД) неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (К-Г) для ограниченных в пространстве потоков плазмы. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца — одна из первых обнаруженных гидродинамических неустойчивостей, возникающая на границе между двумя жидкостями, движущимися с различными скоростями. Данное физическое явление получило своё название по именам первооткрывателей: Гельмгольц впервые, в рамках...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Московского физико-технического института (государственного университета) в 2011 году МОСКВА МФТИ 2012 Под редакцией Н.Н. Кудрявцева, Т.В. Кондранина, Ю.Н. Волкова, Л.В. Ковалевой Результаты работы Московского физико-технического института (государственного университета) в 2011 году. – М.: МФТИ, 2012. – 286 с. © федеральное государственное автономное...»

«довольно сильно отличается от опубликованной книги по компоновке (формат книги А5 = (23.5 х 16.5 см), к тому же для удешевления некоторые цветные рисунки были заменены на черно-белые). Но текст (с точностью по редакторской правки издательства), номера рисунков и...»

«Воспоминания о В.И.Векслере и о становлении физики электромагнитных взаимодействий и мезон- ядерной физики в ФИАНе Г.А. Сокол МОСКВА 2007 Г.А.Сокол Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН e-mail: gsokol@venus.lpi.troitsk.ru Аннотация Представлены личные впечатления автора о роли В.И. Векслера в развитии исследований по физике электромагнитных взаимодействий и мезон-ядерной физике на 250 –МэВ –ном синхротроне ФИАН в 50-е годы прошлого столетия. Reminiscences about V.I. Veksler and the...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Московского физико-технического института (государственного университета) в 2005 году 2006 МОСКВА Под редакцией Н.Н. Кудрявцева, Т.В. Кондранина, Л.В. Ковалевой Результаты работы Московского физико-технического института (государственного...»

«К исх. № от.04.2006г. К вх. № от.04.2006г. НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова УДК 524.354 Номер государственной регистрации: Экз.№ 1 инв. № УТВЕРЖДАЮ Директор научно-исследовательского института ядерной физики имени Д.В.Скобельцына МГУ имени М.В.Ломоносова. _М.И.Панасюк 2009 г. НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ Методика регистрации и определение конструкции научной аппаратуры для изучения транзиентных атмосферных явлений на...»

«ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ www.pmedu.ru 2011, №2, 78-98 РАЗРАБОТКА ПОДХОДОВ К АНАЛИЗУ ЭФФЕКТИВНОСТИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В РАО (на примере мониторинга результатов исследований 2007–2008 гг.) DEVELOPMENT OF APPROACHES TO THE ANALYSIS OF SCIENTIFIC RESEARCH EFFICIENCY IN THE RUSSIAN ACADEMY OF EDUCATION (On an example of researches results monitoring 2007–2008) Подуфалов Н.Д. Главный научный сотрудник Института научной информации и мониторинга РАО (г.Черноголовка), доктор...»

«Новые поступления. Ноябрь 2010 Бобринецкий, И.И. (Автор МИЭТ). 1 Физико-технологические основы создания функциональных элементов наноэлектроники на основе квазиодномерных проводников [Рукопись] : Автореф. дис..д-ра техн. наук: 05.27.01 / И. И. Бобринецкий ; МИЭТ; науч. консультант Неволин В.К. - М. : МИЭТ, 2010. - 46 с. - Библиогр.: с. 40-45. 2дсп Бобринецкий, И.И. (Автор МИЭТ). 2 Физико-технологические основы создания функциональных элементов наноэлектроники на основе квазиодномерных...»

«Биоорганическая химия, № 1, 2014 УДК 541.124:546.11.2 ТВЕРДОФАЗНЫЙ ИЗОТОПНЫЙ ОБМЕН ВОДОРОДА НА ДЕЙТЕРИЙ И ТРИТИЙ В ГЕННО-ИНЖЕНЕРНОМ ИНСУЛИНЕ ЧЕЛОВЕКА © 2013 г. Ю. А. Золотарев1*,, А. К. Дадаян1*, В. С. Козик1*, Е. В. Гасанов1*, И. В. Назимов2*, Р. Х. Зиганшин2*, Б. В. Васьковский2*, А. Н. Мурашов3*, А. Л. Ксенофонтов4*, О. Н. Харыбин5*, Е. Н. Николаев6*, Н. Ф. Мясоедов1* 1* Институт молекулярной генетики РАН, 123182, Москва, пл. Курчатова, 2 2* ФГБУН Институт биоорганической химии им. М.М....»

«БИБЛИОТЕКА Северской государственной технологической академии и Северского промышленного колледжа Информационный бюллетень новых поступлений ( июнь 2008 г. ) Северск 2008 1 Содержание Наука Энциклопедии Социология Психология Этика Религия Статистика Политология Экономические науки Государство и право Социальное обеспечение Культура Филология Математика Физика Геология. Геологические и геофизические науки Инженерное дело. Техника в целом. Черчение Основы теории регулирования и управления...»

«СОБИСЕВИЧ, СОБИСЕВИЧ: ДИЛАТАНСНЫЕ СТРУКТУРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЕСТНИК ОНЗ РАН, ТОМ 2, NZ6027, doi:10.2205/2010NZ000045, 2010 Дилатансные структуры и электромагнитные возмущения УНЧ диапазона на этапах подготовки и развития крупного сейсмического события Л. Е. Собисевич, А. Л. Собисевич Институт физики Земли им. О. Ю.Шмидта РАН. Москва Получено 31 марта 2010; опубликовано 5 июня 2010. Рассмотрены вопросы формирования дилатансных структур вблизи поверхности земли на этапе подготовки...»

«АЗА СТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БIЛIМ Ж НЕ ЫЛЫМ МИНИСТРЛIГI МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ХАБАРШЫ 1995 жылды а тарынан жылына 6 рет шы ады (87) · 2012 №2 ВЕСТНИК выходит 6 раз в год с января 1995г. Астана Жаратылыстану жне техникалы ылымдар сериясы Серия естественнотехнических наук Жылына 3 рет шы ады Выходит 3 раза в год Бас редактор: Е.Б. Сыды ов тарих ылымдарыны докторы,профессор Бас редакторды орынбасары : Оразбаев Ж.З. техника ылымдарыны докторы Редакция ал асы: Р.I....»

«2 3 1. Цели и задачи изучения дисциплины Геофизические методы поисков и разведки месторождений твердых полезных ископаемых Целью преподавания дисциплины Геофизические методы поисков и разведки месторождений твердых полезных ископаемых является ознакомление будущих специалистов – геологов с основами геофизических методов и их местом в общем комплексе геологических исследований. Роль геофизических методов при решении геологических задач настолько значительна, что геофизические методы применяются...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.