WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«РУССКАЯ ЛОГИКА – ИНДИКАТОР ИНТЕЛЛЕКТА. Москва 2012 ПРЕДИСЛОВИЕ Посвящается Русским инженерам и учёным, интеллектуальной элите России. ПРЕДИСЛОВИЕ Уважаемый Читатель, ...»

-- [ Страница 2 ] --

Глава вторая МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ОБОБЩЁННЫХ КОДОВ.

7. По алгоритму 2 п.9 находим МОК МОК2 = 01---По алгоритму 2 пп.7, 8, 11 строим следующую таблицу.

9. По алгоритму 2 п.3 находим БМОК БМОК3 = ----1По алгоритму 2 пп. 7, 8, 11 строим таблицу.

11. Из таблицы по алгоритму 2 п.8 находим БМОК3 = ---- 12. По алгоритму 2 пп. 7, 8 строим следующую таблицу.

На рисунке представлено решение задачи 10 с помощью карты Карно. Функция y представлена в виде МДНФ.

2.2. Алгоритм соседнего определения базы МОК (алгоритм Мавренкова).

Из рисунка видно, что результаты минимизации по карте Карно и по методу обобщённых кодов совпадают.

Задача 10а.

Произвести минимизацию логической функции, заданной таблицей истинности.

Глава вторая МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ОБОБЩЁННЫХ КОДОВ.

Т.к. РОК3 и ЗОК1 являются соседними по x7,то в качестве БМОК1 выбираем х7’,не обращая внимания на абсолютный максимум F0 для х8.БМОК1 покрывает РОК1 – РОК5 и ЗОК3,ЗОК5.

Подсчитаем оценочные функции для выбора дополнения к БМОК1 и получения МОК1.

Дополнение х4 могло бы привести нас к МДНФ, поэтому мы выберем эквивалентное по оценочной функции дополнение х1,чтобы убедиться в некоторых недостатках метода. В результате получим МОК1 = x7 1. Поскольку МОК1 покрывает РОК с номерами 1,3 – 5,то стартовая таблица для синтеза БМОК выглядит так:

2.2. Алгоритм соседнего определения базы МОК (алгоритм Мавренкова).

Исходя из этой таблицы, получаем БМОК2 = x8 Для нахождения МОК2 строим следующую таблицу.

Отсюда получаем МОК2 = х8’x5’, который дополнительно покрывает РОК2 и РОК6. Найдём БМОК3.

F0 для х3 имеет максимальное значение, но использовать x3 в качестве БМОК3 нельзя, поскольку единственный РОК не имеет нуля в данном разряде. Принимаем БМОК3 = x8’. Строим очередную таблицу для синтеза последнего МОК.

Глава вторая МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ОБОБЩЁННЫХ КОДОВ.

Из последней таблицы получаем МОК3 = x8’x7x4.Таким образом, мы получили тупиковую ДНФ y = x8’x7x4 + х8’x5’ + x7’x1.

По карте Карно получена минимальная ДНФ y =х8’x5’ + x7x1’ + x7’x4’.

Т.е. высокая эффективность метода обобщённых кодов не всегда гарантирует получение МДНФ. Кроме того, если рассмотреть недоопределённую логическую функцию, заданную 8-ичными наборами: РОК – 67,73,63 и ЗОК – 37,65,66, то окажется, что по первому алгоритму получим избыточное решение. В этом случае y = x3’ + x6x2x1. При минимизации по второму алгоритму y = x6x2x1.Таким образом, алгоритм 2 не только менее трудоёмок, но и более эффективен.

Проверка результата минимизации булевых функций.

Результат минимизации булевой функции является корректным, если выполняются следующие условия:

1. Совокупность МОК покрывает все РОК.

2. Совокупность МОК не покрывает ни одного ЗОК.

Далеко не всегда по методу ОК может быть получена 2.3. Выводы.

МДНФ. Чаще всего в результате минимизации удаётся получить одну из тупиковых ДНФ. В этом недостаток метода. Алгоритм 2 по сравнению с алгоритмом 1 даёт более компактный результат, т.е. вероятность получения МДНФ по алгоритму выше, чем по алгоритму 1.

Достоинствами метода являются простота и высокая скорость получения результата. Особенно этот метод эффективен для минимизации булевых функций от большого числа переменных (n8). Вполне приемлемым даже без применения ЦВМ является число наборов, на которых задана функция, в пределах 1000. Например, 6 булевых функций от 12 переменных, определённые на 320 наборах были отминимизированы вручную в течение 30 минут. Разумеется, задача такой сложности может быть решена на ЭВМ. Однако даже только на ввод с последующей проверкой 320 наборов для 6 функций потребуется значительно больше времени, чем на ручное решение. Эффективность данного алгоритма выше всех других, известных автору.

В соответствии с алгоритмом 2 в 1974г. была написана программа, которая позволяла минимизировать булевы функции от 36 переменных, определённые на 2000 наборах. Программа осуществляла контроль правильности ввода исходных массивов. Если функция введена неверно, то выводились на печать неправильно введённые РОК или ЗОК, а программа переходила к минимизации следующей функции. Время, затраченное ЦВМ М-220 на минимизацию булевой функции от 36 переменных, определённой на 1000 наборах, составило 6 минут. В 1985г. на языке Паскаль эта программа была переписана для ПЭВМ ДВК-2М. Она обрабатывала 16 функций от 32 переменных. Количество наборов достигало 2000.

Вопрос о минимизации булевых функций вручную или с использованием ПЭВМ решается в зависимости от количества наборов, на которых задана функция, количества соседних РОК и ЗОК, а также от частоты чередования РОК и ЗОК в исходной таблице истинности. Чем больше количество наборов, задающих функцию, чем меньше соседних РОК и ЗОК, чем выше частота чередования РОК и ЗОК, тем предпочтительнее использование ЭВМ. Например, систему из 7 булевых функций от 18 переменных, заданную на 80 наборах, оказалось рациональнее решать с помощью ЭВМ, так как в этой системе не нашлось ни одной соседней пары РОК и ЗОК, а частота чередования РОК и ЗОК для отдельных функций достигала 40. Однако за 40 лет инженерной практики разработки цифровых устройств и систем автор лишь трижды обращался к услугам ЭВМ при решении задач минимизации булевых функций.

Задание 4.

Методом обобщённых кодов найти минимальное представление функций, заданных на рабочих и запрещённых наборах.

4-1) РН(4): 0, 4, 6, 10; ЗН(4): 7, 13.

4-2) РН(5): 4, 2, 29, 23; ЗН(5): 3, 21.

Глава вторая МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ОБОБЩЁННЫХ КОДОВ.

4-3) РН(6): 0, 9, 10, 13, 57, 63, 36; ЗН(6): 27, 29, 18, 44, 33.

4-4) РН(6): 1, 4, 14, 21, 35, 62; ЗН(6): 3, 7, 30, 9.

4-5) РН(8): 16, 49, 35, 41, 253, 167, 158; ЗН(8): 99, 125, 90, 249, Примечание: Кс – коэффициент сложности булевой функции.

«Читай и слушай для собственного развлечения рассказы о хитроумных системах, вникай в интересные вопросы, поставленные там со всей изощрённостью, какой только может наделить их пылкая фантазия, но смотри на всё это только как на упражнения для ума и возвращайся каждый раз к согласию со здравым смыслом...»

ЧАСТЬ Математическая логика суждений и предикатов.

Глава первая Всё, о чем далее будет идти речь (комплементарная логика, решение логических уравнений, русская силлогистика, силлогистика Аристотеля-Жергонна, общеразговорная силлогистика и т. д.) разработано в России и не известно мировой науке. Поэтому призываю всех читателей воспринимать мои методы крайне критически и обязательно проверять их с точки зрения здравого смысла. Весьма показателен пример некритического отношения к теории относительности (ТО), которую к 1998г. немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с пьедестала. «Тысячи» экспериментов в защиту нечистоплотного Эйнштейна оказались фиктивными.

Из 5 реальных попыток не было ни одной удачной. Великие русские учёные Н.Е. Жуковский и К.Э. Циолковский категорически отрицали ТО Эйнштейна. В СССР ещё в 40-е и 60-е годы ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава первая также были выступления и публикации учёных, критиковавших ТО. Наиболее ярко отношение советской науки к ТО выражено в работах В. А. Ацюковского «Логические и экспериментальные основы теории относительности» – М.: МПИ, – 56с., «Блеск и нищета теории относительности Эйнштейна»

– г. Жуковский: Петит, 2000 – 17с., в статье В. Булавина «Гений всех времён» (см. Internet) и монографии В.И. Бояринцева «Русские и нерусские учёные». Во всех этих работах подчёркивается математическое и физическое убожество «гения всех времён и одного народа».

Прежде, чем приступить к рассмотрению базовых проблем, стоит совершить небольшой экскурс в историю логики. Эта наука как основополагающий раздел философии появилась в конце второго тысячелетия до н. э. в Индии. Затем она перекочевала в Китай, где в 479-381 гг до н. э. наблюдался период расцвета логики и философии, связанный с учением Мо Цзы.

Наибольшего развития логика достигает в Древней Греции. Главные её достижения связываются с именами Сократа (470-399 гг. до н. э.), Платона(428-348 гг. до н. э.), Аристотеля (384-322гг. до н. э.), стоиков Зенона из Китиона (336-264гг. до н. э.) и Хризиппа (280-205гг. до н. э.), представившего теорию материальной импликации. Следует хотя бы просто перечислить имена учёных, уделявших самое пристальное внимание логике[49].

Ибн-Сина (Авиценна) – среднеазиатский мыслитель с широким кругом интересов, род. в 980 г. в Афшане, возле Бухары, умер в 1037 г. Ему уже была известна формула импликации (возможно, из работ стоиков).

Михаил Псёлл – византийский логик (1018-1096 гг.), автор «квадрата Псёлла».

Роджер Бэкон – английский философ (1214-1294гг.), считал в частности, что «простой опыт учит лучше всякого силлогизма», т. е. опирался на логику здравого смысла.

Уильям Оккам – английский философ, логик(1300-1349 гг.).

Ввёл троичную логику за много веков до Лукасевича. Автор «принципа простоты» («бритва Оккама»).

Фрэнсис Бэкон (1561—1626), английский философ, родоначальник английского материализма. Лорд-канцлер при короле Якове I. В 1605 г. опубликовал свой трактат «Распространение образования», в котором призывал положить в основу образования эксперименты и наблюдения. В его главном труде – «Новый органон» (1620 г.) – был намечен научный метод, названный им индуктивным, для увеличения власти человека над природой. Он резко критиковал предложенный ещё Аристотелем метод установления истины из априорных предположений и предлагал производить множество опытов, которые способствуют ускорению темпа и строгости научного открытия. Утверждал, что логика Аристотеля не просто бесполезна, но вредна.

Антуан Арно (1612-1694) и Пьер Николь (1625-1695) – французские логики, авторы книги «Логика Пор-Рояля» (монастырь во Франции), последователи Декарта.

Арнольд Гейлинкс – бельгийский логик и философ (1625гг). Опроверг за несколько веков до официального признания общезначимость модуса I для 3-й фигуры силлогизмов. Доказал правила Де Моргана:

1. aba+b 2. (ab)’(b’a’)’ 3. (bc)(ac)’(ab)’ 4. (ab)(ac)’(bc)’ Готфрид Вильгельм Лейбниц – немецкий философ, матеab’(ab)’ матик, физик(1646-1716). Основоположник символической логики. Впервые чётко сформулировал задачу математизации логики. Задолго до Эйлера использовал «круги Эйлера».

Впервые поставил «техническое задание» для силлогистики.

Сформулировал и доказал теоремы:

1. ab aca(bc).

2. Aab AcdA(ac)(bd). 3. A(ab)a, т. е. все (ab) суть а.

4. A(ab)b, т. е. все (ab) суть b.

Якоб и Иоганн Бернулли (1654-1705 и 1667-1748) – ученики Лейбница. Ввели операцию вычитания множеств.

Леонард Эйлер – математик, физик, астроном(1707-1783).

Родился в Швейцарии, но вся научная жизнь прошла в России.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава первая Создатель «кругов Эйлера», основы формальной силлогистики.

Иоганн Генрих Ламберт – швейцарский логик(1728-1777), последователь Лейбница. Предвосхитил ряд работ Джорджа Буля (разложение функции на элементарные составляющие), ввёл скалярные диаграммы для геометрической интерпретации силлогизмов, но не довёл их до практического применения для анализа и синтеза силлогизмов.

Ж.Д. Жергонн – французский астроном и логик(1771-1859).

Впервые зафиксировал с помощью кругов Эйлера силлогистический базис Аристотеля.

Август Де Морган – шотландский логик(1806-1871), автор логики отношений, «правил Де Моргана».

Джордж Буль – английский логик (1815-1864), создатель Булевой алгебры. Отец Этель Лилиан Войнич (автор романа «Овод»).

Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907) – профессор Казанского университета. Он опередил не только своё время, но и Бертрана Рассела. П.Эренфест сказал, что Порецкий намного упростил приёмы решения логических уравнений по сравнению с Дж. Булем и Шредером. Могу добавить, что русский логик впервые в мире дал аналитическое представление силлогистических функторов xy и Exy. Этого не заметили ни зарубежные логики, ни, что самое обидное, отечественные учёные. В течение 128 лет научные результаты великого русского логика не были востребованы наукой, которая до сих пор прозябает в невежестве. Основополагающие результаты Порецкого до сих пор не освоены отечественной и мировой наукой. Аналитическая силлогистика зародилась в 1884 году в России, в стенах Казанского университета, но до сих пор не вошла в учебники логики.

Николай Александрович Васильев(1880-1940) – советский учёный, автор монографии «О частных суждениях», в которой впервые заявляет, что силлогистика Аристотеля не имеет никакого отношения к здравому смыслу. Сформулировал требования к силлогистическому базису здравого смысла. Он как и его отец, А.В. Васильев, «наставник» Порецкого, не понял достижений гениального логика.

Из современных учёных, пытающихся решить фундаментальные проблемы логики, необходимо в первую очередь отметить Брусенцова Н. П. [3, 4], Светлова В. А., создавшего элегантные методы синтеза силлогизмов [47]. Особенно отрадно, что наряду с изяществом решения проблем силлогистики Светлов В.А. насытил свой труд огромным количеством примеров. Это признак высокого профессионализма.

Глава вторая 2.1. Законы логики суждений Автор, излагая данный материал, хочет показать всю простоту аналитических выводов данных законов, следовательно, и их никчёмность: незачем заучивать десятки правил, если доказательство столь примитивно. Всё дело в том, что в классической логике доказательство построено на громоздком аппарате таблиц истинности и словесной казуистике[9].

Трудно назвать грамотным такое решение проблемы. Инженерная логика использует более совершенный инструмент для анализа и синтеза законов[26].

Алгоритм «Импульс» анализа законов логики Алгоритм анализа законов логики суждений чрезвычайно суждений.

прост:

1) произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой 2) привести полученное выражение к ДНФ;

3) занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами – это свидетельствует о истинности проверяемого закона или суждения.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Воспользуемся перечнем законов из [9] для апробации алгоритма «Импульс».

1. Закон исключённого третьего: p или неверно, что p.

В переводе на язык логики этот закон выглядит так:

p + p’ = 1. Это тривиальное равенство, не требующее доказательства.

2. Закон непротиворечивости: неверно, что [р и не р].

На языке логики: p & p’ = 0. Это равенство верно по определению.

3. Закон двойного отрицания: если [не (не р)], то р.

Необходимо доказать, что (p’)’p = 1.Доказательство основано на двойном отрицании и импликации: (p’)’p = 4. Обратный закон двойного отрицания: если р, то [не (не р)].

p(p’)’= p’ + p = 1.

5. Закон контрапозиции: если(если р, то q), то [если(не q), то(не р)].

(pq)(q’p’) = (p’ + q)(q + p’) = pq’ + p’ + q = 1.

6. Законы, характеризующие конъюнкцию.

6.1. Если (р и q), то (q и р): pqqp = (pq)’ + pq = 1.

6.2. Если (р и q),то р: (pq)p = (pq)’ + p = p’ + q’ + p = 1.

6.3. Если р и q, то q: (pq)q = (pq)’ + q = p’ + q’ + q = 1.

6.4. Если р, то [если q, то (p и q)]: p(qpq) = 7. Законы импликативных силлогизмов.

7.1. Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )].

[(pq)(pr)](pqr) = [(p’ + q)(p’ + r)]’ + p’ + qr = = (p’+qr)’+p’+qr = 1.

7.2. Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].

[(pq)(rs)](prqs) = [(p’+q)(r’+s)]’+p’+r’+qs = = pq’+rs’+p’+r’+qs = 1.

7.3. Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).

[(pq)(qr)](pr) = pq’+qr’+p’+r = 1.

7.4. Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), [(pq)(rq)][(p+r) q] = pq’+rq’+p’r’+q = 1.

8. Законы, характеризующие дизъюнкцию.

8.1. Если (р или q), то (q или p).

(p+q)(q+p) = (p+q)’+(p+q) = 1.

8.2. Если (р или q), то (если не р, то q).

(p+q)(p’q) = p’q’+p+q = 1.

Как видит читатель, такие законы можно «изобретать» и доказывать десятками. Во всех выводах применялась аналитическая минимизация логических функций. Однако значительно проще для этой цели использовать карты Карно.

Безусловно, доказательство истинности того или иного суждения, закона, правила и т.п. весьма важно, но значительно интереснее и важнее выяснение всех возможных заключений, которые могут последовать из заданных посылок. Для этой цели служит алгоритм «Импульс-С».

Алгоритм «Импульс-С» синтеза импликативного Алгоритм инженерного синтеза импликативных силлогиззаключения.

мов по заданным посылкам немногим отличается от предыдущего алгоритма:

1) найти полную единицу системы М посылок, заменив импликацию по формуле xy = x’ + y;

2) привести полученное выражение к ДНФ;

3) подставляя в полученное выражение необходимые аргументы и отбрасывая лишние, т.е. заменяя их логической единицей, выводим соответствующие заключения как функции интересующих нас аргументов. Если в результате подстановки будет получена единица, то заключение является частноутвердительным.

Пусть известно, что [(pq)(qr)]. Найти заключение f(q,r).

Пример.

По алгоритму «Импульс-С» имеем:

Решение.

= (pq)(qr) = (p’+q)(q’+r).

= (p’+q)(q’+r) = p’q’+p’r+qr = p’q’+qr.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая f(q,r) = (q,r) = q’+qr = q’+r = qr.

Задача 2.1.1.

Рассмотрим задачу из [7] о крокодиле. Когда крокодил похитил ребёнка одной египтянки и та попросила его не есть ребёнка, то крокодил ответил: «Я верну тебе ребёнка, если ты отгадаешь, что я с ним сделаю». Найти ответ египтянки.

В [7] даётся пространное, на 5 страницах, словесное толкоРешение.

вание различных ситуаций. Решим эту задачу аналитически.

Обозначим через х – «крокодил съест ребёнка», через у – ответ египтянки: « Ты съешь ребёнка». Тогда условие крокодила будет описано следующей формулой:

[(x~y)x’][(xy)x] = ((xy)+x’)((x~y)+x) = = (xy’+x’y+x’)(x’y’+xy+x) = (x’+y’)(x+y’) = y’.

Следовательно, условие крокодила непротиворечиво лишь при ответе: « Ты не съешь ребёнка». Значит, египтянка должна ответить: « Ты съешь ребёнка» – тогда крокодил умрёт от противоречий.

Аналогично решается задача о путнике на мосту, которого за правдивый ответ должны повесить, а за ложный – утопить.

Задача 2.1.2.

В тёмной комнате находятся 3 мудреца. На столе лежат белых и 3 чёрных шляпы. Каждый мудрец надевает наугад одну из шляп, затем все «кильватерной колонной» выходят в освещённое помещение. 3-й мудрец видит шляпы 1-го и 2-го мудрецов, 2-й – только шляпу 1-го. На вопрос о цвете шляп 3-й и 2-й мудрец ответили:

«Не знаю». Что сказал 1-й мудрец?

Пусть х1, х2, х3 означают, что чёрные шляпы надеты соотРешение.

ветственно 1-м, 2-м и 3-м мудрецами. Ответ 3-го мудреца означает, что на 1-м и 2-м – не белые шляпы, что соответствует выражению (х1' х2')'. Если бы на первом мудреце была белая шляпа, то 2-й по ответу 3-го определил бы, что на нём чёрная шляпа. Т. к. 2-й мудрец не нашёл ответа, то имеем (х1')' = х1.

В итоге получим: (х1' х2')'х1 = (х1 + х2)х1 = х1. Значит, на первом мудреце чёрная шляпа, а на втором могла быть любая шляпа.

Задача 2.1.3.

В [36, стр. 432] приведена аксиоматическая система Фреге. Непонятно, почему эта система носит название аксиоматической. Аксиома – это исходное положение, принимаемое без доказательств при дедуктивном построении теории («Толковый математический слоa(ba) = a’+b’+a = варь»). Докажем все «аксиомы» с помощью алгоритма «Импульс».

2. = (c(ab))((ca)(cb)) = (c’+a’+b) (a’c+c’+b) = (c’+a’+b)(a’+c’+b) = 4. = (a(bc))(b(ac)) = (a’+b’+c)(b’+a’+c) = 5. = (ab)(b’ a’) = (a’+b)(a’+b) = Таким образом, мы подтвердили корректность всех «аксиом» Фреге. Аксиомами их считать можно лишь при полном незнании математической логики.

Арнольд Гейлинкс – бельгийский логик и философ (1625гг) доказал правила де Моргана:

1. aba+b 2. (ab)’(b’a’)’ 3. (bc)(ac)’(ab)’ 4. (ab)(ac)’(bc)’ 5. ab’(ab)’ Докажем эти правила современными методами (алгоритм «Импульс»).

aba+b = (ab)'+a+b = a'+b'+a+b = (ab)'(b'a')' = (ab)+(b+a')' = (a'+b)+(a'+b)' = (bc)(ac)'(ab)' = bc'+a'+c+ab' = (ab)(ac)'(bc)' = ab'+a'+c+bc' = ab'(ab)' = (a'+b)+(a'+b)' = Позднеримский философ Боэций (480-524) [48, стр. 100] выявил следующее соотношение: (xy) (x’y’ xy x’y).

Классическая логика доказывает этот закон с помощью таблиц истинности, что и громоздко, и непрофессионально. С помощью РЛ доказательство укладывается в одну строчку.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая (xy)( xy x’y) = (x’+y) [(x’y’+xy) x’y] = = (x’+y) (x’+y).

Задача 2.1.4.

В [36, стр. 284] приводится закон замкнутых (гауберовых) систем: (ab) (cd) (ef) (bd’) (df’) (fb’) (a+c+e)(a’b’) (c’d’) (e’f’). Проверим его состоятельность.

По алгоритму «Импульс» получим следующие соотношеРешение.

ния.

М = (ab)(cd)(ef)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e) (a’b’)(c’d’)(e’f’) = (a’+b)(c’+d)(e’+f)(b’+d’)(d’+f’)(f’+b’)(a+c+e) (a+b’)(c+d’)(e+f’) = ab’+cd’+ef’+bd+df+bf+a’c’e’+ad’e+ad’f’+ + b’d’e+b’d’f’+b’ce+b’cf’+acf’ 1.

Таким образом, мы доказали истинность закона. Однако проверим его физическую реализуемость. Ведь совершенно ясно, что (ab)(a’b’) 1. Поэтому проверим, какие выводы на самом деле следуют из заданных посылок. По алгоритму «Импульс – C» найдём полную единицу системы, а из неё сможем получить любые интересующие нас функции от необходимых аргументов.

М=(ab)(cd)(ef)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e) = (a’+b)(c’+d)(e’+f)(b’+d’)(d’+f’)(f’+b’)(a+c+e) ’ = ab’+cd’+ef’+bd+df+bf+a’c’e’ После занесения ’ в карту Карно и заполнения оставшихся пустыми клеток карты единицами получим:

= a’b’c’d’ef+a’b’cde’f’+abc’d’e’f’, откуда (a,b) = a’b’+ab = (a ~ b) (c,d) = c’d’+cd = (c ~ d) (e,f) = e’f’+ef = (e ~ f) Это отнюдь не согласуется с выводами Гаубера. Для большей наглядности проиллюстрируем закон замкнутых систем скалярными диаграммами. В формуле полной единицы М мы получили три набора. Изобразим эти наборы в виде скаляров:

М = 000011+001100+110000. Каждая единица набора изображается утолщённой линией.

импликация аналогична силлогистическому общеутвердительному функтору. ПоэтоF 000011 заданы очень жёсткие исходные условия, которые могут быть Рис. 2-2. выполнены лишь с некоторыми ограничениями. Исправим ошибки Гаубера – получим:

(a~b)(c~d)(e~f)(bd’)(df’)(fb’)(a+c+e) Закон замкнутых систем по Лобанову:

(a’b’)(c’d’)(e’f’) или в более компактном виде с испльзованием силлогистических функторов Закон замкнутых систем по Лобанову:

(a~b)(c~d)(e~f)EbdEdfEbf(a+c+e)AbaAdcAfe Аналогично выведем и импликативные законы логического умножения и сложения, не известные мировой классической логике. Следовательно, их резонно назвать Импликативными законами Лобанова. Простота алгоритмов «Импульс» и «Импульс-С» превращает дедуктивную логику в индуктивную.

Математическое доказательство импликативных законов настолько просто, прозрачно и примитивно, что нет никакого резона запоминать не только их, но и подавляющее большинство остальных логических законов. Школьники и студенты ни в коем случае не должны зубрить любые законы, но обязаны при необходимости уметь их выводить. Зубрёжка унижает Человека.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Импликативные законы Лобанова.

1.1. Левую часть импликации можно логически умножить на любую логическую переменную (аb) (асb) = (а'+b)(a'+c'+b) = ab'+a'+c'+b = 1, 1.2. Обе части импликации можно логически умножить на одну и ту же логическую переменную.

(ab)(асbс) = (а'+b)(a'+c'+bc) = = ab'+a'+c'+bc = 1, или AabА(ас)(bс).

1.3. Нельзя сокращать обе части импликации на (acbc)(ab) = (а'+с'+bс)(a'+b) = = ac(b'+c')+a'+b 1, или A(ac)(bc) Aab 1.

1.4. Любой логический сомножитель правой части импликации можно переносить в левую.

(abc)(асb) = (а'+bc)(a'+c'+b) = или Aa(bc)A(ac)b, Aa(bc)A(ab)c.

1.5. Нельзя в правой части импликации вводить 2.1 Левую и правую части импликации можно (ab)(abc) = (a'+b)(a'+bc) = ab'+a'+bc 1, логически сложить с одной и той же логической переменной. (ab) ((а+с)(Ь+с)) = = (а'+b)(a'c'+b+c) = ab'+a'c'+b+c = 1, 2.2. К правой части импликации можно добавлять любое логическое слагаемое. (ab)(а(b+с)) = = (а'+b)(a'+b+c) = ab'+a'+b+c = 1, 2.3. Из левой части импликации можно удалять любое логическое слагаемое.

((a+c)b)(аЬ) = (а'с'+b) (a'+b) = (а+с)b'+а'+b = 1, или A(a+c)bAab, A(a+c)bAcb.

2.4. Нельзя исключать общие логические слагаемые из левой и правой частей импликации.

((a+c)(b+c))(аb) = (a'c'+b+c)(a'+b) = ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Рассмотрим некоторые частные случаи импликативных законов. Попытаемся найти условия, при которых возможно сокращение общих множителей или исключение общих слагаемых.

(ac=bc)(ac)(bc)(a=b) = (ac=bc)(a’+c)(b’+c)(a=b)= = (acbc)+ac’+bc’+(a=b) == ac(bc)+(ac)’bc+ac’+bc’+ab+a’b’ = 1.

((a+c)=(b+c))(ac’)(bc’)(a=b) = ((a+c)(b+c))+ac+bc+(a=b) = =(a+c)(b+c)’+(a+c)’(b+c)+ ac+bc+(a=b) = = ab’c’+a’bc’+ac+bc+ab+a’b’ = 1.

Нам удалось найти такие условия. Смысл этих условий станет понятным при изучении силлогистики, когда мы докажем, что (xy) xy.

2.2. Практикум по логике суждений.

Прекрасным примером применения логики суждений для 2.2.1. Задачи Катречко С.Л.

доказательства законов в различных областях науки являются задачи, предложенные Сергеем Леонидовичем Катречко[8].

Речь идёт о таких науках как математика, физика, химия, грамматика, богословие и др. Катречко решает эти задачи на основе рассуждений. Такой подход развивает мышление, но он беспомощен с точки зрения математической логики. Зачем напрягать интеллект, когда прекрасно работают формальные аналитические и графические методы Русской логики. Алгоритм «Импульс» существенно упрощает выводы.

Задача 2.2.1.

Если равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, не равна 0, то оно движется неравномерно или непрямолинейно, так как известно, что если эта равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно и прямолинейно.

Проверим это утверждение. Введём следующие обозначеРешение.

ния:

– равнодействующая всех сил равна 0, Y – движение равномерно, Z – движение прямолинейно.

Тогда по алгоритму «Импульс» получим:

(xyz)(x’(y’+z’)) = (x’+yz)(x+y’+z’) = = x (y’+z’) +x+y’+z’ = x+y’+z’ 1.

Т.е. мы доказали несостоятельность данного доказательства, но не утверждения. Здесь в посылке x и yz связаны эквивалентностью (см. школьный учебник физики), а не импликативностью.

(x ~ yz)(x’(y’+z’)) = (xyz) + (x+y’+z’) = = x’yz+x(y’+z’)+x+y’+z’ = 1, что и требовалось доказать.

(x ~ yz)(x’(y’+z’)) = (xyz) + (x+y’+z’) = = x’yz+x(y’+z’)+x+y’+z’ = 1, что и требовалось доказать.

Задача 2.2.2.

Если все посылки истинны и рассуждение правильно, то заключение правильно. В данном рассуждении заключение ложно. Значит, или рассуждение неправильно, или не все посылки истинны.

– посылки истинны, Решение.

Y – рассуждение правильно, Z - заключение верно.

(xyz)z’(y’+x’) = (x’+y’+z)z’(y’+x’) = xy+z+y’+x’ = 1.

Задача 2.2.3.

Если в суффиксе данного полного прилагательного или причастия пишется два н, то они пишутся и в соответствующем наречии. Неверно, что в суффиксе данного наречия пишется два н. Следовательно, в суффиксе полного прилагательного или причастия, из которого образовалось наречие, пишется одно н..

– в причастии два н, Решение.

Y – в полном прилагательном два н, ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Z – в наречии два н.

((x+y) z)z’ x’y’ = (x’y’+z)z’ x’y’ = x’y’z’ x’y’ = x+y+z+x’y’ = 1.

Мы доказали даже более сильное утверждение.

Задача 2.2.4.

Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его (зло существует на Земле). Если бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Следовательно, неверно, что бог всемогущ и всеблаг..

– бог всемогущ, Решение.

Y – бог всеблаг, – зло существует, V – бессилен против зла, W – желает предотвратить зло.

u(u(v+w’))(xv’)(yw)(xy)’ = = u(u’+v+w’)(x’+v’)(y’+w)(xy)’ = u’+uv’w+xv+yw’+x’+y’ = 1.

Таким образом, мы чисто аналитически (математически) доказали, что бог не всемогущ и не всеблаг одновременно. Однако это заключение можно оспорить, если удастся доказать некорректность посылок.

Задача 2.2.5.

Если каждый раз в полдень солнце находится в зените и сейчас полдень, то сейчас солнце находится в зените..

– сейчас полдень, Решение.

Y – солнце в зените.

(xy)xy = (x’+y)xy = xyy = x’+y’+y = 1.

Однако обратное утверждение неверно:

(xy)yx = (x’+y)yx = yx 1.

Это заключение не согласуется со здравым смыслом.

Ошибка вызвана тем, что и Y связаны отношением эквивалентности, а не следования. Поэтому формальный вывод должен выглядеть так:

(x ~ y)xy = xyy = x’+y’+y = (x ~ y)yx = xyx = x’+y’+x = Задача 2.2.6.

Если нельзя получить воду, то неверно, что имеется в наличии водород и оксид магния. Если имеется углерод, но углекислого газа получить не удалось, то не было в наличии кислорода. Если имеется углекислый газ и вода, то можно получить углекислоту. Можно ли получить углекислоту, если имеется в наличии оксид магния, кислород, водород и углерод.

– нет воды, Решение.

Y – есть водород и оксид магния, Z – есть углерод, – есть углекислый газ, V – есть кислород, W – есть углекислота.

(xy’)(zu’v’)(ux’w)(yvzw) = (x’+y’)(z’+u+v’) (u’+x+w)(y’+v’+z’+w) = xy+zu’v+ux’w’+y’+v’+z’+w = 1.

Это означает, что углекислоту получить можно.

Задача 2.2.7. (18) Он сказал, что придёт, если не будет дождя. (а на его слова можно полагаться). Но идёт дождь. Значит, он не придёт.

– он придёт, Решение.

Y – нет дождя.

(yx)y’x’ = (y’+x)y’x’ = y’x’ = y+x’ 1.

Заключение ошибочно.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Задача 2.2.8. (19) Джонс утверждает, что не встречал этой ночью Смита. Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи.

Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Следовательно, убийцей был Смит.

– Джонс не встречал Смита, Решение.

’ – Джонс лжёт, т.е. он встречал этой ночью Смита, Y – Смит – убийца, Z – убийство было совершено после полуночи.

(x( y+x’))(y’xz)(z(y+x’))y = = (x’+y)(y+xz)(z’+y+x’)y = xy’+y’(x’+z’)+xy’z+y = 1.

Убийцей был Смит.

Задача 2.2.9. (23) Если элементарная частица имеет античастицу или не относится к числу стабильных, то она имеет массу покоя. Следовательно, если элементарная частица не имеет массы покоя, то она относится к числу стабильных.

– наличие античастицы, Решение.

Y – частица нестабильна, Z – наличие массы покоя.

((x+y)z)(z’y’) = (x’y’+z)(z+y’) = = (x+y)z’+z+y’ = xz’+yz’+z+y’ = 1.

Т.е. частица относится к числу стабильных.

Задача 2.2.10. (26) Прямые a и b или параллельны, или пересекаются, или скрещиваются. Если прямые a и b лежат в одной плоскости, то они не скрещиваются. Прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые a и b параллельны.

– прямые параллельны, Решение.

Y – прямые пересекаются, Z – прямые скрещиваются, – прямые лежат в одной плоскости.

(xy’z’+x’yz’+x’y’z)(uz’)uy’x = = (xy’z’+x’yz’+x’y’z)(u’+z’)uy’x = = (xy’z’+x’yz’+x’y’z)’+uz+u’+y+x = 1.

Эта задача может быть упрощена за счёт того, что z = (x+y)’:

(u(x+y))uy’x = (u’+x+y)uy’x = xy’ux = x’+y+u’+x = Следовательно, прямые a и b параллельны.

Дополнительно решим ещё одну задачу для заданных аргументов при изменённых условиях:

= (yu)y’ = (y’+u)y’ = y’ (u) = 1, т.е. нельзя сказать ничего определённого относительно плоскостей в том случае, когда прямые не пересекаются: « Возможно, прямые лежат в одной плоскости».

Задача 2.2.11. (28) Если философ – дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик.

Следовательно, он диалектик или дуалист.

– дуалист, Решение.

Y – материалист, Z – диалектик, – метафизик.

(xy’)(y’(z+u))u’(z+x) = (x’+y’)(y+z+u)u’(x+z) = xy+u’y’z’+u+x+z 1.

Следовательно, заключение неверно. А каков же правильный ответ? По алгоритму «Импульс – С» получим следующие результаты.

= (xy’)(y’(z+u))u’ = (x’+y’)(y+z+u)u’.

’ = xy+u’y’z’+u.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Из карты Карно получим = u’y’z+u’x’y. Откуда выводятся правильное заключение:

f(x,y,z) = x’y+y’z, т.е. философ – материалист или диалектик или то и другое вместе.

Задача 2.2.12. (34) Перед последним туром футбольного чемпионата сложилась турнирная ситуация, позволяющая утверждать следующее. Если «Динамо» проиграет свой последний матч, то в случае выигрыша «Спартака» он станет чемпионом. Если же «Спартак» выиграет матч и станет чемпионом, то «Торпедо» займёт второе место.

В последнем туре первыми стали известны результаты встреч с участием «Динамо» и «Спартака»: «Динамо» проиграло, а «Спартак» выиграл. Можно ли в этом случае, не дожидаясь результатов других встреч, утверждать, что «Спартак» стал чемпионом, а «Торпедо» заняло второе место?

– выиграет «Динамо», Решение.

B – выиграет «Спартак», C – «Спартак» – чемпион, – «Торпедо» на втором месте.

(a’bc)(bcd)a’bcd = ( a+b’+c)(b’+c’+d)a’b +cd = 1, т.е.

«Спартак» стал чемпионом, а «Торпедо» заняло второе место.

Задача 2.2.13. (37) Докажите следующую теорему: если прямая l, принадлежащая плоскости P, не перпендикулярна прямой n, то она не перпендикулярна проекции m прямой n на плоскость P, если верна следующая теорема: если прямая l принадлежит плоскости P и перпендикулярна проекции m прямой n на плоскость P, то прямая l перпендикулярна прямой n.

– l перпендикулярна m, Решение.

Y – l перпендикулярна n.

(xy)(y’x’) = (x’+y)(y+x’) = 1.

Мы доказали теорему, не привлекая никаких познаний из стереометрии и даже не зная о существовании этой науки.

Задача 2.2.14. (38) Известно, что, если данный многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность.

1. Данный многоугольник правильный, следовательно, в него можно вписать окружность.

2. В данный многоугольник нельзя вписать окружность, следовательно, он неправильный.

3. В данный многоугольник можно вписать окружность, следовательно, он правильный.

Проверить эти утверждения.

– многоугольник правильный, Решение.

Y – в многоугольник можно вписать окружность.

1. (xy)xy = (x’+y)xy = xyy = x’+y’+y = 1.

2. (xy)y’x’ = (x’+y)y’x’ = x’y’x’= x+y+x’ = 1.

3. (xy)yx = (x’+y)yx = yx y’+x 1, т.е. третье утверждение ложно. Это легко докажет школьник, знающий геометрию(в любой треугольник можно вписать окружность или вокруг окружности можно описать любой многоугольник), но нам эти познания не потребовались.

Задача 2.2.15. (39) Если число делится на 4, то оно чётное. Число – чётное. Значит, оно делится на 4.

– число делится на 4, Решение.

Y – число чётное.

(xy)yx = (x’+y)yx = yx = y’+x 1. Нет, не всякое чётное число делится на 4.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Задача 2.2.16.

Если целое число больше 1, то оно простое или составное. Если целое число больше 2 и чётное, то оно не является простым. Следовательно, если целое число больше 2 и чётное, то оно составное (здесь присутствует скрытая посылка).

x – число больше Решение.

y – число простое z – число составное u – число больше 2 и чётное.

Скрытая посылка заключена в том, что число может быть или простым, или составным, третьего не дано, т.е. y’ = z.

(x(y+z))(uy’)(y’=z)(uz) = = (x’+y+z)(u’+y’)(y’=z)(u’+z) = = xy’z’+uy+yz+y’z’+u’+z = Заключение правильное: число составное.

Задача 2.2.17.

Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание.

x – пошёл в кино Решение.

y – получил двойку z – подготовил домашнее задание.

(x’y’)(zx’)yz’ = (x+y’)(z’+x’)yz’ = x’y+xz+y’+z’ = 1.

Т.е. школьник не подготовил домашнее задание.

Задача 2.2.18.

Я люблю Бетти или я люблю Джейн. Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн. Следовательно, я люблю Джейн..

х – люблю Бетти Решение.

у – люблю Джейн (x+y)(xy)y = (x+y)(x’+y)y = yy = y’+y = 1.

Я люблю Джейн.

Задача 2.2.19.

Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является таковым, то рассуждение не является правильным.

Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.

– аргументы верны Решение.

Y – тезис верен Z – рассуждение верно.

(xy’z’)xzy = (x’+y+z’)xzy = xyzy = x’+y’+z’+y = 1.

Следовательно, его тезис является истинным.

Задача 2.2.20.

Докажите, что если натуральное число оканчивается на 0 и сумма цифр кратна 3, то само это число кратно 15. Используйте при этом следующие посылки: если число оканчивается на 0, то оно кратно 5; если сумма цифр числа кратна 3, то число кратно 3; если число кратно 3 и кратно 5, то оно кратно 15.

– число кратно Решение.

Y – число кратно Z – число кратно – число оканчивается на V – сумма цифр числа кратна 3.

(ux)(vy)((xyz)(uvz) = = (u’+x)(v’+y)(x’+y’+z)(u’+v’+z) = ux’+vy’+xyz’+u’+v’+z = 1.

Т.е., если натуральное число оканчивается на 0 и сумма цифр кратна 3, то само это число кратно 15.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Задача 2.2.21.

Если студент знает логику, то он сможет проверить выводимость формулы из посылки. Если студент не знает логику, но он прослушал курс «Логика» и освоил математический анализ в логике суждений, то он также сможет установить выводимость формулы. Значит, если студент или знает логику, или прослушал курс «Логика» и освоил матанализ в логике суждений, то он может проверить выводимость формулы из посылок.

– знает логику Решение.

Y – сможет проверить выводимость формулы из посылки Z – прослушал курс логики и освоил матанализ в логике суждений.

(xy)(x’zy)((x+x’z)y) = (x’+y)(x+z’+y)(x’z’+y) = = xy’+x’zy’+x’z’+y = 1.

Мы доказали, что если студент или знает логику, или прослушал курс "Логика" и освоил матанализ в логике суждений, то он может проверить выводимость формулы из посылок.

Задача 2.2.22.

Если каждое действительное число есть алгебраическое число, то множество действительных чисел счётно. Множество действительных чисел несчётно. Следовательно, не каждое действительное число есть алгебраическое число.

– действительное число Решение.

Y – алгебраическое число Z – счётное множество чисел.

((xy)(xz))(xz)’(xy)’ = = ((x’+y)(x’+z))(x’+z)’(x’+y)’ = (xy’+x’+z)(x’+z)’xy’ = = (x’+y)xz’+x’+z +xy’ = xyz’+x’+z+xy’ = 1.

Следовательно, не каждое действительное число есть алгебраическое число.

Задача 2.2.23.

Курс акций падает, если процентные ставки растут. Большинство владельцев акций разоряется, если курс акций падает. Следовательно, если процентные ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется.

– курс акций падает Решение.

Y – процентные ставки растут Z – акционеры разоряются.

(yx)(xz)(yz) = (y’+x)(x’+z)(y’+z) = = x’y+xz’+y’+z = Если процентные ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется.

Задача 2.2.24.

Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица.

Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастёт. Следовательно, правительственные расходы не возрастут.

– капиталовложения постоянны Решение.

Y – правительственные расходы растут Z – растёт безработица – снижаются налоги.

(x(y+z))(y’u)(uxz’)y’ = = (x’+y+z)(y+u)(u’+x’+z’)y’= xy’z’+y’u’+xzu+y’ 1.

Следовательно, заключение неверно.

Задача 2.2.25.

Проверьте правильность рассуждения средствами логики суждений: «Если человек осуждён судом, то он лишается избирательных прав. Если человек признан невменяемым, то он также лишается избирательных прав. Следовательно, если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осуждён судом».

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая – осуждён судом Решение.

Y – лишён избирательных прав Z – невменяем.

(xy)(zy)(y’x’z’) = = (x’+y)(z’+y)(y+x’z’) = xy’+zy’+y+x’z’ = 1.

Если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осуждён судом".

Задача 2.2.26.

Если Джон – автор этого слуха, то он глуп или беспринципен.

Следовательно, если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого слуха.

– Джон – автор слуха Решение.

Y – Джон глуп Z – Джон беспринципен.

(x(y+z))((y’+z’)x’) = (x’+y+z)(yz+x’) = = xy’z’+yz+x’ 1, т.е. Джон даже в этом случае может распускать слухи.

Задача 2.2.27.

Если в параллелограмме один угол прямой, то диагонали такого параллелограмма равны. Следовательно, при несоблюдении этого требования диагонали параллелограмма не равны.

– в параллелограмме один угол прямой;

Решение.

Y - диагонали параллелограмма равны.

(xy)(x’y’) = (x’+y)(x+y’) = xy’+x+y’ = x+y’ 1, т.е. мы утверждаем, что заключение неверно. Однако любой школьник, любящий геометрию, скажет, что мы ошибаемся. И он будет прав: дело в том, что прямоугольники и параллелограммы с равными диагоналями соединены не причинно-следственными связями, а функцией эквивалентПрактикум по логике суждений.

ности. Нельзя применять логику бездумно. Поэтому решение должно быть таким:

(xy)(x’y’)=(x’y’+xy)(x+y’)=xy’+x’y+x+y’ = 1, что и требовалось доказать.

Задача 2.2.28.

Недавно вышла из печати "Большая книга головоломок". Там есть задача "Напиток на десерт": Абигейл, Бриджит и Клаудия часто обедают в ресторане.

1. Каждая из них после обеда заказывает чай или кофе.

2. Если Абигейл заказывает кофе, то Бриджит заказывает то, что заказывает Клаудия.

3. Если Бриджит заказывает кофе, то Абигейл заказывает то, что Клаудия не заказывает.

4. Если Клаудия заказывает чай, то Абигейл заказывает то же, что и Бриджит.

Кто, по-вашему, всегда заказывает один и тот же напиток после обеда?" Введём следующие обознаения:

Решение.

a – Абигейл, b – Бриджит, c – Клаудия, Тогда все четыре посылки будут описаны следующими уравнениями.

[a(k’+k)] [b(k’+k)] [c(k’+k)] = abc.

ak(ckbk) (ck’bk’) = (ak)’+(c’+k’+bk)(c’+k+bk’) = = a’+k’+c’+b.

bk(ckak’) (ck’ak) = (bk)’+(c’+k’+ak’)(c’+k+ak) = b’+k’+c’.

ck’(bkak) (bk’ak’) = (ck’)+(b’+k’+ak)(b’+k+ak’) = = a+b’+c’+k.

Полная единица системы М равна логическому произведению всех четырёх посылок:

= abc(a’+b+c’+k’)(b’+c’+k’)(a+b’+c’+k).

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая Вычислять это произведение муторно, поэтому воспользуемся формулой де Моргана и картой Карно.

’ = a’+b’+c’+ab’ck+bck+a’bck’.

Занесём ’ = a’+b’+c’+ab’ck+bck+a’bck’ в карту Карно в виде нулей, а в свободные клетки впишем единицы. Тогда рабочие наборы после минимизации дадут следующий результат:

= abck’, т.е. все женщины после обеда пьют чай.

2.2.2. Задачи Р.М. Смаллиана.

№28(с.27).

В этой задаче два персонажа: А и В. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А высказывает следующее утверждение: «По крайней мере один из нас лжец». Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?

Введём обозначения:

Решение.

b – B – рыцарь, b’ – В - лжец.

= ab’ a’(a’+b’)’ = ab’+0 = ab’, т.е. А – рыцарь, В – лжец.

№29(с.27).

Предположим, что А говорит: «Или я лжец, или В рыцарь». Кто из двух персонажей рыцарь, а кто лжец?

= a(a’b)a’(а’~в) = ab+a’b = b, т.е. В – рыцарь. Отсюда А Решение.

тоже рыцарь(см. первую половину формулы), т.к. он не мог бы сказать правду про рыцаря и про себя-лжеца.

№34(с.28).

Перед нами три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Условимся двух островитян называть однотипными, если они оба рыцари или оба лжецы.

Пусть А и В высказывают следующие утверждения:

В: А и С однотипны.

Кто такой С: рыцарь или лжец?

Строго говоря, первая посылка должна быть представлена Решение.

в виде ab’a’в, поскольку не могут быть истинны одновременно два взаимоисключающих суждения. Но мы с Вами доказали следующие соотношения:

ab’ a’в = ab’(a+b’)+(a’+b)a’b = ab’+a’b = а в.

ab a’в’ = ab(a+b)+(a’+b’)a’b’ = ав+a’b’ = а~в.

Поэтому описание посылок будет простым, решение тоже прозрачным:

= (ab’+a’b)[b(ac+a’c’)+b’(ac’+a’c)] = ab’(ac’+a’c)+a’b(ac+a’c’) = c’(ab’+a’b), Т.е. С – лжец. Решение уложилось в одну строчку.

№35(с.28).

Перед нами снова трое островитян А, В и С. А высказывает утверждение: «В и С однотипны». Кто-то спрашивает у С: «А и В однотипны?» Что ответит островитянин С?

Полная единица системы Решение.

= a(bcb’c’)a’(bc’b’c) = abc+ab’c’+a’bc’+a’b’c.

Решая это уравнение относительно c (см. раздел 11.3), получим c = ab+a’b’, т.е. С ответит: «А и В однотипны».

2.2.3. Задачи неизвестного автора.

Тест на логическое мышление Для взрослых и очень умных детей.

Автор неизвестен.

© Веб-версия Детей на Куличках Тест состоит из 30 пунктов. Каждый пункт имеет вид:

– Условие a. первое следствие b. второе следствие c. третье следствие ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая "Условие" - это условие задачи, некоторые обстоятельства, которые считаются ранее каким-то образом доказанными и всегда истинными.

"Следствие" - это логическое следствие из условия. Из трех следствий одно и только одно правильно. Ваша задача - проверить свою способность отделять правильные логические следствия от неправильных.

Тест не требует специальных математических знаний. Все слова в тесте надо толковать так, как это делается в обычном повседневном русском языке, но не так, как в математике или иной специальной области. Все слова в тесте надо толковать буквально, никаких метафор или намёков в тесте не предусмотрено.

В тесте вы можете обнаружить незнакомые слова, такие, как "куздра". Эти слова предназначены для того, чтобы оценить вашу способность к логическому мышлению, отделив ее от других ваших знаний об окружающем мире. Считайте, что эти слова могут означать все, что угодно, но так, чтобы фраза в условии была правдивой по смыслу. Например, если написано, что "куздра бежит", это означает, что куздра действительно умеет бегать и, по-видимому, имеет ноги или лапки, это может быть к примеру человек, животное или шагающий механизм:) Иногда в тесте встречаются противоположные по смыслу слова и выражения, например "умеют" и "не умеют", "большой" и "маленький" и т.п. Во всех таких случаях предполагается, что промежуточные варианты ("умеет, но плохо", "средний") не рассматриваются.

1. Шмурдик боится как мышей, так и тараканов a. шмурдик не боится тараканов;

b. шмурдик боится мышей;

c. шмурдик боится мышей больше, чем тараканов, но и тараканов боится тоже.

Введём следующие обозначения:

Решение.

х – шмурдик, у – боится мышей, z – боится тараканов. Тогда все варианты будут представлены следующим образом.

a) (xyz)(xz’) = (x’+yz)(x’+z’) = x(y’+z’)+x’+z’ 1, т.е. данный вариант следствия ошибочен.

b) (xyz)(x y) = x(y’+z’)+x’+y = xy’+xz’+x’+y = 1, т.е.

второе следствие истинно.

c) промежуточные варианты ("больше") не рассматриваются.

2. Известно, что грымзик обязательно или полосат, или рогат, или то и другое вместе.

a. грымзик не может быть безрогим;

b. грымзик не может быть однотонным и безрогим одновременно;

c. грымзик не может быть полосатым и безрогим одновременно.

х – грымзик, у – полосат, z – рогат.

Решение.

a) (xy+z)(xz) = (x’+y+z)(x’+z) = xy’z’+x’+z 1, т.е.

неверно.

b) (xy+z)(x(y’z’)’) = xy’z’+(x’+y+z) = xy’z’+x’+y+z = 1, т.е.

следствие истинно.

c) (xy+z)(x(yz’)’) = xy’z’+x’+y’+z 1, следствие ошибочно.

3. Если запырку отравить, то она сразу начнёт пускать пузыри.

a. если запырка пускает пузыри, то она была отравлена;

b. если запырку не отравить, то она не будет пускать пузыри;

c. если запырка не пускает пузыри, то она не отравлена.

a. не бывает охлотушек, которые не умеют играть в шашки;

4. Все охлотушки умеют играть в шашки b. все, кто умеет играть в шашки, являются охлотушками;

c. не бывает охлотушек, которые умеют играть в шашки.

5. Дубараторы бывают либо хорошими, либо плохими.

Неправда, что этот дубаратор не плохой.

a. этот дубаратор хороший;

b. этот дубаратор средненький;

c. этот дубаратор плохой.

6. В природе обнаружено более десятка тиалей. Все обнаруженные тиали сплошь красного цвета.

a. по крайней мере некоторые из тиалей красного цвета;

b. по крайней мере некоторые из тиалей зеленые;

c. некоторые тиали (из тех, что уже обнаружены) могут оказаться не красными.

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая 7. Существуют шакалы с больной мухропендией.

a. не всякий шакал может похвастаться здоровой мухропендией;

b. не всякий шакал может похвастаться больной мухропендией;

c. существуют шакалы со здоровой мухропендией.

8. Неправда, что наша тумельница большая и круглая.

a. наша тумельница маленькая и некруглая;

b. наша тумельница маленькая, или некруглая, или то и другое вместе;

c. наша тумельница маленькая, или некруглая, но не то и другое вместе.

9. Джон всегда либо урдит, либо мурлит.

a. Джон иногда урдит;

b. Джон иногда урдит, а иногда мурлит;

c. Джон никогда не занимается одновременно и урдением, и мурлением.

10. Журналисты наврали, что бздыш болотный безграмотен и нахален.

a. на самом деле бздыш болотный образован и тактичен;

b. на самом деле бздыш болотный безграмотен, но не нахален;

c. те журналисты солгали.

11. Если тряхнуть бурдылькой, то начнется стрельба.

Бурдылькой тряхнули.

a. стрельба уже началась;

b. стрельба начнется когда-нибудь;

c. стрельба начнется когда-нибудь или уже началась.

12. Если тряхнуть перпелькой, то немедленно начнется стрельба. За последний час стрельбы не было.

a. в течении последнего часа перпелькой не трясли;

b. в течении последнего часа перпелькой трясли;

c. а нечего было трясти чем попало.

13. Огромный бутряк напугал деревенского старосту.

a. старосте приснился ночной кошмар;

b. староста попробовал некачественной выпивки;

c. староста был напуган.

14. Если почесать угубку за ухом, он начнет довольно шипеть. Если угубок довольно зашипит, то молоко поблизости скиснет.

a. если не чесать угубка за ухом, то молоко поблизости не скиснет;

b. если почесать угубка за ухом, молоко поблизости скиснет;

c. молоко вдалеке никогда не скисает от чесания угубков.

15. Всех, кто громко обуривает, обязательно съедают.

Все ухмырки постоянно громко обуривают.

a. все, кто громко обуривает,- ухмырки;

b. всех ухмырков обязательно съедают;

c. некоторых ухмырков не съедают.

16. В реках близ Тимуграда обитает и вобла, и щука.

a. в реках близ Тимуграда не бывает воблы;

b. в реках близ Тимуграда обитает щука;

c. в реках близ Тимуграда обитает только вобла и щука.

17. Все пуфелки радуют умом или красотой, а иногда даже и тем, и другим.

a. пуфелка не может быть глупой;

b. не бывает глупых некрасивых пуфелок;

c. не бывает умных красивых пуфелок.

18. Когда вы спите, вы всегда мухряете.

a. если вы мухряете, значит, вы спите;

b. если вы не спите, вы не мухряете.

c. если вы не мухряете, значит, вы не спите.

19. Все болельщики любят ыгу.

a. не бывает болельщиков, которые не любят ыгу;

b. все, кто любит ыгу, болеет за кого-нибудь;

c. не бывает болельщиков, которые любят ыгу.

20. Есть только два вида здунцов: красные и синие. Что касается этого конкретного здунца, то он оказался вовсе не синим.

a. этот здунец синий;

b. этот здуней синекрасный;

c. этот здунец красный.

21. Найдено множество останков быдлозавров. Но все они очень плохо сохранились.

a. некоторые останки быдлозавров очень плохо сохранились;

b. по крайней мере некоторые останки быдлозавров в отличном состоянии;

c. некоторые найденные останки быдлозавров сохранились хорошо.

22. Некоторые лапухондрии не стабильны.

a. не всякая лапухондрия не стабильна;

b. существуют стабильные лапухондрии;

ЧАСТЬ 2 Математическая логика суждений и предикатов. * Глава вторая c. не всякая лапухондрия стабильна.

23. Говорили, что дукни и острые, и твёрдые. Оказывается, это вовсе не так.

a. на самом деле дукни тупые и мягкие;

b. на самом деле дукни тупые или мягкие или то и другое сразу;

c. на самом деле дукни тупые или мягкие, но не то и другое сразу.

24. Кафля всегда либо бегает, либо дышит.

a. Кафля дышит на бегу;

b. Кафля не дышит стоя;

c. Кафля не дышит на бегу.

25. Информация о том, что завтрашнее совещание будет посвящено альным утятам, оказалась ложной.

a. информация оказалась ложной;

b. совещание будет посвящено не утятам;

с. совещание будет посвящено утятам, но вовсе не альным.

26. Если облить уузку водой, она испортится сразу же.

Эта уузка не испорчена. Сейчас я оболью ее водой.

a. не надо обижать уузку;

b. уузка испортится;

c. уузка не испортится.

27. Если облить уузку водой, она испортится сразу же.

Эта уузка не была испорчена.

a. уузку не обливали;

b. уузку обливали;

c. да отстаньте вы от уузки.

28. Вася бросил проходить этот тест, ответив только на 28 вопросов.

a. Вася устал, проходя тест;

b. Вася заколебался, проходя тест;

c. Вася не закончил тест.

29. Если покормить бушку, она успокоится. Спокойную бушку можно доить.

a. если бушку не кормить, ее нельзя будет доить;

b. бушку можно доить, но не кормить, она сама чего-нибудь найдет и съест;

c. после кормления бушку можно доить.

30. Если обрадовать бушку, она даст молока. Бушка обрадуется, если дёрнуть ее за хвост.

a. если дёрнуть бушку за хвост, она даст молока;

b. никто не обрадуется, если дёрнуть его за хвост;

Надеюсь, что такая логика понравится даже тем учащимся, c. если не дёрнуть бушку за хвост, она не даст молока.

которые не любят математику, грамматику, физику, химию и другие науки, поскольку логика легко и просто решает задачи всех научных дисциплин.

Что касается задач неизвестного автора, то с точки зрения Русской логики они примитивны и свидетельствуют о безграмотности анонимного логика, но одновременно и о его изобретательности, стремлении к нешаблонному мышлению.

Это самые ценные интеллектуальные качества инженера и учёного. Задачи Анонима интересны для эвристического решения, когда нужно «шевелить извилинами». Формально, на основе Русской логики их может решить любой идиот. Именно поэтому решены только первые две задачки. С другой стороны, зачем напрягать мышление, если формалистика просто и быстро выдаёт результат.

Глава третья В этом фрагменте Силлогистика.

из «Фауста» как в каУчиться надо по системе.

пле воды отразилась вся классическая силВаш ум, не тронутый доныне, логистика, вся логиНа них приучат к дисциплине, ка Аристотеля. Этот раздел посвящён так называемому обобЕдиным махом наугад, щённому (интегрироКак люди пьют или едят, ванному) анализу и синтезу силлогизмов.

Едва ли подобные инВ мозгах, как и в мануфактуре, тегрированные оценПосылка не по той фигуре ки потребуются при решении проблем исГете «Фауст») кусственного интеллекта (ИИ), поэтому интегрированную силлогистику можно просмотреть «по диагонали».

Под силлогистикой понимается раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Силлогизм – это логическая конструкция, состоящая из двух посылок, связанных общим термином, и следующего из этих посылок заключения.

В [9] утверждается, силлогизм обязательно содержит 3 термина, один из которых – средний. В дальнейшем покажем, что терминов может и больше.

Классический пример силлогизма с общим (средним) термином «люди»:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Сократ смертен.

В жизни такие силлогизмы встречаются чрезвычайно редко. Гораздо чаще мы сталкиваемся с такими наборами посылок, из которых вывести заключение значительно сложнее.

Рассмотрим некоторые примеры подобных силлогизмов.

В книге Бахтиярова К.И. «Логические основы компьютеризации умозаключений» приводится тест Ф. Джонсон-Лэрда и М. Стидмена:

Ни один химик не есть пчеловод.

Некоторые пчеловоды - художники.

Некоторые художники - не химики.

Такое заключение должно следовать, по мнению авторов, из данных посылок. Тестирующие весьма огорчились, что с этим простым заданием справились лишь 8 человек из 20. На самом же деле задачку не решил никто, в том числе и тестирующие профессора. Ответ совершенно иной. Западные преподаватели в принципе не могли решить данный силлогизм.

Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 –768 с.) на стр.194 решает силлогизм Все люди разумны.

Некоторые животные – люди.

Некоторые животные – разумны.

«Провокационный» силлогизм автора.

Все люди смертны.

Некоторые люди неграмотны.

Некоторые смертные неграмотны.

В соответствующих разделах мы рассмотрим и проверим все вышеприведённые примеры.

Троичная логика.

При аналитическом описании базисов силлогистики приходится использовать троичную логику. Эту логику представим следующими базисными операциями: инверсией, конъюнкцией и дизъюнкцией [3].

Таблица базисных функций 3-значной логики Базисные функции определяются следующие соотношеРис. 2-3. ниями:

Базисные функции определяются следующие соотношениями:

&Y = min(,Y) +Y = max(,Y) Минимизация логических функций от двух аргументов в троичной логике несущественно отличается от аналогичной операции в булевой алгебре. Используя свойство 1+i=1, мы, например, имеем право приводить выражения типа xy+i(x’+y’) к виду xy+i.

Базисы силлогистики.

Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворённость как своим несоответствием Аристотелевой логике, так и нечёткостью описания с точки зрения математической логики. Введение кванторов не разрешило этих проблем, поскольку кванторы являются просто мнемоникой. Это называется «поменяли шило на мыло»: вместо силлогистических общеутвердительного и частноутвердительного функторов А, I ввели квантор всеобщности и квантор существования.

Рассмотрим вначале логику непосредственных умозаключений[9]. Для выражения любого умозаключения или поБазисы силлогистики.

сылки достаточно двух конструкций (в скобках представлена краткая мнемоническая форма записи суждений):

1)Все суть Y(xy);

2)Некоторые суть Y(Ixy);

Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения (силлогистических функтора или квантора):

1)Все суть Y(xy);

2)Ни один не есть Y(Exy);

3)Некоторые суть Y(Ixy);

4)Некоторые не суть Y(Oxy).

Из диаграмм Лобанова с помощью таблиц истинности на основе классического синтеза логических функций могут быть тривиально получены следующие соотношения [23]:

xy = x’+y (1) Exy = x’+y’ (2) Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому можно найти при внимательном прочтении фундаментальной, основополагающей работы Порецкого П.С.[45]. Не знать её или не разобраться в ней для логика (для математика тем более) так же постыдно, как для школьника не знать таблицу умножения. Используя метод представления общеутвердительного функтора как пересечения множеств Х и Y по Порецкому, получим следующий результат:

xy (x = xy) = xy + x’(xy)’ = xy + x’(x’ + y’) = xy + x’ = x’ + y.

Аналогично выводится и соотношение для Exy:

Exy (x = xy’) = xy’+x’(xy’)’ = xy’+x’(x’+y) = xy’+x’ = x’+y’.

Кстати говоря, из соотношения xy = x’+y = x y следует и объяснение физического смысла импликации. Поскольку высказывание «Все Х суть Y» эквивалентно импликации «Из истинности Х следует истинность Y», постольку эквивалентны и их аналитические представления. Действительно, высказывания «Все люди талантливы» и «Если ты человек, то ты талантлив» с точки зрения здравого смысла означают одно и то же.

Отсюда же следует и вывод о бессмысленности разделения логики на силлогистику и логику суждений.

Что касается суждений Ixy, Oxy, то здесь сложилась спорная ситуация. Во-первых, ни в одном источнике нет аналитического представления силлогистического функтора (квантора[1, 9]) Ixy, т.е. фактически нет аналитического описания базиса силлогистики. Это и понятно: для решения данной задачи требуется многозначная логика. В классической силлогистике все авторы стремились использовать двузначную логику.

Во-вторых, здравый смысл и булева алгебра утверждают, что Oxy =(Ixy)’, а в традиционной логике Oxy = (xy)’ и Ixy = (Exy)’, что отнюдь не бесспорно и не убедительно. Однако примем на веру эти формулы, поскольку именно их рекомендуют для запоминания студентам.

На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy, Oxy:

Ixy = (Exy)’ = xy (3) Oxy = (xy)’ = xy’ Прежде всего, эти соотношения противоречат друг другу.

По определению «Некоторые Х суть Y» и «Некоторые Х не суть Y» взаимно инверсны, т.е. Ixy = (Oxy)’, Oxy = (Ixy)’. А из приведённых формул следует эквивалентность суждений «Некоторые Х не суть Y» и «Некоторые Х суть не-Y», что совсем не соответствует действительности. Кроме того, частноотрицательное суждение вообще не имеет самостоятельного смысла, поскольку является тривиальным отрицанием частноутвердительного высказывания.

Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера «правильных» модусов EIO 1-й - 4-й фигур, EO, OO 3-й фигуры и I, EO 4-й фигуры также подтвердила всю несостоятельность соотношений Ixy, Oxy. Аналитический метод контроля силлогизмов дал такие же результаты.

Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения (3), из которого следует, что, безусловно, существуют лишь ситуация x=y=1. Поскольку логические аргументы представляют собой скаляры, максимальная длина которых не может превышать «полной единицы» (универсума), т.е. x+x’=1, введём понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера. Необходимо отметить, что впервые геометрическую интерпретацию (интервальный метод изображения множеств) силлогистических функторов применил Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777гг.), немецкий философ, математик, физик и астроном. Однако он допустил ряд ошибок, главной из которых явилось отсутствие фиксации универсума. Эта ошибка на несколько столетий похоронила идею математической силлогистики.

На двумерных диаграммах Венна невозможно отобразить всевозможные размещения нескольких множеств: теряется наглядность. А на одномерных диаграммах Лобанова этой проблемы не существует. Это делает возможным анализ многоаргументных соритов и силлогизмов.

Из рисунка видно, что такая "логика" не имеет никакой практической ценности. "Бытовой" логике, вероятно, более соответствует нижеприведённая скалярная диаграмма.

Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересечения множеств и Y, но и отмечает различные ситуации этого пересечения. Все аналитические соотношения получены на основе трёхзначной логики.

B Аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комбинация понятий x,y, лишь бы пересечение этих понятий не было пустым[1,49]. Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют следующие скалярные диаграммы Вновь введённые скалярные диаграммы отличаются от диаграмм Ламберта[49] следующими принципиальными характеристиками:

1)наличие фиксации универсума;

2)размещение силлогистических функторов xy, Еxy, Ixy на двух и более, а не на одном уровне;

3)возможность "дробного" (разрывного) представления понятия в пределах универсума;

4)возможность графической и аналитической интерпретации результатов анализа и синтеза силлогизмов.

Наличие даже одного из перечисленных отличий привело к переименованию кругов Эйлера в диаграммы Венна [10]. Вполне естественно, что вновь введённые скалярные диаграммы получили название диаграмм Лобанова. Справедливости ради следует отметить, что скалярные диаграммы впервые применил Лейбниц [12, стр. 601], но, как и его ученик, Ламберт, не сумел их использовать для аналитического описания функторов и синтеза заключений в силлогизмах.

На рисунке показан процесс перехода от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова и синтез по ним аналитического описания силлогистических функторов xy, Exy, Ixy.

Переход от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова и синтез силлогистических функторов Аху, Еху, 1ху.

Из полученного аналитического выражения для xy следуют далеко идущий вывод: нет логики суждений и логики предикатов, а есть просто общая логика. Приведём пример.

Если ты – математик(х), то ты – человек(m) Все математики(х) – людн(m) Если ты – человек(m), то ты талантлив(у) Все люди(m) талантливы(у) Если ты – математик(х), то ты талантлив (у) Все математики(х) талантливы(y) Любая кухарка, сравнив левую и правую половину таблиx y = Axy цы, скажет академику-неучу о двух силлогизмах: «Это что в лоб, что по лбу». А мы подтвердим, что импликация из логики суждений и общеутвердительный квантор из логики предикатов тождественны. Значит, логика суждений и силлогистика – синонимы.

Много разговоров ведётся по поводу так называемых парадоксов материальной импликации: из ложной посылки можно вывести какое угодно заключение. Но из скалярной диаграммы для xy, которая эквивалентно отображает импликацию x y, видно, что x’ iy, т.е. из x’ следует y только с некоторой вероятностью, но никак не безусловно.

С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны многие логики. В работе [5] автор утверждает, что "научное употребление слова "некоторые" совпадает с общеразговорным", т.е. с бытовым, а не аристотелевским. Кроме того, Васильев Н.А. считает, что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением. Он также заявляет: "В математике так называемые частные суждения сводятся... к общим, и она прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "некоторые". К этому же должна стремиться и всякая наука... Частное суждение нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего суждения, а как особый вполне самостоятельный вид суждения, вполне координированный с общими суждениями, исключающий их и исключаемый любым из них… Частноутвердительное и частноотрицательное суждение суть одно суждение, а не два". С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться. Да и здравый смысл просто бунтует против Аристотелевой трактовки частноутвердительного и частноотрицательного суждений.

Имеет некоторый практический смысл и такая трактовка суждения Ixy, как представленная на скалярной диаграмме.

1. Традиционное представление этого суждения изобраВсе x суть y(Axy).

жено на скалярной диаграмме, по которой заполнена таблица истинности.

люди смертны". Это справедливо при условии, что "мир» (универсум) - все живые существа, ство, что аргументами во всех силлогистических функторах (кванторах) являются множества, не может множество Y быть одновременно и равно множеству, и больше этого множества. Возможно, Аристотель пытался искать заключения в силлогизмах для случаев полного отсутствия информации о мощности аргументов-множеств. При решении задач ИИ такая ситуация недопустима. Однако сохраняя традиции класЧАСТЬ 2 * Глава третья Силлогистика.

сической логики, все базисы xy, Exy, Ixy будут рассматриваться без учёта количественных характеристик терминов.

3. Третий вариант суждения xy изображен на скалярных диаграммах. По cравнению со 2-м вариантом здесь добавлено суждение «y эквивалентно универсуму».

Для ситуации на рисунке под символом Y3 справедливо высказывание "Все люди владеют словом". Если весь «мир» живые существа, то понятия аргументов не являются решающими.

1. Классическое представление Exy изображено на скалярНи один x не есть y(Exy).

ных диаграммах.

2. Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.

Лобачевский Н.И. создал «воображаемую геометрию», с которой не согласится любой здравомыслящий человек.

Выдающийся русский математик с мировым именем М.В. Остроградский дал такой отзыв об этой геометрии «Всё, что я понял в геометрии г–на Лобачевского, ниже посредственного». Все русские учёные отвергли геометрию Лобачевского. Даже великий русский писатель Достоевский не принял этих измышлений. «Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостаёт и сего последнего», - писал неизвестный рецензент, По образу и подобию «великого» геометра не менее «великий»

логик Васильев Н.А. разработал «воображаемую логику»

Иллюстрацией для этого варианта служит высказывание "Некоторые люди(x) - мудрые люди(y)"("мир" - люди). Так могли выразиться только телезвезда, академик (Нобелевский или Шнобелевский лауреат) или любой член команды телезнатоков. Правильным является лишь высказывание «Все мудрые люди – часть Человечества». Однако тем не менее из таблицы получим соотношение:

2. Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке..

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+y+ix'y'.

После минимизации формула примет вид Ixy = x+y+ix' = x+y+iy'.

Здесь метод Порецкого бессилен, т. к. он рассчитан лишь на описание общеутвердительных 3. Третий вариант суждения Ixy представлен на рисунке. Этот базис соответствует Аристотелевскому [49].

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = xy+i(x'+y') = xy+i.

4. Четвёртый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

Этот базис получил название несимметричного.

Ситуация на рисунке под символом Y1 иллюстрируется высказыванием "Некоторые юристы(x) – выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические вузы не выпускают).

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+y'+ix'y = x+y'+iy 5. Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

Ситуация на рисунке под символом Y3 иллюстрируется высказыванием "Некоторые люди(x) суть неговорящие существа(y)" (не - люди тем более не разговаривают). Универсум - "живые существа". Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+ix' = x+i.

6. Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y 7. Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:

8. Восьмой вариант функтора Ixy (базис Васильева Н. А.).

9. Девятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) = xy+x'y'+i Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конкретного силлогизма. Нередко частноутвердительное суждение бездумно употребляется вместо общеутвердительного. Если для суждения "Некоторые животные - млекопитающие" мы будем использовать любой симметричный частноутвердительный базис, то придём к абсурдному заключению "Некоторые млекопитающие - животные", поскольку на самом деле исходное суждение должно иметь вид "Все млекопитающие - животные". Именно такую ошибку дважды допустили преподаватели Кембриджа и Оксфорда, авторы занятного учебного пособия по философии, на стр. и 174[50].

Для указания используемого базиса автор применяет нумерацию, состоящую из вариантов суждений в порядке xyExy-Ixy. Например, для анализа силлогизмов в общем (неконкретном) виде автор когда-то предпочитал общеразговорный базис 1-1-2, который описывается следующими соотношениями:

xy = (xy')' = x’+y Exy = (xy)' = x’+y’ Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i.

В настоящее время автор считает единственно правильным базисом только базис здравого смысла 1-1-8. Этот базис назван автором базисом Васильева, т.к. он удовлетворяет требованиям русского логика Васильева Н.А. относительно научного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.

xy = (xy')' = x’+y Exy = (xy)' = x’+y’ Заключение.

1. Анализ современного состояния логики показал полное отсутствие аналитического представления базиса силлогистики, а также несостоятельность классического силлогистического базиса, который не является ни Аристотелевским, ни общеразговорным (бытовым).

2. Впервые показано, что даже общие суждения имеют неоднозначную структуру и аналитическое описание.

3. Впервые представлено все многообразие базиса частноутвердительного суждения и дано его аналитическое представление.

4. Впервые найдено аналитическое выражение для частноутвердительного суждения, удовлетворяющего критерию Васильева.

5. Впервые доказано, что логика суждений и логика предикатов тождественны, т.е. нет никакой логики предикатов и кванторного исчисления.

Глава четвёртая В [49] приведены так называемые "Жергонновы отношеСиллогистика Аристотеля - Жергонна.

ния". С помощью этих отношений Ж.Д.Жергонн(1771-1859) представил все классы суждений (силлогистические функторы), выделенные Аристотелем, на языке теории множеств.

Автор пока не может дать однозначного заключения о корректности проделанной Жергонном операции. Строго говоря, это бред сивой кобылы: правильно представлен только общеотрицательный квантор Exy.

Переведем "Жергонновы отношения" на язык скалярных диаграмм [24].

По скалярным диаграммам были построены соответствующие таблицы истинности.

ЧАСТЬ 2 * Глава четвёртая Силлогистика Аристотеля - Жергонна.

Из таблиц истинности получаем следующие соотношения:

«Некоторые не суть Y» :Oxy = xy'+i(xy')' = xy’ + i(x’+y) Полученные соотношения позволяют построить силлогистику без кванторов [26]. Известны попытки решения задач силлогистики с помощью кванторного аппарата исчисления предикатов[43]. Однако, судя по современному состоянию силлогистики, такие попытки успеха не имели, да и иметь не могли: мнемоника не может быть исчислением. Это обстоятельство ставит под сомнение здравомыслие современных математиков, до сих пор не отказавшихся от термина «кванторное исчисление». С помощью формул для силлогистических функторов, E, I, O можно выполнять все операции над силлогизмами, т.е. находить аналитическое решение задач, связанных с силлогизмами. Все задачи этого раздела, посвящённого силлогистике Аристотеля, решаются в базисе Аристотеля-Жергонна. Для того, чтобы проверить силлогизм, нужно выполнить алгоритм «Осташ-Т» [27].

4.1. Алгоритм «Осташ-Т» (тест, анализ) 1. Заменить посылки и заключение выражениями в соответствии с формулами для функторов, E, I, O.

2. Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок, имплицирующей заключение.

3. Проверить это выражение на тождественность единице, занеся его в карту Карно (КК). Если выполняется тождественность единице, то заключение истинно. Если хотя бы одна из посылок или заключение являются частным суждением, то силлогизм является истинным даже при получении модальной единицы (т.е. в некоторых клетках КК проставлены символы модальности i) при условии, что m=1 или m'=1 (в этом случае строка m или соответственно m' должна содержать не менее 3-х целых единиц и только одну составную, т.е.1=i+j). В противном случае заключение не имеет места.

Для синтеза заключения по заданным посылкам также можно использовать алгоритм «Осташ-Т», несколько изменив его.

Алгоритм «Осташ-С» (синтез) 1.Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для функторов,E,I,O.

2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок и проинвертировать его. Занести полученное выражение в карту Карно (КК).

3.Доопределить полученную функцию одним из выражений для силлогистических функторов, E, I, O таким образом, чтобы получить тождественную или модальную единицу. При доопределении иметь в виду, что из частной посылки должно следовать частное заключение. Перед доопределением в одной строке КК(m или m') должно быть не менее 2-х, а после доопределения не менее 3-х целых единиц.

Доопределяемое заключение должно содержать минимально необходимое количество единиц. Функция доопределения является искомым заключением. Если в доопределяемой строке КК имеется 2 полных единицы и 2 значения j, то доопределение невозможно.

4.Если вышеуказанное доопределение невозможно, то из данных посылок нельзя вывести никакого заключения.

Синтез посылок от синтеза заключений отличается лишь тем, что доопределение КК выполняется в этом случае для отрицания посылки.

Аналитические методы на основе алгоритмов «Осташ-Т»

и «Осташ-С» дополняются графическим методом на базе скалярных диаграмм. Алгоритм ТВАТ (Тушинский вечерний авиационный техникум) прост и нагляден.

4.2. Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов).

1. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.

ЧАСТЬ 2 * Глава четвёртая Силлогистика Аристотеля - Жергонна.

2. Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.

3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y) в трёхзначной логике.

4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом Ни один x не есть m Пример 4.2.1.

Некоторые m суть y Найти f(x,y) Будем считать, что частно-утвердительное суждение предРешение.

ставлено в базисе Аристотеля-Жергонна. По алгоритму ТВАТ получим:

4.3. Алгоритм «РЕДАН» (синтез недостающей посылки).

1. Изобразить все возможные ситуации для исходной посылки и заключения с помощью скалярных диаграмм.

2. Занести в таблицу истинности все значения f(m,y) для входных наборов my: 00,01,10,11.

3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(m,y) в трёхзначной логике.

4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

4.3. Алгоритм «РЕДАН» (синтез недостающей посылки).

Найти недостающую посылку в силлогизме Пример 4.3.1.

mx & f(m,y) Ixy(3).

Решение.

Из диаграммы видно, что заключение описывается формуРис. 2-4. лой Fz(x,y) = xy + i = Ixy(3), т.е. все условия задачи соблюдены.

Однако это не единственное решение.

Во второй скалярной диаграмме заключение также описывается формулой Fz(x,y) = xy + i = Ixy(3), но вторая посылка выглядит иначе.

Чем вызван такой разнобой в результатах? Только тем, что не заданы количественные характеристики терминов силлогизма, т.е безграмотной постановкой задачи.

ЧАСТЬ 2 * Глава четвёртая Силлогистика Аристотеля - Жергонна.

Найти недостающую посылку в силлогизме Пример 4.3.2.

Emx & f(m,y) Exy.

Решение.

Из диаграммы видно, что интегрированное решение описывается формулой f(m,y) = x’y’+i = Ix’y’(3).

На самом деле здесь нужно раздельно рассматривать варианта: Emy, (m~y), Imy с вероятностями (Emy) = (m~y) = 1/6, (Imy) = 2/3.

Аналитическое решение этой задачи может быть получено с помощью алгоритма «Комета».

Алгоритм «Комета» аналитического синтеза недостающей посылки.

Записать уравнение полной единицы системы, представив недостающую посылку в виде f(m,x) или f(m,y).

Занести в карту Карно (КК) полученное выражение.

В незаполненные клетки КК вписать f’(m,x) или f’(m,y).

По полученным f’(m,x) или f’(m,y) определить f(m,x) или f(m,y).

4.4. Алгоритм«НИИДАР»

Решение задачи 4.3.2 по алгоритму «Комета».

(m’+x’) & f’(m,y) + x’+y’ = Из КК получим f’(m,y) = m’y В результате f(m,y) = m+y’ = ym. Это один из трёх вариантов решения, т.е. полный корректный результат может быть получен лишь по графическому алгоритму «Редан».

4.4. Алгоритм «НИИДАР» графического представления силлогизма по СДНФ полной единицы системы 1. По СДНФ полной единицы системы М построить сокращённую таблицу истинности для неё.

2. По сокращённой таблице истинности построить скалярные диаграммы, разбив интервал универсума на части, количество которых равно числу наборов в таблице истинности для М. Каждая часть универсума изображается соответствующим набором из таблицы истинности для М.

Из скалярных диаграмм выбрать N логических функций от двух переменных, где N – число аргументов.

Дано: = m’x’+my’.

Пример 4.4.1.

Найти все исходные посылки силлогизма.

По полной единице системы М строим сокращённую Решение.

таблицу истинности, а по ней скалярные диаграммы.

Из диаграмм видно, что исходными посылками являются xm, Emy, т.е.

ЧАСТЬ 2 * Глава четвёртая Силлогистика Аристотеля - Жергонна.

= xmEmy = (x’+m)(m’+y’) = m’x’+x’y’+my’ = m’x’+my’, что и требовалось доказать.

4.5. Алгоритм «СГА» аналитического нахождения исходных посылок силлогизма.

По полной единице системы построить две посылки от двух аргументов.

Посылки должны в совокупности охватить все аргументы.

Дано: = m’+x’y’.

Пример 4.5.1.

Найти все исходные посылки силлогизма.

По полной единице системы М строим функции (m,x), Решение.

(m,y).

= (m,x)(m,y) = (m’+x’)(m‘+y’) = EmxEmy.

Это и есть исходные посылки силлогизма, полученные чисто аналитически.

Дано: = m’+y’.

Пример 4.5.2.

Найти все исходные посылки силлогизма.

По полной единице системы М строим функции (m,x), Решение.

(m,y).

= (m,x)(m,y) = 1 & (m‘+y’) = ImxEmy.

Это и есть исходные посылки силлогизма, полученные чисто аналитически.

На основании алгоритма СГА возможно также нахождение исходных посылок сорита, но лучше с этой целью использовать алгоритм «ОМТ»: не приходится думать, какие посылки нужно выбирать.

посылок сорита.

Найти инверсию функции М и представить её в виде ДНФ, т.е. в виде логической суммы.

4.6. Алгоритм «ОМТ» нахождения исходных посылок сорита.

Проинвертировать полученную ’ и представить М в виде КНФ, т.е. в виде произведения логических сомножителей.

Дано: = ab+cd.

Пример 4.6.1.

Найти все исходные посылки сорита.

По п.1 алгоритма «ОМТ» находим ’:

Решение.

’ = (ab+cd)’ = (ab)’(cd)’ = (a’+b’)(c’+d’) = a’c’+b’c’+a’d’+b’d’.

По п.2 алгоритма «Комета» получим М:

= (a’c’+b’c’+a’d’+b’d’)’ = (a+c)(b+c)(a+d)(b+d).

Проверка:

= (a+c)(b+c)(a+d)(b+d) = (ab+c)(ab+d) = ab+cd, что и требовалось доказать.

Дано: = abc+de.

Пример 4.6.2.

Найти все исходные посылки сорита.

По п.1 алгоритма «ОМТ» находим ’:

Решение.

’ = (abc+de)’ = (a’+b’+c’)(d’+e’) = a’d’+b’d’+c’d’+a’e’+b’e’+c’e’.

По п.2 алгоритма «Комета» получим М:

= (a’d’+b’d’+c’d’+a’e’+b’e’+c’e’)’ = = (a+d)(b+d)(c+d)(a+e)(b+e)(c+e).

Дано: = ab+cd+ef.

Пример 4.6.3.

Найти все исходные посылки сорита.

По п.1 алгоритма «ОМТ» находим ’:

Решение.

’ = (ab+cd+ef)’ = (a’+b’)(c’+d’)(e’+f’) = = a’c’e’+b’c’e’+a’d’e’+b’d’e’+a’c’f’+b’c’f’+a’d’f’+b’d’f’.

По п.2 алгоритма «Комета» получим М:

= (a’c’e’+b’c’e’+a’d’e’+b’d’e’+a’c’f’+b’c’f’+a’d’f’+b’d’f’)’ = = (a+c+e)(b+c+e)(a+d+e)(b+d+e)(a+c+f)(b+c+f)(a+d+f)(b+d+f).

Точно такой же результат, но значительно проще, можно получить по алгоритму «СГА»:

ЧАСТЬ 2 * Глава четвёртая Силлогистика Аристотеля - Жергонна.

= (a,c,e)(b,c,e)(a,d,e)(b,d,e)(a,c,f)(b,c,f)(a,d,f) (b,d,f) = (a+c+e)(b+c+e)(a+d+e)(b+d+e)(a+c+f)(b+c+f) (a+d+f)(b+d+f).

Простота графического алгоритма анализа и синтеза силлогизмов наводит на мысль о том, что и скалярные диаграммы, и алгоритм могли быть открыты 25 веков назад Аристотелем. Во всяком случае, скаляры были известны Евклиду.

Алгоритмы «Осташ» и «ТВАТ» дают одинаковые по полноте и корректности результаты. Существует более простой и эффективный аналитический метод, позволяющий получать корректные, но для некоторых частных силлогизмов не всегда полные результаты. Этот метод оформлен автором в виде алгоритма «ИЭИ» (Ивановский энергетический институт).

Предпочтительная область применения данного алгоритма - силлогистика здравого смысла, т.е. русская и общеразговорная. Кроме того, алгоритм «ИЭИ» незаменим при аналитическом синтезе соритов (многопосылочных силлогизмов).

И всё же графические методы анализа и синтеза силлогизмов и соритов, т.е. с помощью скалярных диаграмм Лобанова, самые наглядные и корректные.

4.7. Алгоритм «ИЭИ «(аналитический синтез 1. Заменить посылки выражениями в соответствии с заключения) формулами для функторов ,E,I,O.

2. Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнкции всех посылок.

3. Получить из М функцию М(х,у), заменив средний член m или m' на 1. Если средний член m/m' входит в силлогизм автономно, то заменить его на i. Полученная функция М(х,у) является заключением силлогизма. Если в М встречается терм im или im’, то заключения не существует.

Алгоритм «ИЭИ» можно считать частным случаем алгоритма «Селигер» для решения логических уравнений.

Все m суть х Пример 4.7.1.

Все m суть y Найти f(x,y) 4.7. Алгоритм «ИЭИ «(аналитический синтез заключения) По алгоритму ИЭИ получим:

Решение.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |


Похожие работы:

«К И З У Ч Е Н И Ю ИСТОРИИ К А В К А З С К О Й А Л Б А Н И И (По поводу книги Ф. Мамедовой Политическая история и историческая география Кавказской Албании ( I I I в. до н. э. — V I I I п. н. э.)) Д. А. АКОПЯН, доктора ист. наук П. М. МУРАДЯИ, К. Н. ЮЗБАШЯН (Ленинград) Сложность проблемы цивилизации Кавказской Албании обусловлена тем обстоятельством, что сведения первоисточников о населении Албании носят на первый взгляд противоречивый характер. Античные и ранние армянские источники под...»

«Рыжов В.Н. Математическое развитие дошкольников и младших школьников -1УДК 378.015.3:51 ББК 88.8:22 Р 93 Рыжов В.Н. Математическое развитие дошкольников и младших школьников: Курс лекций для студентов педагогических специальностей вузов. Саратов, 2012. – 81 с. Пособие предназначено для студентов педагогических специальностей вузов, педагогических училищ и колледжей, изучающих соответствующие курсы. Оно может быть полезным аспирантам и учителям школ. -2Содержание стр. Лекция 1. Современные...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МОРСКОЙ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ Сахалинское отделение Всероссийского ф о н д а культуры ОБЩЕСТВО ИЗУЧЕНИЯ САХАЛИНА И КУРИЛЬСКИХ ОСТРОВОВ САХАЛИНСКИЙ ОБЛАСТНОЙ КРАЕВЕДЧЕСКИЙ МУЗЕЙ Нраеведческий бюллетень 1990. I. Январь—март Южно-Сахалинск 1990 УДК 571.64 Краеведческий бюллетень. — Выпуск первый. — ЮжноСахалинск: Общество изучения Сахалина и Курильских ост­ ровов, 1990. — 165 с. Основан в 1990 году. Выходит четыре раза в год. Главный редактор М....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.А. ЛЕТЯЕВ ВОСПРИЯТИЕ РИМСКОГО НАСЛЕДИЯ РОССИЙСКОЙ НАУКОЙ XIX - НАЧАЛА XX ВВ. Волгоград 2002 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДРЕВНЕГО РИМА В РОССИИ XIX - НАЧАЛА XX ВВ 1.1. Начало историко-критического изучения Древнего Рима в России. 11 1.2. Теоретико-методологические основы и общественно-политические взгляды российских историков Древнего Рима. 1.3. Методы объяснения исторических...»

«АРХИТЕКТУРНЫЕ СВЯЗИ КАВКАЗСКОЙ АЛБАНИИ И АРМЕНИИ Доктор историч. наук А. Л. ЯКОБСОН (Ленинград) Публикация таких замечательных памятников Кавказской Албании (Арраиа), как Кумекая базилика и круглый храм с тетраконхом внутри в Леките 1, уже давно ввела зодчество этой древней страны в круг раниесредневековой архитектуры Закавказья. Однако вопрос о взаимосвязи зодчества Албании с зодчеством соседних Грузии и Армении ставился в слишком общей форме и сводился к тезису об определенной общности...»

«СОВЕТСКАЯ ЭТНОГРАФИЯ Ж У Р Н А Л О С Н О В А Н В 1926 Г О Д У ВЫ ХОДИТ 6 РАЗ В ГО Д 6 Н оябрь — Д екабрь 1972 И З Д А Т Е Л Ь С Т В О НАУКА Москва Редакционная коллегия: Ю. П. П етрова -А вер ки ева (главный р е д а к т о р ), В. П. А лексеев, Ю. В. Арутю нян, Н. А. Б аскаков, С. И. Брук, JI. Ф. М он ога р ова (зам. главн. р ед а к тор а ), Д. А. О льдерогге, А. И. П ерш иц, JI. П. П отапов, В. К. С околова, С. А. Токарев, Д. Д. Тумаркин (зам. главн. ред а к тор а) О тветствен ны й...»

«ЮРИЙ НИКОЛАЕВИЧ МАРР Н. Л. М И Р З О Я Н Всего сорок два года п р о д о л ж а л с я его ж и з н е н н ы й путь, а научная деятельность—менее двух десятилетий. О д н а к о з а свою короткуюж и з н ь он т а к много успел с д е л а т ь д л я науки. П р о ш л о пятьдесят лет со дня безвременной смерти крупного ираниста, ф и л о л о г а - л и т е р а т у р о в е д а, я з ы к о в е д а, фольклориста проф. Ю. Н. М а р р а. З а эти годы с помощью верных ему друзей и ж е н ы Софьи Михайловны М а р р...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.