WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:   || 2 |

«ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ 1 РОССИИ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА 2003 СОДЕРЖАНИЕ Электродинамика, микроволновая техника, Региональные секции редакционного антенны совета ...»

-- [ Страница 1 ] --

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

1

РОССИИ

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Электродинамика, микроволновая техника,

Региональные секции редакционного антенны совета Зражевская И. Н.

Поволжская Строгое решение в дуговых координатах задачи Формируется на базе Нижегородского госу- о возбуждении тела радиальным током

дарственного технического университета.

Теория сигналов Уральская Прикота А. В.

Формируется на базе Екатеринбургского Аналитически-численный расчет динамики госу-дарственного технического университета.

выделенного класса моделей нелинейных систем с распределенными параметрами

Южная Председатель – В. А. Обуховец, д-р техн. Бычков Ю. А., Щербаков С. В., Митропольский В. Г.

наук, профессор, декан радиотехнического Особенности построения фазовых траекторий факультета Таганрогского государственного нелинейных неавтономных электрических цепей радиотехнического университета. на основе интегро-дифференциальной 347928, г. Таганрог, ГСП-17А, Некрасовский, 44, формы описания их динамики

Таганрогский государственный радиотехничесБалонишников А. М., Горохов В. Л.

кий университет.

Одномерные уравнения мелкомасштабной Т. (8634)310599, Факс (8634)310598, турбулентности

E-mail rector@tsure.ru Кутузов В. М.

Восточная Исследование информативности оценок Председатель – А. Г. Вострецов, д-р техн.

фазочастотных спектров наук, профессор, проректор по научной работе авторегрессионных моделей

Новосибирского государственного технического университета. Системы телекоммуникации, устройства Заместитель председателя – А. А. Спектор, передачи, приема и обработки сигналов д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «ТеоДмитриков В. Ф., Догадин Н. Б.

ретические основы радиотехники» НовосибирУсилители смешанного режима с адаптивным ского государственного технического универсиисточником питания первого канала тета. при ограниченном речевом сигнале

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

Новосибирский государственный технический Радченко Ю. С.

университет. Характеристики обнаружения и надежность Тел. (3832)460457, 460633, синхронизации сигналов на фоне комбинированной помехи в асинхронных системах связи




E-mail vostretsov@first.nstu.ru Проектирование и технология радиоэлектронных средств Исмаилов Т. А., Евдулов О. В., Аминов Г. И., Юсуфов Ш. А.

Приближенный расчет системы термостабилизации проточного типа для элементов радиоэлектронной аппаратуры, основанной на применении рабочих веществ со стабильной температурой плавления.........

РЕДАКЦИОННЫЙ

СОВЕТ ЖУРНАЛА

Председатель совета Д. В. Пузанков Зам. председателя В. М. Кутузов Члены совета:

Р. Е. Быков, Ю. А. Быстров, Радиолокация и радионавигация В. И. Винокуров, Д. И. Воскресенский, Калениченко С. П., Меттус Л. С.

А. Д. Григорьев, Ю. В. Гуляев, Помехоустойчивость РЛС со сложным квазинепрерывным сигналом в условиях воздействия В. П. Ипатов, Т. А. Исмаилов, пассивных помех

Ю. М. Казаринов, Ю. А. Коломенский, В. Н. Кулешов, И. Г. Мироненко, Электроника СВЧ В. В. Попов, Ю. М. Таиров, В. Н. Ушаков, И. Б. Федоров, Алексеев Ю. И., Загура Е. С.

И. А. Цикин, Ю. А. Чаплыгин, Исследование генераторных диодов Ганна Е. Э. Чернышов миллиметрового диапазона в режиме усиления............ Секретарь совета Конференции, семинары, симпозиумы А. М. Мончак Калениченко С. П.

Европейский симпозиум по радиолокации (Германия) Grs 2002 – German radar symposium 2002, 3–5 September 2002, Bonn

Редакционный отдел Наши авторы

ВИНОКУРОВ ВИКТОР ИВАНОВИЧ

24.12.23–01.02. 1 февраля 2003 г. на 80-м году жизни скоропостижно скончался доктор технических наук, профессор кафедры радиотехнических систем, заслуженный профессор ЭТУ "ЛЭТИ" Виктор Иванович Винокуров.

В. И. Винокуров родился в семье сельских учителей, рано потерял мать.

В семнадцатилетнем возрасте добровольцем ушел на фронт. Встретив войну бойцом Комсомольского добровольческого полка на Ленинградском фронте, Виктор Иванович воевал в танковых и в авиатехнических войсках, перенес тяжелую контузию. Конец войны застал его в Кенигсберге. Демобилизовавшись в 1946 г., он поступил в ЛЭТИ на Пятый (впоследствии электрофизический) факультет.

Виктора Ивановича всегда отличала тяга к знаниям. Уйдя воевать девятиклассником, он на фронте сдает экзамены за 10-й класс. Виктор Иванович в 1951 г. окончил вуз с отличием, совмещая учебу в ЛЭТИ и работу слесарем на "Электросиле". В 1953 г. его зачисляют в аспирантуру, в июне 1956 г. он успешно защитил кандидатскую диссертацию, а уже в ноябре 1964 г. – докторскую. С 1959 г. В. И. Винокуров – доцент, а с 1969 г. – профессор кафедры теоретических основ радиотехники.

Будучи прекрасным организатором, Виктор Иванович в 1965–1970 гг. работал в должности проректора по научной работе ЛЭТИ, с июня 1967 г. по январь 1968 г. исполнял обязанности ректора. В 1970 г. при его активном участии создана кафедра радиооборудования кораблей, которой он заведовал в течение 20 лет.

В 1974–1988 гг. профессор Винокуров трижды избирался деканом факультета корабельной электрорадиотехники и автоматики.

Виктор Иванович был человеком разносторонних интересов. Он внес существенный вклад в развитие радиолокации, под его руководством созданы РЛС нового поколения для армии и военно-морского флота.





Одновременно В. И. Винокуров возглавлял научные исследования по синхронизации систем связи, обеспечению электромагнитной совместимости радиооборудования, оптическому моделированию. Перу Виктора Ивановича Винокурова принадлежат сотни научных статей, десятки монографий, учебников и учебных пособий. Он был членом научного совета Академии наук СССР по проблеме "Статистическая радиофизика".

Большой вклад внес Виктор Иванович в становление Гвинейского политехнического института – в развитие его лабораторной базы и в подготовку научно-педагогических кадров. В. И. Винокуров вел и большую общественную работу – длительное время был членом Ленинградского обкома профсоюза работников просвещения, научных учреждений и высшей школы.

Ученый и Педагог, В. И. Винокуров воспитал сотни учеников – инженеров, кандидатов и докторов наук, работающих во всех уголках Российской Федерации, в странах СНГ, в Болгарии, Гвинее.

Виктор Иванович был человеком огромной эрудиции. Его глубоко интересовали исторические аспекты развития науки и техники, история нашего университета. Он был активным членом исторической комиссии ученого совета, организатором и главным редактором журнала «Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Сер. История науки, образования и техники», вел курсы по истории науки для студентов.

За участие в Великой Отечественной войне В. И. Винокуров был награжден орденами Красной Звезды и Отечественной войны I степени, боевыми медалями "За оборону Ленинграда", "За взятие Кенигсберга", "За победу над Германией". Мирный труд Виктора Ивановича отмечен орденом Трудового Красного Знамени, присвоением ему звания заслуженного деятеля науки и техники, знака "Почетный радист", нагрудного знака "Почетный работник высшего профессионального образования России". Летом 2002 г. ученый совет ЭТУ "ЛЭТИ" присвоил ему звание «Заслуженный профессор Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ"».

Порой казалось, что время не властно над Виктором Ивановичем Винокуровым. В осеннем семестре 2002/2003 учебного года он одновременно читал лекции по двум дисциплинам, подготовил к изданию рукопись учебного пособия по курсу "Прикладная статистическая радиофизика", в декабре 2002 г. стал научным консультантом докторанта. И вот его нет с нами… Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== Электродинамика, микроволновая техника, УДК 538. Центральный научно-исследовательский институт имени акад. А.Н. Крылова Строгое решение в дуговых координатах задачи о возбуждении тела радиальным током Рассматривается решение задач возбуждения тела вращения и выступа на безграничной плоскости радиальным осесимметричным током. При решении таких граничных задач используются дуговые координаты, введенные автором ранее. Это позволяет получить строгое решение в общем виде для обеих задач. Вычисление характеристик направленности в дальней зоне выполнено для вытянутого сфероида и сфероидального выступа на плоскости, возбуждаемых радиальным диполем, расположенным вблизи полюса. Проанализирован характер поля данных излучающих устройств.

Электромагнитное излучение, диполь, дифрагирующее тело, дальняя зона, характеристики направленности Характеристики направленности антенных устройств радиосистем различного назначения, расположенных на металлических конструкциях объекта (летательного или наземного), определяются не столько параметрами самих антенн, сколько размерами и формой этих конструкций. Однако возможности строгих методов расчета такой совокупной излучающей системы в значительной мере ограничены и аппроксимация объектов сферой (или ее фрагментами) до сих пор остается наиболее распространенным способом получения практических результатов. В настоящей статье используется метод собственных функций в дуговых координатах, ранее введенных в употребление автором [1] и расширяющих перечень простых тел, которыми можно аппроксимировать сложные антенные системы, существенно упрощая при этом вид получаемого решения. В качестве иллюстрации возможностей предлагаемого подхода к решению такого рода задач приведены результаты расчета характеристик направленности радиального диполя, возбуждающего вытянутый сфероид и сфероидальный выступ на плоскости.

Постановка задачи и ее решение в общем случае. Полагаем, что источником первичного поля служит радиальный бесконечно тонкий осесимметричный ток. Этот источник расположен в пространстве, окружающем дифрагирующее тело. Объемная плотность электрического тока задается в виде (рис. 1) ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. где sp – координаты точек области, занимаемой сторонним источником тока ( p = 1, 2 );

( s2 ) – дельта-функция.

Сторонний ток jэ1 возбуждает единственную составляющую A 1 векторного потенциала A, удовлетворяющую уравнению [1] где дуговые координаты s p, s2 выражаются формулами число. Здесь y p – ортогональные криволинейные координаты; h p – коэффициенты Ламе; µ, – абсолютные значения Граничные условия для A 1, необходимые для получения общего решения уравнения (2), вытекают из граничных условий для составляющих электрического и магнитного полей, с которыми составляющая векторного потенциала A 1 (в случае зависимости от времени, заданной в виде exp ( +i t ) ) связана следующим образом [1]:

где W = µ – волновое сопротивление свободного пространства.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== l s2 l, разлагается в ряд Фурье где wm = m l – собственные значения.

В рассматриваемом случае бесконечно тонкого линейного излучателя, расположенного вдоль осевой линии, используем основное свойство дельта-функции (1) при вычислении интегралов (4). Поскольку получаем Решение для векторного потенциала первичного ("падающего") поля записывается в виде аналогичного разложения:

Для определения коэффициентов разложения Rm ряды (4) и (5) подставляются в уравнение (2), откуда после приравнивания коэффициентов получают уравнения вида где km = k 2 wm – "радиальные" волновые числа парциальных волн с номером m.

Частные решения неоднородных уравнений (6), определенные методом вариации произвольных постоянных общих решений соответствующих однородных уравнений, будут где s1 – расстояние от начала координат до точки наблюдения поля, вычисляемое вдоль ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. y2 ( ) = const, 0 ; s1 – расстояние до источника тока jэ1 вдоль этой же координатной линии (в области его существования). Верхние знаки относятся к области s 1 s1, нижние – к области s 1 s1.

Решение для составляющей A 1 векторного потенциала поля с учетом влияния граничных поверхностей дифрагирующего тела представляется в виде такого же разложения:

где A 1 – либо сумма полей падающей и отраженной волн, если поле вычисляется в первой (окружающей тело) среде, либо – поле преломленной волны, если поле вычисляется внутри дифрагирующего тела. Коэффициенты разложения (8) являются общими решениями уравнений (6) и определяются из граничных условий задачи.

Далее рассматривается электромагнитное поле осесимметричного радиального электрического тока, возбуждающего тело вращения или осесимметричный выступ на безграничной плоскости.

Возбуждение электромагнитного поля тела вращения. Граничные условия на поверхности тела y 1 =, разделяющей две среды – окружающую тело среду 1 и среду внутри него, состоят в равенстве касательных к этой поверхности составляющих E2 и H (см. рис. 1).

Граничные условия для составляющей A 1 векторного потенциала на этой поверхности следуют из (3):

"пад", "пр" и "отр" указывают на падающую, прошедшую и отраженную составляющие векторного потенциала соответственно.

Из этих условий для векторного потенциала следуют граничные условия для коэффициентов разложения Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== при s1 ( ) =, где коэффициенты разложения в первой среде R1m также представляются суммой коэффициентов разложения полей падающей и отраженной волн. Общее решение уравнений (6) в первой среде ( s1 a ) будет где R1m ( s1, s1 ) – коэффициенты разложения первичного ("падающего") поля, а постоянные Bm характеризуют волны, "отраженные" от дифрагирующего тела и распространяющиеся в бесконечность. При этом предполагается, что граница раздела сред вдали от излучающей системы отсутствует, а следовательно, отсутствуют и волны, приходящие из бесконечности.

Если свойства второй среды таковы, что отражением от второй (дальней) границы раздела сред можно пренебречь (т. е. при достаточно высокой проводимости 2 ), решения во второй среде ( s1 a ) имеют вид где постоянные Dm характеризуют волны, прошедшие внутрь дифрагирующего тела (среда 2).

Подставляя выражения для Rm (11) в условия (9), получим ны в среду 2; zm = W m – поверхностное сопротивление парциальной волны со стоk определяется (9).

Заметим, что в предельном случае, когда размеры дифрагирующего тела становятся безгранично большими, выражения для rm и tm переходят в формулы для коэффициентов отражения и прохождения плоской волны, возбуждаемой плоским листом магнитного тока и падающей по нормали на плоскость (см., например, [2]).

Искомое решение (10) для коэффициентов разложения в первой среде ( s1 a ) В дальнейшем значок, обозначающий номер среды, опускаем.

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Закон распределения тока вдоль линейного излучателя U ( s1 ) в простейшем случае может быть постоянным. При этом длина излучателя либо задается конечной, либо стремится к нулю (электрический диполь). В последнем случае U ( b ) = ( s1 b ). Тогда из (7) получим Выражение для коэффициента b на поверхности тела y1 = будет где a определяется (9); b a.

Если дифрагирующее тело – идеально проводящее ( 2 +, z2m = 0, rm = 1 ), а окружающая безграничная среда – идеальный диэлектрик ( 1 = 0 ), выражение для векторного потенциала при s1 b имеет вид Выражения для составляющих электромагнитного поля (3) будут В дальней зоне ks1 +; km k ; s1 r ; l2 r и поперечные составляющие поля (13) могут быть записаны в виде [1] Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== где выражение для F, называемое обычно характеристикой направленности излучающей системы, имеет вид поскольку Первый член в квадратных скобках в (15) описывает первичное поле стороннего источника тока, а второй – вторичное поле, вызванное токами, возбуждаемыми на поверхности дифрагирующего тела. Это выражение позволяет вычислить характеристики направленности радиального диполя, возбуждающего сферу, вытянутый и сплюснутый сфероиды [4].

ляющих магнитного поля и тангенциальных составляющих электрического поля (см., например, [3]). Первое условие удовлетворяется автоматически, поскольку H1 = H 2 = 0 (3), тогда как условия для электрического поля будут ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Из (3) и (16) следуют граничные условия для составляющей A1 векторного потенциала. На поверхности выступа ( y1 = ) при s1 ( ) = a; 0 s2 l2 2, а на "подстилающей" плоскости ( = 2 ) Из условия (17) следует, что dRm ds1 = 0 при s1 ( ) = a, а общее решение уравнений (6) в окружающей среде описывается формулой (10), где постоянная Bm имеет тот же вид, что и в первом случае (при rm = +1 ).

В случае, когда осесимметричный радиальный диполь возбуждает выступ на плоскости, значения qm ( s1 ) удваиваются:

В связи с этим значения выражений (12) для Rm ( s1, b ), Rm ( a, b ) и A1 также будут отличаться от предыдущего случая множителем 2.

Возвращаясь к граничному условию на плоскости (18), заметим, что из (12) вытекает Следовательно, оно может быть записано в виде A1 = 0 при s2 = l2 2; a s1 +.

Удовлетворить этому условию можно, положив в (12) m = 2n 1. Тогда при Таким образом, выражения для поперечных составляющих электромагнитного поля (3) в рассматриваемом случае (при s1 b) будут Случай возбуждения выступа радиальной антенной конечной длины с постоянным распределением тока вдоль нее рассмотрен в [5].

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== Выражения (19) описывают поле радиального электрического диполя, возбуждающего выступ на безграничной плоскости на произвольном расстоянии kn s1 от него.

Формулы для поперечных составляющих поля в дальней зоне ( ks1 + ) можно записать в виде где A, B, M, N определены аналогично (15); 0 2.

Важной особенностью выражений (14) и (20) является резонансный характер описываемого ими поля. Это свойство в обоих случаях обусловлено сомножителем По мере приближения электрической длины меридиана поверхности, на которой расположен сторонний источник колебаний, к целому (в случае (21) – нечетному) числу амплитуда гармоники этого номера возрастает, причем тем в большей степени, чем меньше потери в среде, окружающей излучающую систему. При отсутствии потерь она бесконечно велика.

Соотношение (21) позволяет выбрать размеры излучающей системы (длину меридиана l2 ( ), проходящего через излучатель) таким образом, чтобы она "работала" вблизи от резонанса, как и в случае кольцевого [1] или стержневого [6] вибратора.

Дифракция на вытянутом сфероиде и на полусфероидальном выступе. В системе координат вытянутого сфероида метрические коэффициенты h1 = h2 = f sh 2 ( u ) + sin 2 ( ), h3 = f sh ( u ) sin ( ) (здесь 2 f – межфокусное расстояние).

Длины дуг в этих координатах выражаются интегралами (2):

При рассмотрении этого случая вычисление поля следует производить не в самой точке резонанса, а вблизи от нее.

От значений координаты u при расчетах удобно перейти к отношению длин осей эллипса e, тогда ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. s2 = f sh 2 ( u ) + sin 2 ( x )dx – вдоль меридианальной координаты ;

l2 = 2 f сh ( u ) E сh 1 ( u ) (где E [] – полный эллиптический интеграл 2-го рода).

Характеристики направленности рассчитывались по формуле (14) – для радиального диполя, расположенного над полюсом идеально проводящего вытянутого сфероида, и по формуле (20) – при расположении диполя над полюсом вытянутого полусфероидального выступа на плоскости. Во всех случаях при расчетах отношение длины осей эллипса принималось равным e = 3 4, задавалась величина B A = ( 2 ) l2 ( ) l2 ( ) = 0.01, а Характеристики направленности представлены на рис. 3 – для вытянутого сфероида, на рис. 4 – для полусфероидального выступа. На рис. 3, а, в и 4, а, в показаны относительные модули амплитуд f = F F max, на рис. 3, б, г и 4, б, г – аргументы = arg ( F ).

Значения F max составляли:

для вытянутого сфероида (рис. 3) – 40.360 ( при B = 2.9999 ) и 110.378 ( при B = 9.0001) (кривые 1); 4.125 ( при B = 2.99 ) (кривые 2); 2.284 ( при B = 2.91) и 10.9783 ( при B = 9.01) (кривые 3);

для выступа на плоскости (рис. 4) – 40.360 ( при B = 2.9999 ) и 110.378 ( при B = 9.0001) ( при B = 9.01) (кривые 3).

Кривые на рис. 3, а, б и 4, а, б иллюстрируют процесс изменения характеристик направленности и уровня излучаемого поля по мере отклонения размеров излучающей системы от резонанса при B 3.

Характер поля излучающей системы при резонансе весьма устойчив и особенно нагляден при больших размерах дифрагирующего тела. Так, диаграммы, вычисленные при B = 9.0001 (рис. 3, б, г и 4, б, г; кривые 1), свидетельствуют о том, что несмотря на несимметричный способ возбуждения симметричного дифрагирующего тела лепестки характеристики направленности при резонансе располагаются в пространстве симметрично относительно экваториальной плоскости тела. При этом отчетливо прослеживается связь амплитуды лепестков резонансной характеристики направленности диполя с радиусом кривизны возбуждаемого тела при том или ином ракурсе. В случае вытянутого сфероида, радиус кривизны поверхности которого увеличивается от полюса к экватору, амплитуда лепестков растет по мере увеличения меридионального угла от 0 до 2.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. В нерезонансной области амплитуда лепестков резко падает и отмеченное свойство излучаемого поля пропадает. Вид характеристики направленности в области между резонансами становится неустойчивым и несимметричным, меняясь с ростом значения B. На рис. 3, б г и 4, б, г приведены по одной из этих характеристик (для B = 9.01, кривые 3).

Разница в резонансных свойствах радиального диполя, возбуждающего вытянутый сфероид и полусфероидальный выступ на плоскости, состоит в том, что в первом случае резонанс наступает при длине меридиана B, равной любому целому числу, а во втором – только нечетному.

Получено строгое решение задачи в дуговых координатах о возбуждении электромагнитного поля радиальным диполем, расположенным над полюсом вытянутого сфероида или полусфероидального выступа на плоскости. Первичное и вторичное (дифрагированное) поля в этих координатах описываются тригонометрическими функциями, а граничные условия приводят (как и ранее в [6]) к простым выражениям для коэффициентов отражения и прохождения гармоник этих полей. Их вид аналогичен соответствующим выражениям для случая плоской волны, возбуждаемой плоским листом магнитного тока, падающей по нормали на плоскость (см., например, [2]). Усложняется лишь смысл входящего в них волнового числа km k.

Расчеты, проведенные по полученным формулам для идеально проводящего дифрагирующего тела вращения, выявляют ряд интересных закономерностей формирования амплитудных характеристик направленности излучающей системы в меридианальной плоскости. Это прежде всего резонансный характер дифракционного поля, а также влияние формы дифрагирующего тела на вид амплитудных характеристик этого поля при резонансе.

Резонанс наступает в случае, когда вдоль длины меридиана поверхности, на которой расположен диполь, возбуждающий тело вращения, укладывается целое число полуволн стороннего источника колебаний. При этом несмотря на то, что возбуждение вытянутого сфероида осуществляется несимметричным способом (радиальный диполь находится вблизи одного из его полюсов), амплитудные характеристики излучающей системы в меридианальной плоскости оказываются симметричными относительно экваториальной плоскости тела. Наряду с этим пространственное распределение амплитуд лепестков характеристики направленности следует за изменением радиуса кривизны данного дифрагирующего тела: они растут от полюса сфероида к его экватору. Как показали проведенные ранее расчеты для случая сферы, возбуждаемой радиальным диполем [4], амплитуды лепестков характеристики направленности этой излучающей системы при резонансе остаются постоянными.

Следует заметить, что решение дифракционных задач традиционным методом – в "угловых" криволинейных координатах y p с помощью специальных функций, когда в качестве основного параметра, характеризующего размер дифрагирующего тела, выбирается радиус сферы или межфокусное расстояние сфероида (см., например, [7] и [8]), затрудняет выявление резонансных свойств излучающей системы и связанных с ними особенностей дифракционного поля.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 ===================================== 1. Зражевская И. Н. Уравнения Максвелла в дуговых координатах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2002. Вып. 1. С. 3–11.

2. Марков Г. Т., Петров Б. М., Грудинская Г. П. Электродинамика и распространение радиоволн. М.:

Сов. радио, 1979. 374 с.

3. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. М.: Сов. радио, 1956. 381 с.

4. Зражевская И. Н. Возбуждение электромагнитного поля выпуклого тела осесимметричным радиальным диполем. СПб, 2000. 26 с. – Деп. В ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова, 14.03.2000, DP № 3736.

5. Зражевская И. Н. Электромагнитное возбуждение выступа на плоскости радиальной антенной. СПб, 2001. 18 с. – Деп. В ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова, 03.04.2001, DP № 3802.

6. Зражевская И. Н. Строгое решение задачи о возбуждении выпуклого тела кольцевыми токами в дуговых координатах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2002. Вып. 2. С. 3–14.

7. Белкина М. Г., Вайнштейн Л. А. Характеристики излучения сферических поверхностных антенн // Диффракция электромагнитных волн на некоторых телах вращения: Сб. ст. М.: Сов. радио, 1957. C. 57–96.

8. Белкина М. Г. Характеристики излучения вытянутого эллипсоида вращения // Диффракция электромагнитных волн на некоторых телах вращения: Сб. ст. М.: Сов. радио, 1957. C. 126–147.

I. N. Zrazhevskaya Rigorous Solution in Arc Coordinates of the Problem on Exciting a Body by Radial Current The problem solving of energization by a radial axisymmetrical current of a revolution solid and hanging indent on a boundless plane is surveyed. At solution of these boundary tasks the arc coordinates, gated in by other, are used earlier. It allows receiving strict solution in a general view for both tasks. The calculation of directional characteristics in a far-field region is fulfilled for a prolate spheroid and spheroidal hanging indent on a plane excited by a radial dipole, posed near to a pole. The character of a field of such radiating devices is parsed.

Electromagnetic radiation, dipole, diffracting body, far-field region, directional characteristic Статья поступила в редакцию 3 февраля 2003 г.

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. УДК 681.511. Аналитически-численный расчет динамики выделенного класса моделей нелинейных систем с распределенными параметрами Предлагается метод расчета динамики моделей нелинейных систем с распределенными параметрами, описываемых системами квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Метод основан на аналитически-численном методе расчета динамических систем и является его дополнением.

Системы квазилинейных уравнений, аналитически-численный расчет, распределенные параметры Многие задачи математической физики такие, как задачи газовой динамики, гидродинамики, нелинейной оптики, распространения сигналов в системах с распределенными параметрами (например, в коронирующих длинных линиях в электротехнике), приводят к рассмотрению систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.

Вопросам, связанным с доказательством существования и единственности решения данных систем уравнений, посвящено множество публикаций. Получить точные решения таких систем уравнений можно только в некоторых частных случаях. Для получения приближенных решений используются различные методы – численные, аналитические, численно-аналитические.

В данной статье предлагается метод получения приближенных аналитических решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа в случае двух независимых переменных, основанный на аналитическичисленном методе решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, изложенном в [1], [2]. Суть аналитически-численного метода заключается в нахождении коэффициентов ряда Тейлора для неизвестных точных решений преобразованием исходной системы уравнений, определением допустимого шага расчета по координате и перенесением текущей точки расчета на величину шага.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== Система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных для двух независимых переменных может быть записана в следующем виде:

где A = A(t, x,u ) и B = B(t, x,u ) – матрицы с размером n n ; u = [u1, u2,..., un ] T – вектор неизвестных; t – временная переменная; x – пространственная переменная; c = c (t, x,u ) – вектор с размером n 1.

Если матрица A неособая, то система (1) преобразуется к нормальному виду:

где A = A1 (t, x,u ) и b = b (t, x,u ) – некоторые новые матрица и вектор соответственно.

Если матрица А особая, то система (1) приводится к нормальному виду после преобразования координат [3].

Систему (2) можно записать в характеристической форме и в виде инвариантов Римана где l k = l k (t, x,u ) – левый собственный вектор матрицы A1 ; f k = lk,i bi – компоненты вектора – свободного члена f ; k = k (t, x, u ) – соответствующее l k собственное значение матрицы A1 ; rk = rk (t, x,u ) – компоненты вектора инвариантов Римана; g k (t, x,r ) – компоненты вектора – свободного члена g.

Системы с n 2 не всегда можно привести к инвариантному виду, но такое приведение всегда возможно для систем с n 2 и для продолженных систем [4], [5].

В узком смысле система (2) называется гиперболической в односвязной области переменных (t, x,u ), если в каждой точке этой области собственные значения 1, 2,..., n матрицы A1 вещественны и различны [5].

Для выделения из бесконечного множества решений системы (2) единственного необходимо задать начальные условия и, если это необходимо, граничные. Доказано, что если начальные и/или граничные условия являются аналитическими функциями в окрестности точки (t0, x0 ) и элементы матрицы A1 определены и аналитичны в окрестности точки ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. (t0, x0, u (t, x )), то система (2) имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (t0, x0 ), притом единственное в классе аналитических функций [6].

Таким образом, задача может быть поставлена следующим образом: для системы (2) и заданных аналитических (k = 1, …, n ) в классе аналитических функций.

Нахождение аналитического решения. Запишем систему (2) в следующем виде:

где Dt, D x – операторы частного дифференцирования по t и x соответственно;

A(D t, D x ) и G (Dt, D x ) – матрицы с размерами n n и n m соответственно, элементы которых представляют собой операторы частного дифференцирования или константы;

F(t, x ) – вектор внешних воздействий с размером 1 m. В вектор H (t, x, u, F ) попадают все оставшиеся члены уравнений, т. е. те, которые не попали в матрицы A(D t, D x ) и uk (0, x ) = f k ( x ), k = 1, …, n ; граничные условия u k (t,0 ) = g k (t ), k = 1, …, n [3]–[5].

На рис. 1 показана область существования решений. В подобласти 1 основное влияние на результат оказывают граничные условия, поэтому решение u(t, x ) определяется в H (t, x, u, F ), зависящие от x. В области 2, напротив, основное влияние на результат оказывают начальные условия и u(t, x ) определяется в виде ряда Тейлора по переменной t :

uk (t, x ) = k,i Подставив все ряды в матрицу H (t, x, u, F ) и произведя все требуемые алгебраические действия над ними, получим следующие выражения:

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== Преобразуем систему (4) с учетом (5а) и (5б) с использованием двойного преобразования Лапласа ( Dt p, Dx q ) :

где Q( p, q ) – вектор, содержащий начальные и граничные условия.

Запишем решение по правилу Крамера:

Предел суммы N в выражениях для u k ( p, q ) ограничен конечным числом в связи с заменой рядов Тейлора, входящих в (6), полиномами и определяется заданной точностью расчета.

После выполнения деления в выражениях (7а), (7б) получим:

Произведя обратное преобразование Лапласа, получим искомые приближенные решения:

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Коэффициенты Rk,i ( x ), Rk,i (t ) определяются рекуррентно. Если они определяются единственным образом, то полученное решение uk (t, x ), (k = 1, …, n ) является единственным решением системы (2).

Выбор величины шага расчета. Критерием при выборе величины шагов расчета по временной переменной h t и по пространственной переменной hx является допустимая погрешность расчета как локальная (погрешность на данном шаге), так и накопленная.

Обе эти погрешности, очевидно, зависят от порядка полинома Тейлора N и от величины шага. Чем меньше шаг расчета, тем быстрее убывают члены рядов (8а), (8б) и, следовательно, тем меньше локальная погрешность, связанная с отбрасыванием всех членов ряда со степенью выше N.

Фундаментальным понятием в теории уравнений гиперболического типа является понятие характеристик. Уравнения характеристик вытекают из характеристической формы (3):

Система из n уравнений гиперболического типа имеет n различных характеристик.

Характеристики системы непосредственно связаны с волновым характером движения, которое возникает в системах, описываемых этими уравнениями. Они указывают на конечную скорость распространения начальных или граничных возмущений вдоль координат.

В области 1 (см. рис. 1) выбирается шаг по пространственной координате x = h x.

Для того чтобы узнать, в какой момент времени t = h t граничное возмущение достигло прямой x = hx, необходимо из (9) найти уравнение характеристик, выходящих из точки O (t = 0, x = 0) в рассматриваемую область ( t 0, x 0 ). Так как вектор u(t, x ) уже найден, то можно найти уравнение характеристик [5] и найти h t, соответствующий шагу h x. Для области 2 (см. рис. 1) все делается аналогично с заменой друг на друга переменных t и x, h t и h x соответственно.

Рис. 2 поясняет процедуру выбора шага расчета и определения текущей точки расчета. На рис. 2 изображена одна характеристика, направленная в область ( t 0, x 0 ). В случае, когда таких характеристик несколько, необходимо обращаться к системе уравИзвестия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== Таким образом, решение uk (t, x ) на прямой x = hx имеет вид Решение uk (t, x ) на прямой x = ht имеет вид Функции uk h t, x и uk t, h x представляют собой очень сложные, громоздкие выражения и не могут быть непосредственно использованы в качестве начальных и граничных условий на следующем шаге расчета. Необходимо найти более простой вид данных условий. Для этого в конце текущего шага расчета производится аппроксимация uk h t, x и uk t, h x более простыми функциями uапп k h t, x, uапп k t,h x (например, тригонометрическими, степенными полиномами и др.).

После этого аппроксимирующие функции uапп k h t, x, uапп k t,h x становятся начальными и граничными условиями на следующем шаге расчета, а начало координат O(0,0) переносится в точку O(ht, hx ).

Пример 1. В качестве тестового примера рассмотрим уравнение Это уравнение имеет известное точное решение в виде неявной функции u = f (x tu ) [5].

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Преобразуем исходное уравнение по Лапласу с учетом выражения для H (t, x, u, f ) :

После обратного преобразования Лапласа получим искомое решение:

Из аналитичности начального условия u ( 0, x ) и вида нелинейного члена в H ( t, x, u, F ) следует, что все коэффициенты Ri ( x ), i = q, …, являются аналитическими функциями аргумента x.

Выбор шага расчета. Уравнение характеристик dx dt = u ( t, x ). Следовательно, характеристика, выходящая из начала координат, имеет вид x = u (0,0) t. Выберем шаг по t равным h t. Тогда шаг по x имеет вид h x = u (0,0) h t = 0. Следовательно, начальная точка следующего шага расчета есть O h t,0.

На рис. 3 приведены графики приближенного и точного решений для разных моментов времени. Приближенное решение (кривые 1) получено аналитически-численным методом, точное (кривые 2) – с помощью системы компьютерной алгебры Maple 6. На рис. 3, а кривые 1 и 2 совпадают.

В процессе расчета шаг h t изменялся в пределах от 0.1 до 0.5 с; порядок полинома N выбирался равным 6 или 7.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== u, о.е.

Пример 2. Исследуемое устройство описывается уравнениями Эта система уравнений возникает при рассмотрении процессов в коронирующей длинной линии [7]. Здесь u (t, x ), i(t, x ) – напряжение и ток в линии; Сд, L0 – погонные динамическая емкость и индуктивность линии соответственно. Рассмотрим процесс распространения сигнала вдоль такой линии.

Пусть в момент времени t = 0 обесточенная линия подключается к источнику напряжения, находящемуся в точке x = 0. Тогда начальные условия u (0, x ) = 0, i(0, x ) = 0 ;

При таких начальных и граничных условиях данная система уравнений имеет известное точное решение Нахождение аналитического решения. Аппроксимируем нелинейность: Cд (u ) = = C0 + C1u. Запишем исходное уравнение в виде (4):

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Преобразуем полученные уравнения по Лапласу, с учетом выражения для H1 ( t,x, u, F ) :

где c 2 = L0C0.

Ограничим ряд, входящий в эти выражения, степенью N. С помощью очевидных преобразований получим:

В результате деления имеем:

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== После обратных преобразований Лапласа получим искомые решения для параметров u и i:

Из аналитичности граничных условий u (t,0), i (t,0) и вида нелинейного члена в матрице H ( t,x, u, F ) следует, что все коэффициенты Rk,i (t ), k = 1, 2; i = 0, …,, являются аналитическими функциями аргумента t.

Выбор шага расчета. Для получения уравнений характеристик приведем исходное уравнение к характеристическому виду:

Отсюда уравнение характеристики, направленной в рассматриваемую область:

Следовательно, характеристика, выходящая из начала координат имеет вид t = L0 [C0 + C1u (0,0 )] x. Шаг по x выбирается равным h x. Тогда шаг по t имеет вид h t = L0 [C0 + C1u (0,0)] h x, а начальная точка следующего шага расчета есть O h t, h x.

рическим полиномом с использованием для этого быстрого преобразования Фурье.

Задачи решали при следующих численных значениях параметров системы:

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. u, МВ В процессе расчета шаг h x уменьшался от 280 км в начале расчета до 28 км в его конце; порядок полинома N варьировался от 10 до 8.

Графики точных (кривая 1) и приближенных (кривая 2) решений u (t, x ) и i (t, x ) для различных x приведены на рис. 4 и 5 соответственно. Здесь t ' – момент времени, в который сигнал достигает точки x. Так как решения являются периодическими функциями аргумента t, то графики их представлены только для первого периода. На рис. 4, а и 5, а графики точных и приближенных решений совпадают.

Таким образом, рассмотренный метод получения приблизительных аналитических решений систем квазилинейных уравнений в частных производных гиперболического типа расширяет возможности аналитически-численного метода расчета динамики нелинейных систем [1], [2], снимая наложенные на него ограничения в виде требования сосредоточенности параметров системы.

1. Бычков Ю. А. Аналитически-численный расчет динамики нелинейных систем / ИПЦ СПбГЭТУ "ЛЭТИ". СПб., 1997. 368 с.

2. Бычков Ю. А., Щербаков С. В. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб.:

Энергоатомиздат, 2001. 344 с.

3. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== 4. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 687 с.

5. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. 592 с.

6. Масленникова В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Изд-во РУДН, 1997.

447 с.

7. Караев Р. И. Переходные процессы в линиях большой протяженности. М.: Энергия, 1978. 191 с.

A. V. Prikota The Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" Analytical–Numerical Account of Dynamics of the Chosen Class of Nonlinear Distributed Parameter Systems Models The account method of dynamics of nonlinear distributed parameter systems models circumscribed by systems of quasilinear differential partial equations of a hyperbolic type is offered. The method is based on an analytical–numerical account method of dynamic systems, and is its Systems of the quasilinear equations, analytical–numerical account, distributed parameters Статья поступила в редакцию 21 октября 2002 г.

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. УДК 621.372. Особенности построения фазовых траекторий нелинейных неавтономных электрических цепей на основе интегрально-дифференциальной формы описания их динамики Предложен вычислительный алгоритм построения фазовых траекторий нелинейных неавтономных электрических цепей, описываемых уравнениями в интегрально-дифференциальной форме. В основу алгоритма положена расчетная схема аналитическичисленного метода.

Нелинейные неавтономные цепи, уравнения динамики, ряд Тейлора, сопряженная система, шаг расчета, фазовые траектории При анализе динамики нелинейных автономных цепей первого и второго порядков широкое распространение получил метод фазового пространства, позволяющий выявить наиболее важные и характерные свойства цепей без аналитического или численного решения уравнений их динамики. В основе методов построения приближенного качественного фазового портрета таких цепей лежит предположение о том, что "при малых изменениях параметров или коэффициентов уравнений динамики решения и соответствующие им траектории мало изменяются..." [1]. Иначе говоря, полагается, что цепи первого и второго порядков представляют собой грубую систему, поведение которой непрерывным образом зависит от изменения параметров, регулярно и предсказуемо.

С увеличением порядка цепи процедура построения фазовых траекторий значительно усложняется, а получение полного фазового портрета становится вообще невозможным. Возникающие трудности являются следствием того, что в автономных цепях с периодическим воздействием, начиная уже со второго порядка, согласно теореме Пуанкаре– Бендиксона, возможно возникновение хаотических и бифуркационных явлений [2]. Поэтому построение фазовых траекторий указанного класса нелинейных цепей с помощью известных методов принципиально невозможно и вообще имеет смысл только при условии верхней оценки абсолютной полной погрешности вычислений, сопровождающих данные построения.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== В статье предложен способ построения фазовых траекторий нелинейных неавтономных динамических цепей на основе формирования сопряженных систем уравнений и их последующего решения аналитически-численным методом [3]. Способ не накладывает ограничений ни на порядок исследуемой цепи, ни на форму записи ее уравнения динамики.

Выбор аналитически-численного метода в качестве основы предлагаемого способа построения фазовых траекторий обусловлен соответствием используемого в данном методе математического аппарата объективным свойствам нелинейных цепей и заложенной в нем способности контроля полной погрешности расчета [4], [5].

Краткие сведения об аналитически-численном методе. Метод предназначен для анализа нелинейных неавтономных цепей, динамику которых описывает уравнение где A ( D ), G ( D ) – квадратная L L и прямоугольная матрицы с полиномиальными элементами от D и D 1 соответственно; D – оператор обобщенного дифференцирования;

D 1 – оператор интегрирования, нижний предел которого есть предначальный момент времени в каждом интервале интегрирования; x ( t ) и f ( t ) – матрицы-столбцы искомых реакций цепи и приложенных к ней воздействий соответственно; H ( x, f,t ) – матрицастолбец, строки которой представляют собой сумму членов, образованных произведением времени, переменных во времени коэффициентов, воздействий, реакций цепи, их производных любого порядка в произвольных дробно-рациональных степенях, а также интегралами до t от подобных произведений.

Метод позволяет искать решения уравнения (1) в классе обобщенных функций, а регулярные составляющие x j ( t ), j = 1, L этих решений представлять в виде функциональностепенных рядов где R ji – коэффициенты разложения регулярной составляющей решения x j ( t ) в ряд Тейлора в правой полуокрестности точки с абсциссой t = 0+ [3].

Определение регулярных составляющих решений x j ( t ) в заданном интервале исследования [ 0, T ] осуществляется пошаговым образом. В конце каждого шага расчета h ряды Тейлора (2), t = h ограничивают полиномами Тейлора фиксированных порядков I j, j = 1, L. Возникающая в результате этого ограничения локальная погрешность оценивается по формулам, приведенным в работе [4]. При этом вычисление верхних оценок x j t ; I j, j = 1, L абсолютных полных погрешностей аналитически-численного решения уравнения (1) осуществляется согласно процедуре, изложенной в работе [5]. Знание ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. верхних оценок x j t ; I j области существования точных решений x j ( t ) нелинейного интегрально-дифференциального уравнения (1). Эти области описываются двойными неравенствами где x j t ; I j, j = 1, L – приближенные аналитически-численные решения.

Формирование требуемых соотношений. Рассмотрим сначала цепи, динамику которых можно либо сразу описать системой нелинейных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, либо в последующем привести к ней [1]. Итак, уравнение динамики имеет вид Заметим, что функции j ( x1, x2,..., xL, t ) содержат нелинейные члены, удовлетворяющие описанию элементов матрицы Н ( x, f,t ), приведенному в экспликации к уравнению (1). Тогда для построения фазовых траекторий цепи относительно одной из ее реакций xl ( t ), l [1, L ] необходимо выполнить следующее. На основе исходной системы уравнений (3) с использованием результатов [6] формируется сопряженная ей система, в которой в качестве независимой переменной выступает решение xl ( t ) уравнения динамики (3). Система уравнений, сопряженная (3), имеет вид Система уравнений (4) удовлетворяет описанию (1) и, следовательно, для ее решения можно использовать аналитически-численный метод [3]–[5]. В результате решения при заданных предначальных условиях t xl = t0 = 0, x j xl = x j 0 в заданном интервале независимой переменной xl = xl ( t ), l [1, L ], t [ 0; T ] будут построены области, содержащие точные значения фазовых траекторий x j ( xl ), j = 1, L, j l исследуемой нелинейной цепи, и область существования точных значений времени t = t ( xl ), которые соответствуют выбранным точкам фазовых траекторий x j ( xl ).

В последнем случае, если по каким-либо причинам запись уравнения динамики в нормальной форме Коши невозможна [1], то алгоритм построения фазовых траекторий Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== l [1, L ], j l уравнение динамики цепи, записанное в форме (1), преобразуется согласно аналитической части аналитически-численного метода [3]. В результате этого в правой полуокрестности точек с абсциссой t = 0+ все регулярные составляющие решений x j ( t ), j = 1, L будут разложены в ряды Тейлора (2). Тогда можно записать, что Система уравнений (5) является аналогом исходного уравнения динамики цепи (1) xl 0+ = R j 0 и последующем разложении регулярных составляющих x j ( t ) его решений в ряды Тейлора (2).

Тогда с учетом (5) и правил проведения операций над степенными рядами [7] система уравнений, сопряженная (1), относительно независимой переменной xl = x ( t ), l [1, L ] имеет вид Система уравнений (6) подобна (4) и учитывает то обстоятельство, что в правой полуокрестности точек с абсциссой xl = xl 0 регулярные составляющие x j = x j ( xl ), t ( xl ) ее решений разложены в степенные ряды ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Далее с использованием разложения (7) выполняется первый шаг расчета по независимой переменной xl. Согласно процедурам, изложенным в работах [4], [5], строятся области, содержащие точные значения фазовых траекторий x j ( xl ), и соответствующая этому шагу область существования точного значения времени t = t ( xl ). Для второго шага расчета описанный ранее алгоритм повторяется, начиная с формирования системы уравнений (5).

Отметим, что второй из рассмотренных алгоритмов, конечно же, сложнее в плане реализации, так как требует согласования аналитических преобразований исходного уравнения динамики в области независимой переменной t с численным расчетом сопряженной системы по независимой переменной xl = xl ( t ). Однако при этом не накладываются ограничения ни на характер воздействий, ни на форму записи уравнений динамики цепи, а также на ее порядок.

Таким образом, используя предложенные алгоритмы, для выбранных предначальных x ( t ), l [1, L ], t [0; T ], можно построить области, содержащие точные значения фазовых траекторий x j ( xl ), j l, нелинейной неавтономной динамической цепи. Если в решениях уравнений динамики цепи имеются особые точки, то исследование асимптотических свойств фазовых траекторий вблизи особенностей, а также выявление областей существования точных значений абсцисс этих особых точек осуществляется дополнением рассмотренных алгоритмов вычислительными процедурами, предложенными в работе [8].

1. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Филиппов Е. С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 252 с.

2. Паркер Т. С., Чуа Л. О. INSITE – программный инструментарий для анализа нелинейных динамических систем // ТИИЭР. 1987. T. 75, № 8. С. 113–123.

3. Бычков Ю. А., Щербаков С. В. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб.:

Энергоатомиздат, 2001. 241 с.

4. Бычков Ю. А., Косулин А. Е., Щербаков С. В. Оценка точности аналитически-численных решений уравнений динамики нелинейных систем // Приборостроение. 1993. № 4. С. 13–17.

5. Бычков Ю. А., Щербаков С. В. Построение области существования точного решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения при анализе динамики систем аналитически-численным методе // Приборостроение. 1993. №4. С. 24–27.

6. Гофен А. М. Быстрое разложение в ряд Тейлора и решение задачи Коши // Журн. вычисл. мат. и физ.

1982. Т. 22, № 5. С. 13–22.

7. Воднев В. Г., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы / МПИ, М., 1989. 527 с.

8. Бычков Ю. А. Щербаков С. В. Вычислительные алгоритмы построения фазовых портретов нелинейных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996. № 2. С. 173–178.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== Ju. A. Bychkov Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" S. V. Scherbakov Pskov polytechnic institute – Saint-Petersburg state polytechnic university filial V. G. Mitropolsky Velikje luky factory "Transneftemash" Build-up features of phase trajectories of nonlinear nonautonomous electric circuits on the basis of the integral–differential form of their dynamical description The build-up computing algorithm of phase trajectories of nonlinear nonautonomous electric circuits circumscribed by the equations in the integral–differential form is offered. The analytical–numerical method calculating scheme is put in a algorithm basis.

Nonlinear nonautonomous circuits, dynamical equations, Taylor series, conjugate system, calculation step, phase trajectories Статья поступила в редакцию 30 октября 2002 г.

УДК 532.517. Одномерные уравнения мелкомасштабной турбулентности Для практических расчетов турбулентных течений в различных устройствах и приборах Куэтта в развитой турбулентности предлагается схема редукции уравнений Навье–Стокса к системам уравнений с понижением числа степеней свободы.

Аэрокосмические изображения, уравнения турбулентности, турбулентные течения, фронтальные течения, принцип подчинения Хакена В развитой турбулентности проблема редукции уравнений Навье–Стокса к системам уравнений с понижением числа степеней свободы исключительно важна не только с теоретической точки зрения, но и для практических расчетов турбулентных течений в различных устройствах и приборах, например в приборе Куэтта [1]. Другим возможным применением подобного подхода является исследование явлений турбулентного перемешивания, генерируемого фронтальными течениями. Устойчивость фронтов во многом обеспечивается тем, что турбулентное перемешивание стремится поддержать границу между соприкасающимися водными массами. Энергию для турбулентного перемешивания поставляют большие градиенты скорости [2]. В местах резкоА. М. Балонишников, В. Л. Горохов, ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. речных вод происходит разрыв в поле горизонтального перемешивания: фронт как бы является барьером для последнего. Подобные явления хорошо видны на аэрокосмических изображениях [3]. Они представляют большой интерес для экологов, гидробиологов и гидрологов. Это связано с тем, что фронты – зоны повышенного продуцирования фито- и зоопланктона, которые хорошо регистрируются методами спектрозонального зондирования и, возможно, методами радиолокации с системами апертурного синтеза. Для тематического дешифрирования подобных изображений требуется достаточно детальная интерпретация этих явлений.

Особенно большое число степеней свободы приходится на мелкомасштабную часть турбулентности – от энергосодержащих вихрей до элементов масштаба диссипации. Современные физические подходы к описанию мелкомасштабной турбулентности содержатся в [1], [2], [4].

Один из подходов в построении крупномасштабных моделей турбулентности несжимаемой жидкости состоит в разложении полей скорости и давления на крупномасштабную часть и мелкомасштабные части (пульсации). Если уравнения для мелкомаштабных компонентов решаются хотя бы приближенно, то подстановкой полученных решений в уравнения для крупномасштабных компонентов будут получены уравнения и для таких уравнений. До сих пор подобный подход был реализован только с использованием концепции "случайных сил" [5], [6] в линейном приближении, корреляционные характеристики которых задаются дополнительно.

В настоящей статье, насколько известно авторам, впервые предлагается подход, который хотя и не позволяет явно выразить пульсационные составляющие через крупномасштабные поля, однако делает задачу "замыкания турбулентности" квазиодномерной, а не трехмерной. Исходным для анализа служит уравнение для Фурье-компонент поляризационных составляющих пульсаций скорости [7]:

где t – операция взятия частной производной по времени, в частности tv = v t ;

верхние поляризационные индексы (,,, µ, ) принимают значения 1 и 2; – коэффициент кинематической молекулярной вязкости; v1, v 2 –составляющие двухмерного поляризационного вектора скорости v ( k,,, t ), определяемого в сферической системе координат, использованной в [8]; J 11 = 1, J 22 = 2 – элементы диагональной матрицы собственных чисел J ; = ikm j ( k ) ( p ) ( q ) – коэффициенты при нелинейных члеj m нах; k = k ( cos cos sin cos sin ) – вектор, определяемый в той же координатной системе, что и v ; p, q – волновые векторы; 1,2 – два поляризационных единичных вектора, перпендикулярных вектору k:

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== столбцами матрицы B = [b1 b 2 ] служат собственные векторы матрицы A линейной части уравнений для поляризационных компонент скорости (без вязких членов) Ab1 = 1b1, На диагонали матрицы J стоят собственные числа 1,2 линеаризированных уравнений:

( Sij = 0.5 iU j + jU i, i, j = 1, 2, 3 ; U j, U i – компоненты вектора крупномасштабной скорости); tr – след матрицы; = rot U – вектор завихренности.

В приведенной математической модели (1), (2) предполагается постоянство крупномасштабной скорости при рассмотрении динамики мелкомасштабной скорости, в отличие от [5], где постулируется линейность крупномасштабной скорости. Именно поэтому уравнения для мелкомасштабной скорости получаются разными в двух предложенных подходах.

Согласно принципу подчинения Хакена [10], неустойчивые моды, являясь параметрами порядка, подчиняют устойчивые моды. Можно пойти дальше этого принципа, предположив, что наибольший вклад дают наиболее неустойчивые моды, которые нужно описывать с наибольшей точностью, т. е. осуществлять проекцию на эти наиболее быстро растущие моды. В [10] кроме того предполагается, что для стабилизации неустойчивых мод необходимы кубические члены, а выделение наиболее неустойчивых мод осуществляется оператором типа лапласиана. В отличие от этого подхода, в настоящей статье предлагается использовать более простой метод, состоящий в использовании разложения всех переменных (как зависимых, так и независимых) в ряды Тэйлора по двум угловым переменным около точек, соответствующих наиболее быстро растущим Фурьегармоникам скорости, а также ограничиться рассмотрением течения типа Куэтта, в котором у тензора градиента скорости имеется лишь одна отличная от нуля переменная:

S = 1U 2. В этом случае имеем 1 = ( S 2 ) sin ( 2 ) cos 2, 2 = 0. Величина 1 достигает максимального значения в точках 1 = 4, 1 = 0 и 2 = 5 4, 2 = 0. Ограничиваясь несколькими членами ряда Тэйлора вблизи этих точек, имеем ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Соответственно, разложение элементов матриц B и B 1, составленных из собственных векторов исходной матрицы A, имеет вид b11 = 1, b22 = 1 (выбор матрицы B в этом случае несколько произволен);

В исходное уравнение (1) для модифицированных поляризационных компонент v входят (под знаком суммы) волновые векторы q = k p. Легко показать, что в сферической системе координат, используемой здесь, как и в [9], индексы q, k, p указывают на компоненты соответствующих векторов.

Тогда разложения q и q вблизи углов i и i имеют вид Из физических соображений q = k p 2 L, где L – масштаб, разделяющий пульсации и крупномасштабное движение. В моделировании больших вихрей под L можно подразумевать шаг разностной сетки. Из вида последних разложений можно предположить, что указанный подход будет описывать взаимодействие вихрей существенно разных масштабов не очень точно. Следуя принципу подчинения Хакена [10], можно положить устойчивые и нейтральные (в рассматриваемом случае) v 2 = 0. Вблизи самых неустойчивых направлений, определяемых углами i, i, наибольший вклад дадут нелинейные члены с коэффициентами Следуя работе [9], при L можно перейти от суммы к интегралу по волновым числам в (2): ( 2 L ) ряд Тэйлора, получим следующее приближенное уравнение для неустойчивых мод мелкомасштабной скорости v1 :

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== где ( unst ) – углы, соответствующие неустойчивым модам; p [ 0, 2] [, 3 2] ;

Метод решения интегрального уравнения разложением ядра и неизвестной функции в ряд Тэйлора около некоторой точки известен (см., например, [11]), хотя применялся, по-видимому, достаточно редко. Здесь этот метод применяется для интегрально-дифференциального уравнения и лишь для части независимых переменных (в рассматриваемом случае – только для угловых переменных).

В предположении, что в (3) значения функции v1 совпадают тождественно в предполагаемых точках максимума, являющихся максимумами 1, главные члены ряда Тэйлора будут иметь вид Соответственно, Подставляя разложения в ряды Тэйлора в приближенное уравнение (3), выполнив необходимые интегрирования по угловым переменным и приравняв коэффициенты при степенях угловых переменных k и k 1, получим интегрально-дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций r ( k, t ), c ( k, t ), d ( k, t ), f ( k, t ) (из уравнения для f следует, что f 0 ):

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1 0.32 ; 2 0.12 ; m = ( 2 L ) 3 – модуль наименьшего волнового числа.

Из физических соображений из области интегрирования должна быть удалена область k p m, соответствует крупномасштабному движению.

Решение системы уравнений (4)–(6) требует гораздо меньшего компьютерного времени из-за одномерности задачи в пространстве волновых чисел даже для очень больших сеточных чисел Рейнольдса Re L = SL2. Полученные интегрально-дифференциальные уравнения преобразованиями K = kL, T = tS L, D = d SL, V ( K ) = v0 SL, C ( K ) = c SL можно свести к безразмерному виду.

Если дополнительно ввести новые переменные G = D k 4, Q = C k 4, F = V k 2, то можно избавиться от волновых чисел в знаменателях подынтегральной функции (из-за громоздкости и очевидности преобразований полученные уравнения не приводятся). Расчетом нестационарных одномерных уравнений модели и сравнению с экспериментальными спектрами турбулентности будет посвящена отдельная работа.

1. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1, 2. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992.

740 с.

2. Монин А. С. Турбулентность и микроструктура в океане // УФН. 1973. Т. 109. Вып. 2. С. 333–354.

3. Экспериментальная обработка радиолокационных изображений высокого разрешения, полученных при помощи системы с синтезируемой апертурой / К. Я. Кондратьев, Г. А. Ефремов, А. А. Бузников, В. Л. Горохов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 317, № 1. С. 70–77.

4. Frisch U. Turbulence. The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

643 p.

5. Скворцов Г. Е., Тимохов Л. Е. К теории турбулентности // Вест. ЛГУ. 1980. № 13. С. 106–119.

6. A dynamic subfilter model for plane parallel flows / B. Dubrulle, J. P. Laval, S. Nazarenko, N. K.-R. Kevlahan // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13, № 7. P. 2045–2054.

7. Балонишников А. М. Турбулентная вязкость и крупномасштабная завихренность в моделировании большими вихрями // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 1. C. 33–38.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== 8. Lee J. The triad-interaction representation of homogeneous turbulence // Journ. of Mathem. Phys. 1975.

Vol. 16, № 7. P. 1359–1366.

9. Брюно М. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

255 с.

10. Хакен Г. Синергетика / Пер с англ. М.: Мир, 1980. 404 с.

11. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ. пособие. Киев: Наук. думка, 1986. 369 с.

A. M. Balonihnicov, V. L. Gorohov The Sаint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" The One-Dimensional Equations of Small-Scale Turbulences A method for approximation of the Navier-Stokes equations to equations system with reduction of the freedom degrees number is offered for practical calculation of the turbulent flows in different devices and Couette instrument in developed turbulence.

Aerospace image, turbulence model, turbulent flow, frontal currents, Haken's slaving principle Статья поступила в редакцию 30 января 2003 г.

УДК 621. 396. Исследование информативности оценок фазочастотных спектров авторегрессионных Приводятся результаты исследования оценок фазочастотных спектров, полученных на основе использования авторегрессионных моделей. Показана их высокая информативность при решении задачи оценивания частот узкополосных и гармонических сигналов на фоне аддитивного шума. Получены соотношения для расчета авторегрессионных оценок фазочастотных спектров. Приведены результаты экспериментальных исследований на примере оценивания доплеровских спектров в загоризонтных РЛС декаметрового диапазона.

Спектральное оценивание, авторегрессия, параметрические модели Модельно-параметрические методы оценивания спектральной плотности мощности (СПМ) на основе авторегрессионных (АР) моделей широко применяются в различных приложениях для обработки данных во временной, в частотной и пространственной областях [1]. Они являются разумной альтернативой традиционным методам, основанным на преобразовании Фурье (ПФ) в тех случаях, когда на ограниченной выборке требуется ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. обеспечить высокое разрешение при условии, что данные могут быть адекватно представимы АР-моделью. Спектральная обработка на основе таких моделей может применяться и в задачах, когда данные зашумлены или искажены помехами, а от алгоритма обработки не требуется адекватное отображение СПМ в целом, в частности его помеховой составляющей. В подобных задачах критерием применимости, как правило, является обеспечение требуемых показателей качества (характеристики обнаружения, точности, статистического разрешения) [1].

В то же время комплексные АР-оценки спектра практически не используются на практике, поскольку считается, что оценки фазочастотного спектра (ФЧС), полученные на основе АР-моделей, не адекватны ФЧС анализируемого процесса [2]. По-видимому, этим объясняется крайне ограниченное число публикаций, посвященных исследованиям АР-оценок ФЧС [3]. В настоящей статье предпринята попытка определить информативность АР-оценок ФЧС и оценить возможность их использования в задачах обработки сигналов.

Основные соотношения. Рассмотрим стационарный центрированный процесс x(n ), представленный дискретными отсчетами в соответствии с теоремой Котельникова.

АР-оценка комплексного спектра FAP ( j ) процесса x(n ) имеет вид [4]:

где PK – мощность ошибки предсказания; a k – параметры АР-модели; K – порядок АР-модели; [, ] – нормированная к шагу дискретизации данных частота. Если ввести вектор комплексных синусоид S K ( j ) и вектор комплексных АР-параметров a K с размером ( K + 1), то АР-оценку СПМ (1) можно представить в векторной форме:

митово сопряжение и транспонирование векторов и матриц соответственно. Известно [4], что АР-модель в виде линейно-разностного уравнения может применяться как непосредственно к выборке { x ( n )} ( n = 1, 2, …, N ) анализируемого процесса x(n ), так и к его автокорреляционной последовательности r ( k ), ( k = 0, 1, 2, …, N 1), полученной на основе этой выборки. Соответственно, изменяются и алгоИзвестия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== ритмы вычисления вектора параметров АР-модели a K, которые описаны, например в [4], и здесь не рассматриваются.

Определим АР-оценку ФЧС AP ( ), как в [3]:

где Im() и Re() – мнимая и реальная части комплексного спектра (2) соответственно. Заметим, что FAP ( j ) может быть представлена в виде (Здесь FAP ( ) = FAP ( j ) = FAP ( j ) FAP ( j ) – модуль АР-оценки спектра). При этом числитель FAP ( j ) – действительная величина, поэтому оценка ФЧС AP ( ), представленная в виде (3), определяется только знаменателем FAP ( j ). Обозначим последний, как A( j ), тогда Представим комплексные параметры АР-модели, как a k = a k exp( j k ), где a k и k – модуль и аргумент a k соответственно. Тогда АР-оценки спектра A( j ) на множители. Для этого выполним z-преобразование вида z = exp( j ) и найдем корни полинома A( z ), решив характеристическое уравнение вида при a 0 = 1. В соответствии с основной теоремой алгебры полином К-й степени с комплексными коэффициентами имеет К комплексных корней z k = z k exp( j k ), называемых полюсами АР-модели [4]. Отсюда следует, что (7) представимо в виде ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. или при возвращении в (8) к прежним переменным С учетом (9) оценка спектра (2) может быть представлена как причем для формы (4) справедливо:

Составляющие АР-оценки ФЧС k ( ), соответствующие отдельным полюсам z k, из которых суммируется результирующая АР-оценка ФЧС AP ( ) в (10), далее будем называть парциальными оценками ФЧС.

Исследование свойств АР-оценок ФЧС начнем с простейшего случая использования модели первого порядка (K = 1). В качестве тестового сигнала будем использовать аддитивную смесь комплексной синусоиды определенной частоты 0 и переменной амплитуды U 0 и нормального дельта-коррелированного шума с нулевым средним и единичной дисперсией (мощностью) ш = 1. В этом случае z 1 = a 1 и оба вида оценки ФЧС (6) и (10) идентичны. Для расчета вектора АР-параметров a K воспользуемся известным алгоритмом Берга [4], в основе которого лежит устойчивый (минимально-фазовый) фильтр прямого и обратного линейных предсказаний. Это означает, что комплексные полюсы АР-модели лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости и z k 1, причем lim z k = 1, где q = U k ш – отношение сигнал/шум для k-го полюса [5].

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== Далее для удобства будем анализировать величину AP ( ) = AP ( ). Такой переход логичен, если вспомнить, что фильтр предсказания ошибки – инверсный по отношению к оцениваемому спектру сигнала [6]. Это означает, что фильтр предсказания ошибки является выбеливающим по отношению к СПМ сигнала и имеет сопряженную фазочастотную характеристику. На рис. 1 представлены АР-оценки ФЧС, полученные при порядке модели K = 1 и различных значениях q. Для сравнения там же пунктиром показаны нормированные к мощности ошибки предсказания Pk АР-оценки СПМ FАР ( ) вида (10), полученные при тех же значениях отношения сигнал/шум. Истинному положению гармонического сигнала на частотной оси соответствует нулевая частота.

дельта-функцию в точке, соответствующей частоте гармонического сигнала, оценка ФЧС претерпевает разрыв. Эта взаимосвязь двух оценок побуждает рассмотреть поведение производной оценки ФЧС ( ).

Воспользуемся формой записи AP ( ) вида (5) и после взятия производной и несложных преобразований получим откуда очевидна непосредственная связь оценки СПМ и производной оценки ФЧС. Раскрыв выражение (11), получим Если представить AP ( ) в виде (10), то производная АР-оценки ФЧС может быть записана как ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Результаты сравнения оценки СПМ и производной оценки ФЧС при первом порядке АР-модели представлены на рис. 2. Сопоставлением графиков зависимостей двух оценок, полученных при различных q, иллюстрируется качественное совпадение формы спектральных оценок FAP ( ) и ( ) при несколько большей остроте спектральных макAP симумов последней.

Воспользуемся следующими тригонометрическими рядами [7]:

Тогда производную парциальной оценки ФЧС можно представить в виде откуда производная оценки ФЧС может быть представлена как а сама оценка ФЧС примет вид фициентами zk или как преобразование Фурье некой четной функции казательства выполним обратное преобраq шись выражением (12):

где F 1 {} – оператор обратного преобразования Фурье. Используем свойство преобразования Фурье при сдвиге функции по частоте и возникающей при этом четности парциальной оценки ( arg { zk } ). Тогда интеграл в (14) приведет к выражению Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== Поскольку преобразование Фурье линейно, можно записать:

Справедливо также выражение полученное на основе свойства дифференцирования преобразования Фурье [7].

Будем считать ( ) псевдооценкой СПМ, тогда (15) можно рассматривать как псевдооценку автокорреляционной функции (АКФ) R ( n ). Заметим, что для первого порядка АР-модели обратное преобразование Фурье от нормированной АР-оценки СПМ FAP ( ) вида FAP ( ) = 1 z1 exp { j}, являющейся ближайшим аналогом производz ), ко- ной парциальной оценки ФЧС ( ), приводит к оценке АКФ: R ( n ) = z торая имеет тот же характер зависимости от n и отличается только амплитудным множителем.

На основании (15) и (16) можно составить систему уравнений, используя, например соотношение 2 j F 1 { ( )} = R ( n ), при n = 1, 2, …, K, которая примет вид Легко заметить, что матрица, образующая правую часть системы уравнений (17), является матрицей Вандермонда [3] и аналогична матрице, образующейся при записи исходных уравнений метода Прони [4]. В общем виде подобная система нелинейных уравнений трудно разрешима относительно zk, однако использование подхода Прони, основанного на априорном представлении характеристического уравнения в виде (7), позволяет найти частное решение этой системы при двойной избыточности значений R ( n ). ЗамеK В завершение выполним прямое дискретное преобразование Фурье от R ( n ) вида (15):

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. где N – дискретная длина выборки R ( n ), доступная для выполнения преобразования Фурье. Если положить N достаточно большим, числители в слагаемых можно принять близкими по модулю к 1. Тогда выражение (18) изменится и примет вид Напомним, что АР-оценка может быть записана как FAP ( j ) = видны связь и отличия двух спектральных оценок.

Экспериментальные исследования АР-оценок ФЧС. Для исследования свойств найденных оценок ФЧС воспользуемся реальными сигналами, полученными с помощью экспериментальной загоризонтной РЛС декаметрового диапазона волн, которая работала в когерентно-доплеровском режиме [8]. Задача обработки отраженных сигналов заключалась в получении оценок доплеровских спектров, позволяющих разрешать сигналы, отраженные движущимися судами и взволнованной морской поверхностью. На рис. 3 представлены зависимости FAP ( f ), AP ( f ) и ( f ), ( f = 2 ) при оценивании доплеAP ровского спектра сигнала, состоящего из смеси трех узкополосных компонент, близких к синусоидальному виду, и нормального "белого" шума (резонансные брэгговские отражения от морской поверхности и отраженный от надводного корабля сигнал, полученные в натурных условиях в декаметровом диапазоне радиоволн).

Как видно из графиков, максимумы FAP ( f ) и ( f ) по-прежнему совпадают, что позволяет считать их равноточными в задаче измерения частотных параметров сигналов.

Отметим, что оценка ФЧС AP ( f ), в отличие от парциальных ФЧС, не обязательно равна нулю в точках f = arg { zk } 2. Производная оценки ФЧС ( f ) имеет более острые максимумы и, как следствие, более высокое рэлеевское разрешение, которое наглядно проявляется в раздельном наблюдении правых максимумов (брэгговская линия первого порядка отраженного морем сигнала и сигнал Повышение порядка АР-модели улучшает симумы. С одной стороны, это обеспечивает смысле критерия Рэлея, но, с другой – привоИзвестия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1====================================== дит к увеличению амплитуды "шумовых" максимумов, которые могут ошибочно приниматься за полезные сигналы, что иллюстрируется рис. 4, на котором наблюдаются два брэгговских максимума спектра морского волнения, слабые отражения вблизи нулевой частоты от береговой черты, поступающие по боковым лепесткам диаграммы направленности антенны, а также два сигнала от приближающегося 1 и удаляющегося 2 судов (крайние правый и левый максимумы соответственно). Можно говорить о более низкой устойчивости спектральной оценки на основе производной ФЧС ( f ) к воздействию аддитивного шума. Этот вывод подтверждается сравнением характеристик обнаружения обеих оценок, приведенных на рис. 5 в виде зависимостей вероятности правильного обнаружения D от отношения сигнал/шум на входе q при вероятности ложных тревог F = [5], которые получены статистическим моделированием классической задачи обнаружения одиночного сигнала с неизвестными частотой и фазой на фоне нормального "белого" шума.

Особенностью спектральной оценки на основе производной ФЧС является наличие областей отрицательных значений, что не позволяет рассматривать ее как полноценный эквивалент АР-оценки СПМ. Однако свойство ( f ) таково, что полезные сигналы моAP гут отображаться только в области положительных значений, поэтому можно говорить о псевдооценке СПМ. В некоторых приложениях это может существенно сократить объем вычислений за счет исключения областей отрицательных значений ( f ).

Еще одним полезным свойством АР-оценок ФЧС оказалась возможность обеспечения постоянного значения вероятности ложных тревог при обнаружении сигналов на фоне нормального "белого" шума при изменении интенсивности последнего. Это свойство становится актуальным при обнаружении сигналов на фоне нестационарных внешних шумовых помех естественного и искусственного происхождения.

Выполненные исследования показали, что АР-оценка ФЧС обладает достаточно высокой информативностью, а ее производная может использоваться как псевдооценка СПМ, обладающая сопоставимой точностью измерения частоты и повышенным рэлеевским разрешением. Наличие областей отрицательных значений может существенно сократить процедуру поиска локальных максимумов АР-оценки СПМ, что особенно важно при больших порядках модели и высоком отношении сигнал/шум. В то же время, АР-оценка ФЧС или ее производная обладают меньшей устойчивостью к воздействию шума, что сказывается на характеристиках обнаружения и ограничивает их применение в качестве самостоятельных рабочих статистик обнаружения.

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 1. Кутузов В. М. Проблемы и перспективы применения параметрических методов обработки радиолокационной информации // Радиоэлектроника в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете. Сб. науч. тр. СПб., 1996. Вып. 2. С. 86–98.

2. Джейнс Э. Т. О логическом обосновании метода максимальной энтропии // ТИИЭР. 1982. Т. 70, № 9.

С. 33–51.

3. Vartiainen E. M., Peiponen K.-E. Asakura T. Generalized noniterative maximum entropy procedure for phase retrieval problems in optical spectroscopy // Optics Communications. 1993. Vol. 104, № 1–3. Р. 149–156.

4. Марпл С. Л. мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

5. Кутузов В. М. Рабочие статистики методов максимальной энтропии в задаче обнаружения и оценивания параметров сигналов // Корабельное радиооборудование и автономные системы навигации: Сб. науч.

тр. / ЛЭТИ. Л. 1990. С. 3–8. (Известия ЛЭТИ. Вып. 427).

6. Хайкин С., Карри Б. У., Кеслер С. Б. Спектральный анализ радиолокационных мешающих отражений методом максимальной энтропии // ТИИЭР. 1982. Т. 70, № 9. С. 51–62.

7. Корн Г. К. Корн Т. К. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 831 с.

8. Kutuzov V. M., Svetlitchny V. A., Rjabukov I. R. Estimation of Influence Sea Bottom on Doppler Spectra HF Radar in Coastal Zone // Remote Sensing for Marine and Coastal Environments: Procееding of Fifth International Conf. San Diego, USA, 5-7 October, 1998. Vol. 2. Ann Arbor, USA, MI: ERIM Int. Inc., 1998. P. 163–168.

V. M. Kutuzov The Sаint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" Исследование информативности оценок фазочастотных спектров авторегрессионных моделей The results of the phase spectrum estimation research, obtained on base of autoregressive models use are given. Their high selfdescriptiveness at decision of the problem of frequency evaluation for narrow-band and harmonic signals with additive noise is demonstrated.

The relations for the calculation of autoregressive phase spectrum evaluation are found. The results of the experimental research on example of Doppler spectrum evaluation by over the horizont radar HF-band.

Spectrum estimation, autoregression, parametric models Статья поступила в редакцию 27 февраля 2003 г.

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. Системы телекоммуникации, устройства передачи, приема и обработки сигналов УДК 621.375. университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича Усилители смешанного режима с адаптивным источником питания первого канала при ограниченном речевом сигнале Рассмотрен усилитель смешанного режима с адаптивным источником питания первого канала. Исследовано КПД такого усилителя при речевом сигнале, имеющем различную степень ограничения колебания. Показано, что для него характерна высокая экономичность при значительном снижении негативных факторов, Усилители мощности звуковой частоты, усилители смешанного режима, КПД усилителей, вероятностная модель речевого сигнала Наибольшей энергетической эффективностью обладают усилители, работающие в режиме D, предельный КПД которых стремится к единице. Однако присущий им ряд недостатков (узкий динамический диапазон, пульсации выходного напряжения, влияющие на степень повторения формы усиливаемого колебания, существенный уровень высокочастотных помех, излучаемых усилителем, и др.) затрудняют широкое использование таких усилителей. Для достижения компромисса между экономичностью усилителя и снижением негативных факторов, сопровождающих его работу, используют усилители смешанного режима. Они состоят из двух чередующихся при работе на общую нагрузку Rн усилительных каналов, один из которых аналоговый и имеет меньшее напряжение питания E1, другой – представляет собой усилитель режима D, питающийся от источника с напряжением E E1.

Такие усилители особенно перспективны для усиления сигналов с большим пик-фактором, в которых колебания с малыми мгновенными значениями встречаются наиболее часто. В этом случае работает в основном аналоговый канал, у которого недостатки, присущие режиму D, отсутствуют. Одним из основных показателей, влияющих на КПД этих усилителей и качество воспроизведенного ими сигнала, является соотношение напряжений питания каналов 1 = E1 E, которое определяет порог их переключения. С его уменьшением возрастает время работы усилителя режима D, что увеличивает общий КПД, но одновременно все ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. жение осложняется непостоянством вида воспроизводимых сигналов, для каждого уровня сигнала, т. е. использовать адапVD полярного сигнала, работающего по такоРис. му принципу, приведена на рис. 1 [1]. Он состоит из аналогового канала 1, выполненного на транзисторе VT1, и ключевого – 2, использующего транзистор VT2. Блок управления 3 в зависимости от соотношения мгновенного значения сигнала и порога переключения каналов передает входное колебание либо на первый, либо на второй каналы. Во втором канале аналоговый сигнал преобразуется в последовательность импульсов, модулированных по длительности (широтно-импульсная модуляция – ШИМ), которые управляют работой ключевого транзистора VT2. При малых мгновенных значениях сигнала работает аналоговый канал 1. Его питание осуществляется от конденсатора Cп, который при этом частично разряжается (индекс "п" указывает, что конденсатор используется в качестве источника питания). При превышении входным сигналом порога переключения канал 1 отключается и выходное колебание начинает формироваться усилителем режима D (транзистор VT2 ). Одновременно через элементы VT2 и Lз происходит подзаряд конденсатора Cп. Этот процесс сопровождается малыми потерями, так как осуществляется через транзистор, работающий в ключевом режиме.

При усилении сигналов с большим пик-фактором, у которых уровни, превышающие порог переключения (чередования работы) каналов, встречаются редко, длительность работы ключевого канала уменьшается. Это приводит к уменьшению напряжения на Cп и к понижению порога переключения каналов, который им определяется. Наличие режима D суживает область применения усилителей, в состав которых он входит, и делает целесообразным их использование в основном в звуковещательных установках, работающих при максимальных уровнях мощности. Поэтому будем рассматривать значения КПД такого усилителя, достигаемые при усилении ограниченного речевого сигнала максимально возможной амплитуды, как наиболее характерного вида колебания, воспроизводимого в звуковещательных установках.

Плотность распределения вероятности мгновенных значений речевого сигнала, учитывающая возможность его амплитудного ограничения, хорошо аппроксимируется функцией [2] ===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. где 0 x amax – нормированное относительно максимального мгновенное значение сигнала; max = U н U max – относительная амплитуда напряжения на нагрузке ( U н – максимальное реально формируемое напряжение на нагрузке; U max – максимально достижимое значение напряжения на R н, ограниченное напряжением питания и относительными сопротивлениями насыщения активных элементов второго канала усилиa 1) амплитудного ограничения сигнала ( U н max – максимальное мгновенное значение сигнала, действовавшее бы на Rн при устранении ограничения колебания); () – единичная -функция); ( ) = exp t 2 dt – интеграл вероятности. Для рассматриваемого случая достаточно в (1) принять max = 1.

Из приведенного описания работы усилителя следует, что в нем энергия, потребляемая первым каналом, восстанавливается за время работы второго и динамический баланс работы каналов может быть записан следующим уравнением:

где I н max = U н max Rн ; max1 – относительная амплитуда выходного напряжения, соответствующая порогу переключения каналов; x = tи Tп ( tи – длительность импульса ШИМ в ключевом каскаде; Tп – период повторения импульсов ШИМ); Tп – период тактовой частоты ШИМ); I з max – максимальный ток, протекающий по цепи заряда; з – постоянная времени цепи заряда Cп.

Входящие в (2) параметры определяются следующим образом.

Относительная амплитуда выходного напряжения, соответствующая порогу переключения каналов:

где 1 = U D01 E – относительное значение порогового напряжения отключающего диода VD D1 = rD1 Rн – относительные значения сопротивлений насыщения транзистора VT1 и диода VD1 соответственно; max = U max E – коэффициент использования напряжения питания.

Максимальный ток, протекающий по цепи заряда:

===================================== Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. где U D0з – пороговое напряжение диода VD з ; U Cп – напряжение на конденсаторе Cп, используемое для питания первого канала; Rз = rDз + rLз ( rDз – дифференциальное сопротивление VD з ; rLз – сопротивление дросселя Lз ).

При определении мгновенного тока заряда iз считаем, что конденсатор Cп имеет значительную емкость и пульсациями напряжения U Cп на нем можно пренебречь. Поэтому ток, протекающий через VD з и Lз и представляющий собой колебание с ШИМ, может быть выражен в виде iз = I з max (Tп з ) tи Tп.

В рассматриваемом усилителе значение max определяется не только током нагрузки, но и током заряда, и может быть найдено из уравнения где з = U D0з E – относительное значение порогового напряжения диода VD з.

причем в данном случае 1 = U Cп E.

Использование ключевого VT2 и стробирующего VTс транзисторов, а также рекуперативного диода VD 2 одновременно в цепях формирования напряжения на нагрузке и источника питания первого канала приводит к увеличению мощностей потерь, выделяюI з I н max = ( Lн Lз )( max з 1 ) max = k, = I з maxTп з. Тогда ток, протекающий через эти элементы, должен быть увеличен в (1 + k ) раз. Подстановкой в (2) плотности распределения вероятности wp и с учетом в ней max = 1 получим условия динамического баланса работы каналов в виде где B = 12a max1, A = 12a. Напомним, что max1 = ( 1 1 ) (1+1 + D1 ) max.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном бюджетном учреждении высшего профессионального образования СанктПетербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича. Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, Сергеев Валерий Варламович Официальные оппоненты: Сороцкий Владимир Александрович, доктор технических наук, доцент, СанктПетербургский государственный политехнический университет, кафедра радиотехники и телекоммуникаций,...»

«621.391.2(07) № 4053 Р 851 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Технологический институт Федерального государственного образования Южный федеральный университет ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ОБРАЗОВАНИЕ (2006—2007 гг.) ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ КАФЕДРА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ И Руководство к циклу лабораторных работ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕМОДУЛЯТОРОВ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Для студентов специальностей 210304 Радиоэлектронные системы и 210402...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Для студентов очного обучения факультетов Электроники, ИТ и РТС МОСКВА 2011 2 Составители: А.Ф.Золотухина, О.А.Малыгина, Е.С. Мироненко, Т.А. Морозова, О.Э. Немировская-Дутчак, Э.В. Переходцева, И.Н. Руденская, Л.И....»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ 47 НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ АСПИРАНТОВ, МАГИСТРАНТОВ И СИТУДЕНТОВ МАТЕРИАЛЫ СЕКЦИИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 10 - 11 мая 2011 года Минск 2011 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ СБОРНИКА Батура М.П. ректор университета, д-р техн. наук, профессор Кузнецов А.П. проректор по научной работе, д-р техн. наук, профессор Хмыль А.А. проректор по учебной работе и социальным вопросам, д-р техн. наук, профессор Короткевич А.В. декан...»

«Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра Телекоммуникационные системы Специальность 6М071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникации ДОПУЩЕН К ЗАЩИТЕ Зав. кафедрой к.т.н. Шагиахметов Д.Р. (ученая степень, звание, ФИО) (подпись) _ _ 2014г. МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ пояснительная записка на тему: Исследование влияния различных факторов на скорость распространения сигнала по технологии WLL Магистрант_Абданбаева М.М. _ группа МТСп-12- (Ф.И.О.)...»

«Известия СПбГЭТУ ЛЭТИ 1’2007 СЕРИЯ История науки, образования и техники СО ЖАНИЕ ДЕР ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ Редакционная коллегия: О. Г. Вендик Золотинкина Л. И. Начало радиометеорологии в России Партала М. А. Зарождение радиоразведки в русском флоте Ю. Е. Лавренко в русско-японскую войну 1904-1905 гг. В. И. Анисимов, А. А. Бузников, Лавренко Ю. Е. Коротковолновое радиолюбительство в истории радиотехники Л. И. Золотинкина, Любомиров А. М. Индукционная плавка оксидов В. В. Косарев, В. П. Котенко, в...»

«144 ГЛАВА 5 РАСТРОВАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ МИКРОСКОПИЯ 5.1. ВВЕДЕНИЕ Принципиально новая идея построения электронного микроскопа была сформулирована в 1935 году М.Кнолем (идея оптического сканирующего микроскопа была ранее высказана и реализована одним из создателей современного телевидения В.К.Зворыкиным в 1924 году) [1-5]. Согласно этой идее изображение объекта формируется последовательно по точкам и является результатом взаимодействия электронного пучка (зонда) с поверхностью образца. Каждая точка...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.В. Булах _ _ 2009г. Английский язык для начинающих радиотехнического факультета и факультета информационных технологий УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 40.01.01 Программное обеспечение информационных технологий 39.02.01 Моделирование и компьютерное проектирование РЭС 40.02.01 Вычислительные машины и сети 36.04.02 Промышленная...»

«ВВЕДЕНИЕ Быстрое развитие микроэлектронных технологий, рост степени интеграции и функциональной сложности привели к тому, что основу элементной базы большинства современных радиоэлектронных и вычислительных устройств составляют большие и сверхбольшие интегральные схемы (БИС и СБИС), содержащие сотни тысяч и миллионы транзисторных структур на полупроводниковом кристалле. При этом все шире используются специализированные (заказные и полузаказные) СБИС, при помощи которых достигается значительное...»

«Отчет ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН по целевой программе Президиума РАН Поддержка молодых ученых за 2012 год: Федеральное государственное бюджетное учреждение наук и Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук (включая Фрязинский, Саратовский и Ульяновский филиалы) в рамках интеграции с Вузами имеет 11 научно-образовательных центров, в которых обучается 538 cтудентов и 55 аспирантов, 1 докторант, 7 соискателей: 1. Кафедра твердотельной электроники и...»





Загрузка...



 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.