WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

2901

УДК 681.5.015

О МЕТОДОЛОГИИ СТРУКТУРНОЙ

ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ

Т.В. Авдеенко

Новосибирский государственный технический университет

Россия, 630073, Новосибирск, К. Маркса пр., 20

E-mail: tavdeenko@mail.ru

Ключевые слова: параметрическая идентификация, структурная управляемость и наблюдаемость, локальная и глобальная идентифицируемость, условия ранга и порядка Аннотация: В настоящей статье рассматривается современная терминология и методология идентифицируемости. Проводится исторический экскурс в проблему, даются определения идентифицируемости как структурного свойства. При описании методологии акцентируются различия в подходах к анализу локальной и глобальной идентифицируемости. Приводятся условия ранга и порядка локальной и глобальной идентифицируемости для линейных моделей в пространстве состояний, описываются особенности их применения. Использование условий идентифицируемости иллюстрируется анализом класса моделей с матрицей состояния в форме Фробениуса.

1. Введение Следуя [1], построение математической модели на основе реальных данных предполагает выполнение следующих этапов:

cбор экспериментальных данных;

формирование множества моделей-кандидатов, на котором ищется модель, наилучшим образом соответствующая экспериментальным данным;

выбор критерия оценки степени соответствия испытываемой модели данным;

решение задачи оптимизации – нахождение модели, соответствующей минимуму рассогласования экспериментальных и расчетных данных.

На этапе сбора экспериментальных данных происходит формирование выборки, включающей достаточное количество наблюдений за входными и выходными переменными рассматриваемой системы. На втором этапе исследователь обычно сосредотачивается на определенном классе моделей-кандидатов, зависящем от множества факторов, характеризующих исследуемую систему.

Естественным способом получения множества моделей-кандидатов в выбранном классе – введение параметризации, т.е. зависимости рассматриваемых модельных структур от неизвестных параметров. Таким образом, множеством моделей-кандидатов может быть класс моделей, имеющих одинаковую структуру, но отличающихся друг от друга значениями неизвестных параметров-констант. В качестве констант параметризации удобно выбирать величины, имеющие конкретный физический смысл из рассматриваемой проблемной области. Однако часто такой выбор приводит к проблеме неидентифицируемости модельной структуры, особенно, если количество неизвестных констант достаточно велико в сравнении с количеством информации, получаемой из наблюдений за системой. Поэтому часто выбор констант для оценивания регламентиXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г.

руется какой-либо строго заданной формой модели (например, канонической формой), что не вполне удобно для их дальнейшей интерпретации.

После выбора класса моделей необходимо найти критерий – правило оценки соответствия построенной модели реальной системе. В качестве такого критерия чаще всего принимается некоторый функционал от разностей значений переменных, вычисленных из математической модели, и соответствующих переменных реальной системы. На последнем этапе происходит непосредственное решение оптимизационной задачи – нахождение оценок параметров, доставляющих минимум критерию оптимальности, т.е.

нахождение наилучшей модели.

Построение модели в соответствии с вышеописанной схемой называется параметрической идентификацией. После построения модели таким способом необходимо провести исследование достоверности – степени соответствия построенной модели реальной системе. Если устанавливается недостаточная достоверность модели, то необходимо вернуться на предшествующие этапы для пересмотра полученных результатов.

Самый очевидный случай, если недостоверное решение получено в результате некорректного решения оптимизационной задачи. Здесь возможна ситуация, когда полученное решение не является оптимальным вследствие выбора неподходящего метода оптимизации. Если решение оптимизационной задачи корректно, т.е. мы действительно получили глобальный минимум, а модель все еще недостоверна, то, возможно, причина заключается в неправильном выборе критерия оптимальности, определяющем, в конечном счете, метод оценивания неизвестных параметров. Если критерий оптимальности выбран подходящим образом, то при поиске причин недостоверности модели необходимо подняться к еще более раннему этапу – пересмотру класса моделей, среди которых ищется наилучшая. Может оказаться, что множество моделей оказалось неполноценным в том смысле, что в нем не существует достаточно хорошего описания реальной системы. Например, мы ограничились классом линейных регрессионных моделей, однако исследование выявило существенную нелинейную связь, описываемую логарифмической зависимостью между регрессорами и выходной переменной. Для получения достоверной модели необходимо расширить класс рассматриваемых моделей, дополнив его необходимыми нелинейными зависимостями.

Наконец, предположим, что класс моделей выбран таким образом, что в нем существует хорошее описание реальной системы. Тогда причину неадекватности следует искать еще выше - на этапе сбора экспериментальных данных. Данную проблему можно сформулировать в общем виде следующим образом: множество собранных данных оказывается недостаточно информативным, чтобы можно было обеспечить построение по ним хорошей модели.

Сформулированная проблема о недостаточной информативности экспериментальных данных является более глубокой, чем кажется на первый взгляд. Часто оказывается недостаточным просто увеличить объем выборки для того, чтобы добиться существенного улучшения свойств модели. Мы можем увеличивать объемы используемых данных до бесконечности, но не получить желаемого результата. Дело здесь может быть не в количестве, а в качестве и структуре используемых данных.

Говоря о качестве данных, имеется в виду их информационное наполнение. Мерой информационной насыщенности данных может выступать функционал от информационной матрицы Фишера, который максимизируется при выполнении процедур планирования экспериментов. Чем больше определитель информационной матрицы, тем больше информации об оцениваемых параметрах содержится в наблюдениях за системой. Однако не всегда методы планирования эксперимента могут помочь в ситуации неинформативности данных. Возможен случай, когда информационная матрица Фишера является вырожденной, причем варьирование эксперимента в пределах выбранной

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г.

схемы его проведения не приводит к увеличению определителя информационной матрицы. Речь здесь идет о структуре данных и ее несоответствии структуре модели.

На этапе сбора данных о системе мы, вообще говоря, можем еще не знать класс моделей, с которым будем работать. Поэтому вполне возможной может оказаться ситуация, когда построенная на втором этапе модельная структура чересчур сложна для той схемы данных, согласно которой формируется выборка для оценивания параметров. Количественно это выражается в том, что число неизвестных параметров модели оказывается больше, чем число уравнений в системе идентифицирующих уравнений, при этом определитель информационной матрицы оказывается равным нулю.

Проблема несоответствия структуры модели и схемы данных приводит к неоднозначности получения оценок неизвестных параметров (неоднозначности решения задачи параметрической идентификации), когда одной и той же выборке экспериментальных данных одинаково хорошо соответствует не одна, а сразу множество моделей с выбранной параметрической структурой. Такая ситуация свидетельствует о неидентифицируемости модельной структуры.

Пик интереса исследователей к проблемам параметрической идентифицируемости пришелся на 80-е годы прошлого века. Исследования в данной области развивались как в нашей стране, так за рубежом. В эти годы в основном сформировалась теория идентифицируемости и основные подходы к ее анализу для различных классов моделей.

Однако, как показывает анализ современных публикаций, авторы, занимающиеся построением моделей в различных практических областях, особенно в области экономики, зачастую пренебрегают исследованием идентифицируемости, результатом чего является неоднозначность построенных моделей. Также выявлено, что сравнительно недавно появившиеся публикации по проблемам идентифицируемости, например [2-3], не ссылаются на имеющееся обилие публикаций в данной области, ограничиваясь только отдельными работами.

Несмотря на устоявшийся характер теории идентифицируемости остается еще ряд проблем, требующих исследования. Во-первых, это адаптация существующих подходов анализа идентифицируемости к исследованию нестандартных моделей, возникающих при решении конкретных практических задач моделирования, как, например, моделирования кровообращения [4]. Во-вторых, учитывая символьный характер структурной идентифицируемости, возникает задача разработки эффективных методов ее исследования, позволяющих максимально увеличить размерность моделей, допускающих получение результатов анализа.

В настоящей работе рассматривается взаимосвязь различных понятий идентифицируемости и методов ее исследования. Описывается подход, основанный на проверке условий ранга и порядка для анализа локальной и глобальной идентифицируемости, который приводит к эффективным вычислительным методам анализа структурной идентифицируемости, а также может служить основой систематизации сведений об идентифицируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний.

Применение подхода иллюстрируется содержательным примером.

2. Терминология и подходы к анализу идентифицируемости Одна из первых работ, где речь шла об однозначности определения параметров модели, состоящей из двух эконометрических уравнений, была опубликована еще в году [5]. Затем появились другие фундаментальные работы, посвященные анализу эконометрических моделей. В итоге утвердился термин «идентифицируемость», под котоXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ рым стали понимать способность математической модели, содержащей неизвестные параметры, допускать их однозначное оценивание по экспериментальным данным.

Большой успех имела изданная в 1966 году книга Ф. Фишера [6], в которой была проведена систематизация методов, в результате чего были разработаны условия ранга и порядка для систем эконометрических уравнений.

По существу независимо стали развиваться исследования по анализу идентифицируемости моделей динамических систем. Кратко коснулся указанной проблемы Р. Калман в работе [7], где было определено понятие «невырожденность», эквивалентное современному понятию локальной идентифицируемости. Однако принято считать, что исследования по анализу идентифицируемости динамических моделей ведут свое начало с работы Р. Беллмана и К. Острема [8], которую нередко причисляют к классическим работам. Именно в этой статье проблема очерчена наиболее отчетливо и впервые введен термин «структурная идентифицируемость», обозначающая идентифицируемость не отдельно взятой модели, а целого семейства. Эта публикация породила целый поток работ по анализу идентифицируемости динамических моделей в последующие два с лишним десятилетия. Во введении к книге [9] отмечается, что почти все лекторы на пятом симпозиуме IFAC по идентификации и оцениванию параметров систем, который проходил в 1979 г. в Дармштадте, выделяли проверку идентифицируемости как важный этап построения математических моделей. Основные результаты исследований зарубежных авторов по проблеме идентифицируемости, сконцентрированы в сборнике [10].

В России анализ идентифицируемости моделей как научное направление первоначально получил развитие для моделей химической кинетики [11, 12]. Первые работы послужили фундаментом, на который опирались последующие исследования неформального коллектива исследователей (В.Г. Горский, С.И. Спивак, Л.В. Быстров, М.И.

Храименков, А.М. Десяткин, В.З. Кудашев, Т.Н. Швецова-Шиловская, Т.В. Авдеенко, Р.Х. Бахитова, Р.М. Асадуллин). Характерной особенностью работ данного коллектива стал акцент на анализ идентифицируемости моделей химической кинетики и термодинамики, чему ранее не уделялось должного внимания. Кроме того, в работах этого коллектива анализ идентифицируемости моделей не исчерпывается лишь выяснением принципиальной возможности однозначного оценивания параметров, чем обычно ограничиваются зарубежные исследователи. Значительное внимание уделяется изучению свойств моделей, содержащих неидентифицируемые параметры. Коллектив солидарен с высказыванием Э. Уолтера [10] о том, что «для практики наиболее важным свойством модели является не идентифицируемость, а неидентифицируемость».

В последнее время количество публикаций по проблеме идентифицируемости динамических моделей несколько снизилось. Отчасти это объясняется тем, что уже сформирована теория и методология анализа идентифицируемости моделей самых разных типов. Тем не менее, ряд вопросов еще остается нерешенным. Одно из современных направлений исследований в области идентифицируемости направлено на разработку эффективных методов анализа нелинейных динамических моделей. Большинство современных исследований по нелинейным системам базируется на работе [13], в которых рассматриваются вопросы, связанные с управляемостью и наблюдаемостью нелинейных моделей, а также с преобразованиями минимальных систем.

Другой аспект теории идентифицируемости, отчетливо проявившийся с развитием вычислительной техники – проблема компьютерных вычислений. Анализ структурной идентифицируемости носит качественный характер, так как предполагает исследование одновременно во всех точках параметрического пространства (за исключением, возможно, точек множеств меры ноль), и поэтому требует вычислений в символьном виде.

Имеющиеся же методы проверки идентифицируемости требуют очень громоздких аналитических вычислений, с которыми не справляются современные компьютерные сисXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ темы символьных вычислений. В связи с этим актуальными являются две задачи. Первая заключается в получении таких условий для проверки идентифицируемости, которые требуют для своей проверки менее громоздких аналитических вычислений. Вторая задача состоит в разработке специализированных методов и алгоритмов компьютерной алгебры.

В этой связи нужно отметить исследования группы итальянских ученых, разработавших метод, являющийся комбинацией модификации метода преобразования Лапласа и метода базисов Гребнера. Эффективность разработанной компьютерной программы GLOBI иллюстрируется в работе [14] на примерах реальных моделей фармакокинетики. Другим подходом к решению проблемы вычислительной сложности является подход, представленный в настоящей работе.

2.2. Основные понятия и подходы к анализу идентифицируемости Согласно терминологии, приведенной в монографии [10], различают априорную (теоретическую) и апостериорную (практическую) идентифицируемость. Под априорной идентифицируемостью, рассматриваемой в данной работе, подразумевается принципиальная возможность однозначного определения параметров модели. В этом случае анализ идентифицируемости проводится на основе качественного исследования структуры модели и схемы задуманного или предполагаемого «идеального» эксперимента (имеется в виду, что все измеряемые величины являются детерминированными и не содержат ошибок). Объем выборки может быть сколь угодно большим.

Анализ апостериорной идентифицируемости, напротив, проводится на основании данных реализованного эксперимента. Эта процедура носит численный характер и сводится к отысканию оценок параметров и их ошибок. В результате устанавливается, какие оценки параметров можно признать статистически значимыми.

Рассмотрим класс линейных динамических моделей в пространстве состояний:

где x R n – вектор состояния, u U R k – вектор управления из множества U произвольных измеримых ограниченных функций, y R m – вектор наблюдения; – вектор неизвестных (оцениваемых) параметров; A R nn, B R n k и C R m n – матрицы состояния, управления и наблюдения.

Согласно [1] введем понятие модельной структуры. Под модельной структурой M () понимается дифференцируемое отображение из связного открытого множества во множество моделей M {M () : }. Таким образом, множеством значений модельной структуры является множество моделей M, отдельный элемент которого однозначно определяется значениями вектора параметров и представляет собой конкретную модель M (). Процедура идентификации начинается собственно с построения модельной структуры, для чего используется некоторая априорная информация об исследуемом процессе. Построение модельной структуры типа (1) заключается в определении размерностей системы и задании параметризации – зависимости системных матриц состояния, управления и наблюдения от оцениваемых параметров. Следующим этапом является выбор из множества моделей M, определяемых построенной модельной структурой, наилучшей модели и соответствующего ей вектора параметров в соответствии с критерием оптимальности. Однако в процессе нахождения значений может оказаться, что экспериментальным данным одинаково хорошо соответствует сразу несколько моделей, обладающих одинаковой модельной структурой. В этом случае модельная структура называется неидентифицируемой. Само же свойство модельXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ной структуры допускать одно или несколько решений задачи параметрической идентификации называется структурной идентифицируемостью.

Определение 1. Две модели M () и M (* ) с одинаковой модельной структурой M () называются неразличимыми по выходу (обозначим M () M (* ),, * ), если для любого допустимого входа u (t ) модели имеют одинаковые выходы:

Определение 2. Параметр i (одна из компонент вектора ) называется структурно локально идентифицируемым, если почти для любого * существует Определение 3. Параметр i называется структурно глобально идентифицируемым, если почти для любого * : и M () M (* ) i *. i В приведенных определениях фигурирует термин «структурно», означающий, что данное свойство модели справедливо не в какой-то определенной, а в произвольной точке параметрического пространства (почти для любого), за исключением может быть точек множества нулевой меры, то есть данное свойство присуще модельной структуре.

В дальнейшем будем рассматривать только структурные свойства.

Согласно приведенным определениям локальная идентифицируемость обеспечивает единственность решения задачи параметрической идентификации в некоторой окрестности точки параметрического пространства, а глобальная идентифицируемость – единственность решения этой задачи во всем параметрическом пространстве. Очевидно, локальная идентифицируемость является необходимым условием глобальной идентифицируемости. Для анализа локальной и глобальной идентифицируемости используются различные подходы и принципы. Для локальной идентифицируемости достаточно подхода на основе принципа чувствительности, для глобальной – необходимо построение и решение системы идентифицирующих уравнений на основе принципа исчерпывающей характеристики (exhaustive summary) [9].

Принцип чувствительности основан на исследовании функций чувствительности отклика к непрерывным вариациям параметров. В этом подходе используются методы теории чувствительности. Структурная локальная неидентифицируемость модели определяется наличием линейных связей между функциями чувствительности отклика к непрерывным изменениям параметров. Зная эти линейные связи, можно найти комбинации параметров – параметрические функции, допускающие локально однозначное оценивание. Принцип чувствительности позволяет исследовать лишь локальную идентифицируемость. Однако его несомненным достоинством является общность: он применим практически ко всем типам моделей.

Принцип чувствительности можно применять совместно с другим принципом анализа идентифицируемости – принципом исчерпывающей характеристики.

Определение 4. Под исчерпывающей характеристикой (exhaustive summary) понимается вектор (), содержащий полную, но не избыточную информацию о параметрах, имеющуюся в отклике модели, т.е.

(2) Таким образом, условие инвариантности отклика эквивалентно условию инвариантности вектора исчерпывающей характеристики к вариациям параметров. Идея подхода заключается в переходе от вектора наблюдений y(t,, u ) к вектору (), элементы которого являются функциями только неизвестных параметров, и не зависят от факторных переменных ( t и u (t ) ). Сопоставляя (2) с определением 3, можно заключить,

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

что если рассматривать элементы вектора в качестве оцениваемых параметров, то модель относительно этих параметров является глобально идентифицируемой. Другими словами, элементы вектора () однозначно определяются по данным наблюдений.

Общая схема анализа идентифицируемости с использованием совместно принципа чувствительности и принципа исчерпывающей характеристики выглядит следующим образом. Сначала производят анализ локальной идентифицируемости на основе принципа чувствительности, т.е. исследование линейной независимости столбцов матрицы чувствительности. С учетом условия (2) вместо матрицы чувствительности можно использовать матрицу Якоби J, столбцы которой представляют собой вектор-функции чувствительности элементов () к вариациям параметров. Если (3) то модель является локально идентифицируемой. В этом случае следующим этапом является решение в символьном виде системы идентифицирующих уравнений (4) относительно * (или, что эквивалентно). Заметим, что система (4) всегда имеет тривиальное решение *. Если это тривиальное решение единственно, то модель является глобально идентифицируемой. Если система (4) имеет конечное или счетное число решений, представляющих собой изолированные точки в параметрическом пространстве, то модель является глобально неидентифицируемой.

Если условие (3) не выполняется, то модель является локально неидентифицируемой, или моделью неполного ранга. В этом случае система идентифицирующих уравнений (4) имеет континуальное число решений, являющихся функциями одного или нескольких непрерывных параметров. Число таких параметров определяет степень вырожденности модели.

3. Анализ локальной и глобальной идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка 3.1. Условия локальной и глобальной идентифицируемости Рассмотрим модель (1) с естественной параметризацией, когда неизвестными параметрами являются элементы системных матриц – системные параметры:

где s – вектор системных параметров, составленный из элементов матриц A, B, C и D, Ai, Bi, Ci и Di – обозначение для i -ой строки соответствующих матриц:

D AT BT CT DT

Разработанный вычислительно эффективный подход основан на методе преобразования подобия для линейных динамических моделей в пространстве состояний, так как

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

именно он порождает наименее громоздкие символьные вычисления. Идея метода преобразования подобия состоит в поиске моделей M ( s * ), эквивалентных модели (5), с такой же структурой и теми же входом u (t ) и выходом y(t ) ( s * – вектор системных параметров, составленный из элементов матриц A*, B*, C * и D*. Векторы состояния x и x * моделей M (s) и M ( s * ) связаны линейным невырожденным преобразованием x* Tx, матрица которого T GL (n) T : det T 0 удовлетворяет системе уравнений подобия (6) Известно, что две модели M (s) и M ( s * ), удовлетворяющие условиям управляемости и наблюдаемости, неразличимы по выходу тогда и только тогда, когда существует невырожденное преобразование переменных состояния, удовлетворяющее системе (6).

Система уравнений подобия (6) является системой нелинейных алгебраических уравнений относительно переменных (T, s * ). Очевидно, что для любой невырожденной матрицы T существует вектор s *, удовлетворяющий системе уравнений подобия. Это означает, что существует континуальное множество решений системы уравнений подобия, следовательно существует бесконечное множество моделей, неразличимых по выходу с моделью (6) и имеющих ту же структуру. Таким образом, очевидно, что модельная структура (5) с естественной параметризацией всегда является вырожденной.

Другими словами, при естественной параметризации эмпирическая информация, полученная в результате проведения эксперимента, имеет пределы (недостаточна) для однозначного оценивания всех системных параметров s, т.е. каким бы хорошим ни был эксперимент в пределах выбранной схемы его проведения. Для того, чтобы модельная структура была идентифицируемой, необходима дополнительная априорная информация. Пределы эмпирической информации можно оценить количественно. Система (6) содержит N n(n k m) mk уравнений, в то время как число неизвестных этой системы равно N n 2. Таким образом, необходимо добавить как минимум n единиц априорной информации.

Априорная информация может быть представлена в виде системы ограничений на вектор системных параметров. Мы предлагаем наиболее удобный для включения в систему уравнений подобия (6) способ представления ограничений на элементы вектора s :

(7) где и 0 – числовые матрица и вектор размерностей r N и r 1 соответственно, причем ограничения являются независимыми, т.е. rg r, r – число ограничений.

Так как матрица ограничений имеет полный строчный ранг, существует r линейно независимых столбцов этой матрицы, составляющих, например, подматрицу 1 :

компонент вектора s, составляющих подвектор s1, становятся зависимыми от остальных ( N r ) компонент, составляющих подвектор s2. Введем обозначение p s2. Тогда p есть вектор независимых системных параметров, состоящий из независимых компонент вектора s. Заметим, что поскольку выбор невырожденной подматрицы из матрицы в общем случае является неединственным, то и вектор независимых системных параметров p можно получить разными способами.

При сделанных предположениях можно сформулировать необходимое и достаточное условие локально идентифицируемости, доказанное нами в [15].

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Теорема 1 (условие ранга для локальной идентифицируемости). Для того чтобы модельная структура (5), оцениваемыми параметрами которой являются элементы системных матриц A, B, C и D, была структурно локально идентифицируемой при ограничениях на системные параметры вида (7) и выполнении условия структурной управляемости и наблюдаемости, необходимо и достаточно, чтобы почти для любого p (8) Следствие 1 (условие порядка). Необходимым условием структурной локальной идентифицируемости модельной структуры, определенной в теореме 1, является:

(9) Условие (9) непосредственно следует из условия (8) на основании того, что ранг матрицы X ( p) не может превышать числа ее строк.

В аналогичной форме можно представить условие глобальной идентифицируемости модельной структуры (5) с ограничениями на системные параметры (7).

Теорема 2 (условие ранга для глобальной идентифицируемости). Для того чтобы модельная структура (5), оцениваемыми параметрами которой являются элементы системных матриц A, B, C и D, была структурно глобально идентифицируемой при ограничениях на системные параметры вида (7) и выполнении условия структурной управляемости и наблюдаемости, достаточно, чтобы условие (10) не выполнялось лишь для p и p, принадлежащих множествам нулевой меры вида h( p) 0 и h* ( p * ) 0 в параметрическом пространстве.

Отметим похожие условия, также полученные на основе метода преобразования подобия, представленные в работах К. Главера и Дж. Виллеса [16-17]. В этих работах получено выражение для матрицы Якоби системы уравнений подобия (6), на основе которого сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие локальной идентифицируемости рассматриваемой модели. Кроме того, в этих работах предлагается достаточное условие глобальной идентифицируемости, позволяющее устанавливать факт глобальной идентифицируемости модели без решения системы уравнений (6) (только на основе вычисления определятеля некоторой матрицы).

Однако следует отметить принципиальные отличия условий идентифицируемости, представленных в [16, 17] от условий настоящей работы. Во-первых, авторы [16, 17] формулируют условия идентифицируемости не как структурного свойства, выполняемого одновременно во всех точках параметрического пространства. Метод К. Главера и Дж. Виллеса ограничивается проверкой идентифицируемости в конкретной точке параметрического пространства, что, конечно, не может привести к полноценной методологии анализа структуры модели, ее репараметризации в случае неидентифицируемости. Во-вторых, размерность матриц (число строк), определитель которых необходимо вычислять в предлагаемых условиях, чересчур велика. В условиях (8-10) мы добиваемся сокращения размерности матриц за счет явного введения описания структуры ограXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ничений (7). Поэтому наши условия могут быть рекомендованы не только для численного, но и для структурного анализа, использующего аналитические (символьные) вычислений. Заметим, что на этапе построения модельной структуры конкретные значения параметров неизвестны. Именно поэтому априорный анализ идентифицируемости требует применения символьных манипуляций.

В-третьих, предлагаемое в [16, 17] достаточное условие глобальной идентифицируемости является слишком сильным, так как его выполнение требуется для любых двух точек параметрического пространства. Существует очень большое множество моделей, являющихся СГИ, но для которых данное условие не выполняется. Данное обстоятельство сводит практическую пользу от предлагаемого условия к нулю. К тому же, в вышеуказанных публикациях не предлагается никакой практической процедуры проверки условия глобальной идентифицируемости, а из формулировки условия способ его использования неочевиден. Мы же, в противоположность этому, допускаем, что условие полного столбцового ранга введенной в нашей работе матрицы глобальной идентифицируемости X * может не выполняться для точек p* и p, удовлетворяющих равенствам h( p) 0 и h* ( p * ) 0, каждое из которых определяет множества нулевой меры в параметрическом пространстве. Данное ослабление значительно увеличивает практическую пользу предлагаемого условия, так как расширяет множество моделей, для которых оно может быть применено.

3.2. Класс моделей с матрицей состояния в форме Фробениуса Применим предложенный подход для моделей, описываемых системами вида:

в которых С – матрица-строка (скалярный отклик) с одним ненулевым элементом, который может быть либо известной константой, либо оцениваемым параметром, стоящим на произвольном месте. Матрицы состояния и управления имеют вид Модели описанного класса с различными размерностями n, k и l ( l n ) широко используются для описания технических систем: системы стабилизации летательного аппарата по тангажу, системы управления перегрузкой летательного аппарата, различных следящих систем и т.п. Они являются полностью управляемыми и наблюдаемыми.

Рассмотрим локальную идентифицируемость данной модельной структуры. Часть матрицы X, соответствующая ограничениям на матрицу состояний, имеет вид:

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Данная матрица имеет размерность n(n 1) n 2, ее ранг равен числу строк n(n 1) n 2.

Базис нуль-пространства этой матрицы содержит n векторов.

Рассмотрим сначала случай, когда единственный ненулевой элемент матрицыстроки С известен. В этом случае мы имеем n ограничений, добавляющих к матрице X подматрицу С (С I n ) 0 0 I n 0 0. В этом случае выполняется условие структурной локальной идентифицируемости:

Очевидно, что добавление в СЛИ-матрицу строк, соответствующих ограничениям на матрицу управления B (если такие имеются), не могут уменьшить ранга матрицы, т.е. модель является структурно локально идентифицируемой для любой матрицы B.

Достаточное условие структурной глобальной идентифицируемости выполняется, так как матрица X фактически совпадает с матрицей X * в силу выполнения Таким образом, при известной стандартной матрице наблюдений модельная структура рассмотренного класса является структурно глобально идентифицируемой для любых размерностей n, k и l.

Рассмотрим теперь модельную структуру с матрицей наблюдения, содержащей неизвестный параметр, подлежащий оцениванию. Предположим для определенности, что эта матрица имеет вид С (c11,0,0,,0). В этом случае где I n ({1,..., n} \ i ) – подматрица единичной матрицы (без i -й строки). Базис нульпространства данной матрицы составляет единственный вектор e1, e2, e3,, en T, где ei – строка размерности n с единицей на i -м месте и нулями на остальных.

Для элиминирования этой линейной связи остается lm исключающих ограничений на матрицу B, которые соответствуют следующей подматрице СЛИ-матрицы:

Ясно, что добавление строк этой подматрицы не изменяет ранга матрицы (11), так как в силу выполнения равенств BT ei 0, i 1, l, справедливо

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Таким образом, если единственный ненулевой элемент матрицы наблюдений является оцениваемым параметром, то условие локальной (а, следовательно, и глобальной) идентифицируемости не выполняется, и мы имеет модель неполного ранга с дефектом 1 при любых размерностях n, k и l матриц состояния, управления, наблюдения.

Мы рассмотрели современный подход к проблеме априорной идентифицируемости, учитывающий ее структурный характер. Предложены условия анализа локальной и глобальной идентифицируемости, приводящие к общей методологии анализа структурной идентифицируемости. Достоинством предлагаемого подхода относительная является вычислительная эффективность, а также возможность применения не только для конкретной модели, а для целых классов модельных структур. Последнее проиллюстрировано для множества моделей с матрицей состояния в форме Фробениуса.

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука. 1991.

2. Балонин Н.А. Теоремы идентифицируемости. СПб.: Политехника, 2010. 48 с.

3. Бодунов Н.А. Введение в теорию локальной параметрической идентифицируемости. СПб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 2006. 140 с.

4. Остапенко Т.И., Прошин А.П., Солодянников Ю.В. Исследование идентифицируемости системы кровообращения // Автоматика и телемеханика. Т. 68, № 7. 2007.

5. Working E.J. What do Statistical Demand Curves show? // Quarterly J. of Economics. 1927. Vol. 41. No. 1.

6. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. М. : Статистика, 1978. 224 с.

7. Kalman R.E. // Developments in statistics / Ed. by P.R. Krishnaiah. N.Y.: Academic Press, 1983. P. 97-136.

8. Bellman R., Astrom K.J. On Structural Identifiability. // Math. Biosci. 1970. Vol. 7, No. 3/4. P. 329-339.

9. Walter E. Identifiability of state space models. Berlin: Springer-Verlag, 1982. 197 p.

10. Identifiability of parametric models / Ed. by E. Walter. New York: Pergamon Press, 1987. 119 p.

11. Клибанов М.В., Спивак С.И., Тимошенко В.И., Слинько М.Г. О числе независимых параметров стационарной кинетической модели // Докл. АН СССР. 1973. T. 208, № 5. C. 1387-1390.

12. Горский В.Г., Спивак С.И. Исследование идентифицируемости параметров – один из важнейших этапов построения математических моделей в химии // Журн. структ. химии. 1988. T. 23, № 6. C. 119Tunali E.T., Tarn T.J. New results for identifiability of nonlinear systems // IEEE Trans. Autom. Control.

1987. Vol. 32. P. 146-154.

14. Audoly S., D’Angio L., Saccomany M.P., Cobelli C. Global identifiability of linear compartmental models – a computer algebra algorithm // IEEE Trans. on Biomed. Engineering. 1998. Vol. 45, No. 1.

15. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Построение динамических моделей в пространстве состояний. Анализ структурной идентифицируемости: монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ (Серия «Монографии НГТУ»), 2007. 292 с.

Glover K., Willems J.C. On the identifiability of linear dynamical models // Proc. 3rd IFAC Symp. Identification and System Parameter Estimation. Hague Dafft, Netherlands, 1973. P. 233-238.

17. Glover K., Willems J.C. Parametrization of linear dynamical systems: canonical forms and identifiability // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. 19, No. 6. P. 640-645.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ





Похожие работы:

«E/CN.3/2011/21 Организация Объединенных Наций Экономический и Социальный Distr.: General Совет 3 December 2010 Russian Original: English Статистическая комиссия Сорок вторая сессия 22–25 февраля 2011 года Пункт 4(a) предварительной повестки дня * Вопросы для информации: переписи населения и жилищного фонда Переписи населения и жилищного фонда Доклад Генерального секретаря Резюме Настоящий доклад был подготовлен по просьбе Комиссии, высказанной на ее сорок первой сессии (см. E/2010/24, глава...»

«Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра Тепловозы и тепловые двигатели В.Г. Григоренко, И.В. Дмитренко, А.С. Слободенюк ТЕОРИЯ И КОНСТРУКЦИЯ ЛОКОМОТИВОВ Курс лекций Рекомендовано Методическим советом ДВГУПС в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ДВГУПС 2011 УДК 629.424.1 (075.8) ББК...»

«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Фундаментальная библиотека БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ за июнь 2011 года Санкт-Петербург 2011 1 2 Бюллетень новых поступлений за июнь 2011 года 3 Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. Фундаментальная библиотека. Отдел каталогизации. Бюллетень новых поступлений за июнь 2011 года. – СПб., 2011. – 93 с. В настоящий Бюллетень включены книги, поступившие во все отделы Фундаментальной библиотеки в июне 2011...»

«Некоммерческое партнерство Российский национальный комитет Международного Совета по большим электрическим системам высокого напряжения (РНК СИГРЭ) 109074, Россия, г. Москва, Китайгородский проезд, дом 7, стр.3. ОГРН 1037704033817. ИНН 7704266666 / КПП 770501001. Тел.: +7 (495) 627-85-70. E-mail: cigre@cigre.ru Утверждено решением Президиума РНК СИГРЭ от 25 апреля 2014 г. (протокол № 3/8) Положение об организации деятельности подкомитетов РНК СИГРЭ по тематическим направлениям Москва, 2014 год...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ – ОТОРИНОЛАРИНГОЛОГИЯ, ЕЕ МЕСТО В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ.3 1.1. Цели преподавания дисциплины... 3 1.2. Задачи преподавания оториноларингологии.3 2. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ - ОТОРИНОЛАРИНГОЛОГИЯ..3 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.8 4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ..8 4.1. Лекционный курс..8 4.2. Клинические практические занятия..10 4.3. Самостоятельная работа студентов..14 5. МАТРИЦА...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА ЗАРУБЕЖНЫЕ ЛЕСНЫЕ МАШИНЫ Сборник описаний лабораторных работ для подготовки дипломированных специалистов по направлению 651600 Технологические машины и оборудование специальности 150405 Машины и оборудование...»

«Проект Bioversity International/UNEP-GEF In Situ/On farm сохранение и использование агробиоразнообразия (плодовые культуры и их дикорастущие сородичи) в Центральной Азии К.С. Ашимов ФАКТОРЫ СНИЖЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОРЕХОВО-ПЛОДОВЫХ ЛЕСОВ Бишкек – 2010 2 В данной публикации изложены результаты Регионального проекта In situ/On farm сохранение и использование агробиоразнообразия (плодовые культуры и их дикие сородичи) в Центральной Азии. Проект осуществляется в пяти странах – Казахстан,...»

«А.М. НОВИКОВ Д.А. НОВИКОВ МЕТОДОЛОГИЯ МОСКВА – 2007 Российская академия Российская академия наук образования Институт проблем Институт управления управления образованием А.М. Новиков Д.А. Новиков МЕТОДОЛОГИЯ · ОСНОВАНИЯ МЕТОДОЛОГИИ · МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ · МЕТОДОЛОГИЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ · ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДОЛОГИЮ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ · МЕТОДОЛОГИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ · ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДОЛОГИЮ

«Материалы заданий Олимпиады школьников Шаг в будущее (техника и технология) 2010 – 2011 уч. год Олимпиада школьников Шаг в будущее по направлению техника и технология проводил Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана (научно-образовательные и академические соревнования) при участии Калужского филиала МГТУ им. Н.Э.Баумана (академическое соревнование), Московского государственного текстильного университета им. А.Н.Косыгина (академическое соревнование), Липецкого...»

«6 720 807 847 (2013/04) RU Сервисный уровень Инструкция по монтажу и техническому обслуживанию Специальный газовый отопительный котел Logano G124 WS Внимательно прочитайте перед монтажом и техническим обслуживанием Предисловие Оборудование соответствует основным требованиям соответствующих европейских нормативных документов. Соответствие подтверждено. Необходимые документы и оригинал декларации о соответствии хранятся на фирме-изготовителе. Об этой инструкции В этой инструкции приведены...»

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал ГОУ ВПО Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова Кафедра Машины и оборудование лесного комплекса ТЕОРИЯ И КОНСТРУКЦИЯ ЛЕСНЫХ КОЛЕСНЫХ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН СБОРНИК ОПИСАНИЙ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ для подготовки дипломированных специалистов по направлению 651600 Технологические машины и оборудование специальности 150405 Машины и оборудование лесного комплекса (очная и заочная формы...»

«Теория и практика вовлечения представителей НГО в работу страновых координационных комитетов (на примере стран Восточной Европы и Центральной Азии) Аналитический отчет Евразийская сеть снижения вреда Варенцов Иван Вильнюс, Декабрь 2012 Евразийская сеть снижения вреда Миссия Евразийской сети снижения вреда (ЕССВ) – продвижение гуманных, научно обоснованных подходов снижения вреда от употребления наркотиков, имеющих целью сохранение здоровья и защиту прав человека на уровне индивидуума,...»

«ФИНАНСОВАЯ К О М И С С I Я. 209 210 Ст. 13. С о д е р ж а ш е а д м и н и с т р а ц и и и б ю р о Ст. 2 0. С п е щ а л ь н ы е р а с х о д ы о т д ъ л о в ъ. выставки. 1 Полеводство. Руб. 2935.22 Содержание администрацш. Руб. 10421.67 2 Огородничество. „ 659.12 Содержание служащихъ бюро 3 Плодоводство „ 924.43 4 Животноводство. „ 2313. выставки „ 12166. Технически персоналъ... 7561.17 5 и 6 Молочное ХОЗЯЙСТЕО Секретари Технической, Фи­ и пчеловодство. „ 1444. нансовой и Декоративной...»

«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Фундаментальная библиотека БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ за сентябрь 2009 года Санкт-Петербург 2009 1 2 Бюллетень новых поступлений за сентябрь 2009 года 3 Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. Фундаментальная библиотека. Отдел каталогизации. Бюллетень новых поступлений за сентябрь 2009 года. – СПб., 2009. – 60 с. В настоящий Бюллетень включены книги, поступившие во все отделы Фундаментальной библиотеки в...»

«7 Пленарні доклади УДК 1:001 ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ НА ФАКУЛЬТЕТЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК И ТЕХНОЛОГИЙ Аноприенко А.Я. Донецкий национальный технический университет, г. Донецк Кафедра компьютерной инженерии E-mail: anoprien@gmail.com Аннотация Аноприенко А.Я. Исследования и разработки на факультете компьютерных наук и технологий. В докладе представлен краткий очерк истории, состояния и будущего исследований и разработок на факультете компьютерных наук и технологий ДонНТУ. Приведены примеры...»

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ В. Ю. КОБЕНКО УДК 621.396:681.2 Омский государственный технический университет ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАПАЗОНА ИДЕНТИФИКАЦИОННОЙ ШКАЛЫ ФОРМ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ Определен диапазон идентификационной шкалы, измеряющей формы распределения вероятности. Проведено уточнение уже имеющихся и добавлены новые отметки идентификационной...»

«АЗАСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖНЕ ЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ. И. СТБАЕВ атындаы АЗА ЛТТЫ ТЕХНИКАЛЫ УНИВЕРСИТЕТІ ЫЛЫМИ КІТАПХАНА азастан алымдарыны биобиблиографиясына материалдар Жараспаев Мырзаали Топалы АЛМАТЫ 2011 Жараспаев Мырзаали Топалы (азастан алымдарыны биобиблиографиясына материалдар) /раст.:Шабанбаева Э.Н.,Шакирова М.Ж. - Алматы: азТУ. - 2011. – 117 б. Басылыма жауапты: Донкушева.С. Жауапты редактор: Ибрагимова Т.И. растырушылар: Шабанбаева Э.Н., Шакирова М.Ж. © Шабанбаева Э.Н., Шакирова М.Ж....»

«ФРАГМЕНТЫ БУДУЩИХ КНИГ УДК 316.444 В 2012 году в издательстве Праксис планируется выход в свет книги известного британского социолога Джона Урри Мобильности, рассматривающего движение как основной предмет социологической науки. Движение как ключевой социологический феномен и понимание организации социальной жизни через конкретно-исторические исследования социальных и технических систем, обеспечивающих это движение, — вот два краеугольных камня, на которых построена книга. Предлагаем вниманию...»

«ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО АТОМНЫЙ ЭНЕРГОПРОМЫШЛЕННЫЙ КОМПЛЕКС Негосударственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ ГОСКОРПОРАЦИИ РОСАТОМ (НОУ ДПО ЦИПК Росатома) САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ УТВЕРЖДАЮ Директор филиала Т.Н. Таиров 2013 г. ПРОГ РАММ А п овышени я квали фи кац ии Методы и средства радиационного и дозиметрического контроля (Радиационный контроль на объектах использования атомной энергии и мониторинг...»

«Оглавление. 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ – ОСНОВЫ СОЦИАЛЬНОЙ МЕДИЦИНЫ, ЕЕ МЕСТО В СТРУКТУРЕ ОНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ. 3 2. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ – ОСНОВЫ СОЦИАЛНОЙ МЕДИЦИНЫ..3 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ..4 4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ..4 4.1. Лекционный курс..4 4.2. Практические занятия..7 4.3. Самостоятельная внеаудиторная работа студентов...10 5. МАТРИЦА РАЗДЕЛОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И ФОРМИРУЕМЫХ В НИХ ОБЩЕКУЛЬТУРНХ И...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.